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一、基础性作业
1. 以下列各组数据为边长作三角形，是直角三角形的是（
A.3,5,3
B.4,6,8
C.7,24,25
D.6,12,13
1. 以下列各组数据为边长作三角形，是直角三角形的是（
C
）。A.3,5,3
B.4,6,8
C.7,24,25
D.6,12,13
答案
1. C
解析
【分析】
要判断以给定三边为边长的三角形是否为直角三角形，需运用勾股定理的逆定理：若三角形中两条较短边的平方和等于最长边的平方，则该三角形是直角三角形。解题时先对每组数据排序找到最长边，再分别计算两短边的平方和、最长边的平方，对比二者是否相等即可得出结论。
【解析】
我们逐个分析选项：
A选项：边长为3，3，5，最长边是5。
计算得：$3^2+3^2=9+9=18$，$5^2=25$，$18≠25$，不是直角三角形；
B选项：边长为4，6，8，最长边是8。
计算得：$4^2+6^2=16+36=52$，$8^2=64$，$52≠64$，不是直角三角形；
C选项：边长为7，24，25，最长边是25。
计算得：$7^2+24^2=49+576=625$，$25^2=625$，二者相等，是直角三角形；
D选项：边长为6，12，13，最长边是13。
计算得：$6^2+12^2=36+144=180$，$13^2=169$，$180≠169$，不是直角三角形。
【答案】
C
【知识点】
勾股定理的逆定理
【点评】
本题属于基础题，核心考查直角三角形的判定方法，解题时注意要先确定最长边，再验证平方和的关系，避免因边长排序错误导致计算失误。
【难度系数】
0.9
要判断以给定三边为边长的三角形是否为直角三角形，需运用勾股定理的逆定理：若三角形中两条较短边的平方和等于最长边的平方，则该三角形是直角三角形。解题时先对每组数据排序找到最长边，再分别计算两短边的平方和、最长边的平方，对比二者是否相等即可得出结论。
【解析】
我们逐个分析选项：
A选项：边长为3，3，5，最长边是5。
计算得：$3^2+3^2=9+9=18$，$5^2=25$，$18≠25$，不是直角三角形；
B选项：边长为4，6，8，最长边是8。
计算得：$4^2+6^2=16+36=52$，$8^2=64$，$52≠64$，不是直角三角形；
C选项：边长为7，24，25，最长边是25。
计算得：$7^2+24^2=49+576=625$，$25^2=625$，二者相等，是直角三角形；
D选项：边长为6，12，13，最长边是13。
计算得：$6^2+12^2=36+144=180$，$13^2=169$，$180≠169$，不是直角三角形。
【答案】
C
【知识点】
勾股定理的逆定理
【点评】
本题属于基础题，核心考查直角三角形的判定方法，解题时注意要先确定最长边，再验证平方和的关系，避免因边长排序错误导致计算失误。
【难度系数】
0.9
2. 若一个三角形的三边长度满足关系$(a + b)^2 = c^2 + 2ab$，则这个三角形是
直角三角形
。答案
2. 直角三角形
解析
【分析】
要判断三角形的形状，需先对给出的三边长度满足的等式进行化简变形，观察三边的平方关系，再结合三角形的相关判定定理得出结论。解题步骤为：第一步利用完全平方公式展开等式左边的式子，第二步通过移项消去同类项，得到三边的平方关系，第三步结合勾股定理的逆定理判断三角形类型。
【解析】
先对给定的等式展开变形：
1. 利用完全平方公式展开左边：$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$，
则原式可化为：$a^2+2ab+b^2=c^2+2ab$；
