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7. 如图1-4，在一条绷紧的绳索一端系着一艘小船。河岸上一工作人员拽着绳子的另一端向右走，绳端从C处移动到E处，同时小船从A处移动到B处，且绳长始终保持不变。回答下列问题：
（1）根据题意可知，AC
（2）若AF ⊥ CF，CF = 1.5 m，AF = 2 m，AB = 1.2 m，求工作人员需向右移动的距离。
（1）根据题意可知，AC
=
BC + CE（