2. 等式两边同时减去$2ab$，得：$a^2+b^2=c^2$；
3. 根据勾股定理的逆定理：若三角形两条边的平方和等于第三边的平方，则这个三角形是直角三角形，因此该三角形为直角三角形。
【答案】
直角三角形
【知识点】
1. 完全平方公式
2. 勾股定理的逆定理
【点评】
本题属于基础题型，核心是通过代数式变形得到三边的平方关系，重点考查完全平方公式的应用和勾股定理逆定理的理解，只要熟练掌握相关公式和定理即可轻松解答。
【难度系数】
0.8
要判断三角形的形状，需先对给出的三边长度满足的等式进行化简变形，观察三边的平方关系，再结合三角形的相关判定定理得出结论。解题步骤为：第一步利用完全平方公式展开等式左边的式子，第二步通过移项消去同类项，得到三边的平方关系，第三步结合勾股定理的逆定理判断三角形类型。
【解析】
先对给定的等式展开变形：
1. 利用完全平方公式展开左边：$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$，
则原式可化为：$a^2+2ab+b^2=c^2+2ab$；
2. 等式两边同时减去$2ab$，得：$a^2+b^2=c^2$；
3. 根据勾股定理的逆定理：若三角形两条边的平方和等于第三边的平方，则这个三角形是直角三角形，因此该三角形为直角三角形。
【答案】
直角三角形
【知识点】
1. 完全平方公式
2. 勾股定理的逆定理
【点评】
本题属于基础题型，核心是通过代数式变形得到三边的平方关系，重点考查完全平方公式的应用和勾股定理逆定理的理解，只要熟练掌握相关公式和定理即可轻松解答。
【难度系数】
0.8
3. 一架长2.5 m的梯子，斜靠在一竖直的墙上，这时梯子底端距墙底端0.7 m，如果梯子的顶端沿墙下滑0.4 m，那么梯子底端将滑出
0.8 m
。答案
3. 0.8 m
解析
【分析】
本题属于勾股定理的实际应用类问题，解题核心是明确梯子、竖直墙面、水平地面始终构成直角三角形，且梯子长度作为直角三角形的斜边长始终不变。解题思路可分为三步：第一步，根据初始状态的已知边长，用勾股定理计算梯子顶端初始的高度；第二步，结合顶端下滑的距离，计算下滑后梯子顶端的高度；第三步，再次利用勾股定理计算下滑后梯子底端到墙底端的距离，最后用该距离减去初始的距离，即可得到梯子底端滑出的长度。
【解析】
解：首先计算初始状态下梯子顶端距地面的高度：
梯子、墙、地面构成直角三角形，梯子长为斜边，根据勾股定理：
初始顶端高度$ h_1 = \sqrt{2.5^2 - 0.7^2} = \sqrt{6.25 - 0.49} = \sqrt{5.76} = 2.4\ \mathrm{m} $
顶端下滑0.4m后，新的顶端高度为：
$ h_2 = 2.4 - 0.4 = 2\ \mathrm{m} $
此时再次用勾股定理计算梯子底端距墙底端的距离$ x $：
$ x = \sqrt{2.5^2 - 2^2} = \sqrt{6.25 - 4} = \sqrt{2.25} = 1.5\ \mathrm{m} $
则梯子底端滑出的距离为：$ 1.5 - 0.7 = 0.8\ \mathrm{m} $
【答案】
0.8 m
【知识点】
勾股定理；实际问题建模
【点评】
本题是勾股定理在生活场景中的典型应用，解题的关键是抓住“梯子长度不变”这一隐含条件，两次运用勾股定理进行计算即可，计算时要注意平方和开方的准确性。
【难度系数】
0.7
本题属于勾股定理的实际应用类问题，解题核心是明确梯子、竖直墙面、水平地面始终构成直角三角形，且梯子长度作为直角三角形的斜边长始终不变。解题思路可分为三步：第一步，根据初始状态的已知边长，用勾股定理计算梯子顶端初始的高度；第二步，结合顶端下滑的距离，计算下滑后梯子顶端的高度；第三步，再次利用勾股定理计算下滑后梯子底端到墙底端的距离，最后用该距离减去初始的距离，即可得到梯子底端滑出的长度。
【解析】
解：首先计算初始状态下梯子顶端距地面的高度：
梯子、墙、地面构成直角三角形，梯子长为斜边，根据勾股定理：
初始顶端高度$ h_1 = \sqrt{2.5^2 - 0.7^2} = \sqrt{6.25 - 0.49} = \sqrt{5.76} = 2.4\ \mathrm{m} $
顶端下滑0.4m后，新的顶端高度为：
$ h_2 = 2.4 - 0.4 = 2\ \mathrm{m} $
此时再次用勾股定理计算梯子底端距墙底端的距离$ x $：
$ x = \sqrt{2.5^2 - 2^2} = \sqrt{6.25 - 4} = \sqrt{2.25} = 1.5\ \mathrm{m} $
则梯子底端滑出的距离为：$ 1.5 - 0.7 = 0.8\ \mathrm{m} $
【答案】
0.8 m
【知识点】
勾股定理；实际问题建模
【点评】
本题是勾股定理在生活场景中的典型应用，解题的关键是抓住“梯子长度不变”这一隐含条件，两次运用勾股定理进行计算即可，计算时要注意平方和开方的准确性。
【难度系数】
0.7
4. 如图1-1，长方体的高为9 cm，底面是边长为6 cm的正方形，一只蚂蚁从顶点A开始，沿着长方体的表面爬向顶点B，那么它爬行的最短路程为
图1-1
15 cm
。图1-1
答案
4. 15 cm
解析
【分析】
要解决蚂蚁在长方体表面爬行的最短路程问题，首先明确：立体图形表面的最短路径需要通过展开相邻面转化为平面上的线段长度，依据“两点之间线段最短”的原理，再用勾股定理计算线段长度。由于长方体的展开方式不止一种，需要把所有可能的展开情况都计算出对应路径长度，再比较大小，最小的数值就是最短路程。
【解析】
已知长方体底面是边长为6cm的正方形，高为9cm，从A到B共有两种可行的展开方式：
情况1：将A所在的正面和B所在的右侧面展开为同一平面，此时展开后得到的长方形长为$6+6=12\ \mathrm{cm}$，宽为$9\ \mathrm{cm}$，根据勾股定理，路径长度为：
$\sqrt{12^2 + 9^2} = \sqrt{144 + 81} = \sqrt{225} = 15\ \mathrm{cm}$
情况2：将A所在的正面和B所在的上表面展开为同一平面，此时展开后得到的长方形长为$6\ \mathrm{cm}$，宽为$9+6=15\ \mathrm{cm}$，根据勾股定理，路径长度为：
$\sqrt{6^2 + 15^2} = \sqrt{36 + 225} = \sqrt{261} \approx 16.16\ \mathrm{cm}$
对比两种情况的路径长度：$15\ \mathrm{cm} ＜ \sqrt{261}\ \mathrm{cm}$，因此蚂蚁爬行的最短路程为15cm。
【答案】
15 cm
【知识点】
勾股定理；最短路径求解；立体图形展开
【点评】
本题是勾股定理在实际问题中的典型应用，核心是将立体图形的路径问题转化为平面几何问题，解题时要注意分类讨论所有可能的展开方式，不能只计算一种情况就直接得出结果，最后通过比较得到最短路径。
【难度系数】
0.7
要解决蚂蚁在长方体表面爬行的最短路程问题，首先明确：立体图形表面的最短路径需要通过展开相邻面转化为平面上的线段长度，依据“两点之间线段最短”的原理，再用勾股定理计算线段长度。由于长方体的展开方式不止一种，需要把所有可能的展开情况都计算出对应路径长度，再比较大小，最小的数值就是最短路程。
【解析】
已知长方体底面是边长为6cm的正方形，高为9cm，从A到B共有两种可行的展开方式：
情况1：将A所在的正面和B所在的右侧面展开为同一平面，此时展开后得到的长方形长为$6+6=12\ \mathrm{cm}$，宽为$9\ \mathrm{cm}$，根据勾股定理，路径长度为：
$\sqrt{12^2 + 9^2} = \sqrt{144 + 81} = \sqrt{225} = 15\ \mathrm{cm}$
情况2：将A所在的正面和B所在的上表面展开为同一平面，此时展开后得到的长方形长为$6\ \mathrm{cm}$，宽为$9+6=15\ \mathrm{cm}$，根据勾股定理，路径长度为：
$\sqrt{6^2 + 15^2} = \sqrt{36 + 225} = \sqrt{261} \approx 16.16\ \mathrm{cm}$
对比两种情况的路径长度：$15\ \mathrm{cm} ＜ \sqrt{261}\ \mathrm{cm}$，因此蚂蚁爬行的最短路程为15cm。
【答案】
15 cm
【知识点】
勾股定理；最短路径求解；立体图形展开
【点评】
本题是勾股定理在实际问题中的典型应用，核心是将立体图形的路径问题转化为平面几何问题，解题时要注意分类讨论所有可能的展开方式，不能只计算一种情况就直接得出结果，最后通过比较得到最短路径。
【难度系数】
0.7
5.《中华人民共和国道路交通安全法实施条例》规定:小汽车在没有限速标志、标线的同方向只有1条机动车道的公路上行驶,速度不得超过70 km/h。如图1-2,一辆小汽车在满足此规定的公路上直道行驶,某一时刻刚好行驶到车速检测仪(点A处)正前方30 m的点C处,过了2 s后,测得小汽车行驶到与车速检测仪间的距离为50 m的点B处,请问:这辆小汽车超速了吗?
图1-2
图1-2
答案
5. 解:因为 AC=30 m,AB=50 m,在 Rt△ABC 中,由勾股定理得 BC=40 m,所以这辆小汽车的速度为 40÷2=20(m/s)=72(km/h)。又 72 km/h＞70 km/h,所以这辆小汽车超速了。
解析
【分析】
解题时先将实际问题转化为直角三角形问题：由题意可知AC垂直于公路，因此△ABC是直角三角形，且∠C为直角。已知直角边AC和斜边AB的长度，可先用勾股定理求出另一条直角边BC的长度，即小汽车2秒行驶的路程；再根据“速度=路程÷时间”计算小汽车的行驶速度，注意将速度单位换算为与限速一致的km/h，最后和规定的最高限速比较大小，即可判断是否超速。
【解析】
由题意得，∠ACB=90°，AC=30 m，AB=50 m，
在Rt△ABC中，根据勾股定理得：
$BC^2=AB^2-AC^2=50^2-30^2=2500-900=1600$，
所以$BC=\sqrt{1600}=40$（m），
小汽车的行驶速度为：$40÷2=20$（m/s），
单位换算：$20\ \mathrm{m/s}=20×3.6\ \mathrm{km/h}=72\ \mathrm{km/h}$，
因为$72\ \mathrm{km/h}＞70\ \mathrm{km/h}$，所以这辆小汽车超速了。
【答案】
这辆小汽车超速了。
【知识点】
勾股定理的应用，速度计算，单位换算
【点评】
本题结合交通限速的实际场景考查数学知识的应用，解题核心是构建直角三角形模型，同时要注意单位的统一，避免因单位换算失误导致判断错误。
【难度系数】
0.7
解题时先将实际问题转化为直角三角形问题：由题意可知AC垂直于公路，因此△ABC是直角三角形，且∠C为直角。已知直角边AC和斜边AB的长度，可先用勾股定理求出另一条直角边BC的长度，即小汽车2秒行驶的路程；再根据“速度=路程÷时间”计算小汽车的行驶速度，注意将速度单位换算为与限速一致的km/h，最后和规定的最高限速比较大小，即可判断是否超速。
【解析】
由题意得，∠ACB=90°，AC=30 m，AB=50 m，
在Rt△ABC中，根据勾股定理得：
$BC^2=AB^2-AC^2=50^2-30^2=2500-900=1600$，
所以$BC=\sqrt{1600}=40$（m），
小汽车的行驶速度为：$40÷2=20$（m/s），
单位换算：$20\ \mathrm{m/s}=20×3.6\ \mathrm{km/h}=72\ \mathrm{km/h}$，
因为$72\ \mathrm{km/h}＞70\ \mathrm{km/h}$，所以这辆小汽车超速了。
【答案】
这辆小汽车超速了。
【知识点】
勾股定理的应用，速度计算，单位换算
【点评】
本题结合交通限速的实际场景考查数学知识的应用，解题核心是构建直角三角形模型，同时要注意单位的统一，避免因单位换算失误导致判断错误。
【难度系数】
0.7
6. 根据背景素材探索并解决问题。
测量风筝离地面的垂直高度
背景素材：风筝起源于中国，最早的风筝是由墨翟制造的，是用木头制成木鸟。后来鲁班用竹子改进风筝的材质。从东汉开始，由于造纸业的发达，民间开始用纸来裱糊风筝，称之为“纸鸢”。到南北朝时期，风筝开始成为传递信息的工具。
操作步骤：①先测得放飞点与风筝的水平距离BD为15 m；②再测得牵线放风筝的手到地面的距离AB为1.5 m。（备注：点A，B，C，D在同一平面内）
问题解决
任务一：(1)如图1-3，根据手中余线长度，计算出AC的长度为17 m，求风筝离地面的垂直高度CD。
任务二：(2)如图1-3，在任务一的基础上，若手中余线长度仅剩6 m时，想要风筝沿射线DC方向再上升12 m，人与风筝的水平距离不变，请问能否成功？并说明理由。
测量风筝离地面的垂直高度
背景素材：风筝起源于中国，最早的风筝是由墨翟制造的，是用木头制成木鸟。后来鲁班用竹子改进风筝的材质。从东汉开始，由于造纸业的发达，民间开始用纸来裱糊风筝，称之为“纸鸢”。到南北朝时期，风筝开始成为传递信息的工具。
操作步骤：①先测得放飞点与风筝的水平距离BD为15 m；②再测得牵线放风筝的手到地面的距离AB为1.5 m。（备注：点A，B，C，D在同一平面内）
问题解决
任务一：(1)如图1-3，根据手中余线长度，计算出AC的长度为17 m，求风筝离地面的垂直高度CD。
任务二：(2)如图1-3，在任务一的基础上，若手中余线长度仅剩6 m时，想要风筝沿射线DC方向再上升12 m，人与风筝的水平距离不变，请问能否成功？并说明理由。
答案
6. 解:(1)如答图1-1①,过点 A 作 AE⊥CD 于点 E,
则四边形 ABDE 是长方形,所以 AE=BD=15 m,DE=AB=1.5 m。在 Rt△AEC 中,由勾股定理得 AE²+EC²=AC²,即 15²+EC²=17²,所以 EC=8 m,所以 DC=DE+EC=1.5+8=9.5(m)。所以风筝离地面的垂直高度 CD 为 9.5 m。(2)不能成功。
理由:如答图 1-1②,风筝沿射线 DC 方向再上升 12 m 到达 F 点,连接 AF,CF,作 AE⊥DC 于点 E,则 EF=EC+CF=8+12=20(m),在 Rt△AEF 中,AE=15 m,EF=20 m,由勾股定理得 AF²=AE²+EF²,即 AF²=15²+20²。所以 AF=25 m。
因为 AC=17 m,余线长度仅剩 6 m,17+6=23(m),23＜25,所以不能成功。
解析
【分析】
（1）求解风筝垂直高度CD时，可通过作辅助线将直角梯形分割为矩形和直角三角形：过A作AE垂直CD于E，利用矩形对边相等的性质得到AE、DE的长度，再在直角三角形AEC中用勾股定理计算CE的长度，最后将DE和CE相加即可得到CD。
（2）判断风筝能否上升12m时，先假设风筝上升到F点，水平距离不变的前提下，在新的直角三角形AEF中用勾股定理算出需要的牵线长度AF，再和现有最大可用牵线长度对比，若现有线长小于AF则无法成功，反之可以成功。
【解析】
(1) 如答图1-1①,过点 A 作 AE⊥CD 于点 E，
则四边形ABDE是长方形，因此AE=BD=15 m，DE=AB=1.5 m。
在Rt△AEC中，由勾股定理得$AE^2+EC^2=AC^2$，代入数据得$15^2+EC^2=17^2$，解得$EC=8\ \mathrm{m}$，
因此$DC=DE+EC=1.5+8=9.5(\mathrm{m})$。
(2) 不能成功，理由如下：
如答图1-1②，设风筝沿射线DC方向上升12m后到达F点，连接AF，作AE⊥DC于点E，
则$EF=EC+CF=8+12=20(\mathrm{m})$，
在Rt△AEF中，AE=15 m，EF=20 m，由勾股定理得$AF^2=AE^2+EF^2$，代入数据得$AF^2=15^2+20^2=625$，解得$AF=25\ \mathrm{m}$。
现有最大可用牵线长度为$17+6=23(\mathrm{m})$，$23＜25$，现有线长小于所需线长，因此不能成功。
【答案】
(1) 风筝离地面的垂直高度CD为$\boxed{9.5\ \mathrm{m}}$；
(2) 不能成功，理由见解析。
【知识点】
勾股定理，矩形的性质，实际问题建模
【点评】
本题以传统风筝文化为背景，将生活中的测量问题转化为几何计算问题，既考查了学生对基础几何知识点的掌握，也引导学生学会用数学模型解决实际问题，体现了数学的实用性。
【难度系数】
0.65
（1）求解风筝垂直高度CD时，可通过作辅助线将直角梯形分割为矩形和直角三角形：过A作AE垂直CD于E，利用矩形对边相等的性质得到AE、DE的长度，再在直角三角形AEC中用勾股定理计算CE的长度，最后将DE和CE相加即可得到CD。
（2）判断风筝能否上升12m时，先假设风筝上升到F点，水平距离不变的前提下，在新的直角三角形AEF中用勾股定理算出需要的牵线长度AF，再和现有最大可用牵线长度对比，若现有线长小于AF则无法成功，反之可以成功。
【解析】
(1) 如答图1-1①,过点 A 作 AE⊥CD 于点 E，
则四边形ABDE是长方形，因此AE=BD=15 m，DE=AB=1.5 m。
在Rt△AEC中，由勾股定理得$AE^2+EC^2=AC^2$，代入数据得$15^2+EC^2=17^2$，解得$EC=8\ \mathrm{m}$，
因此$DC=DE+EC=1.5+8=9.5(\mathrm{m})$。
(2) 不能成功，理由如下：
如答图1-1②，设风筝沿射线DC方向上升12m后到达F点，连接AF，作AE⊥DC于点E，
则$EF=EC+CF=8+12=20(\mathrm{m})$，
在Rt△AEF中，AE=15 m，EF=20 m，由勾股定理得$AF^2=AE^2+EF^2$，代入数据得$AF^2=15^2+20^2=625$，解得$AF=25\ \mathrm{m}$。
现有最大可用牵线长度为$17+6=23(\mathrm{m})$，$23＜25$，现有线长小于所需线长，因此不能成功。
【答案】
(1) 风筝离地面的垂直高度CD为$\boxed{9.5\ \mathrm{m}}$；
(2) 不能成功，理由见解析。
【知识点】
勾股定理，矩形的性质，实际问题建模
【点评】
本题以传统风筝文化为背景，将生活中的测量问题转化为几何计算问题，既考查了学生对基础几何知识点的掌握，也引导学生学会用数学模型解决实际问题，体现了数学的实用性。
【难度系数】
0.65
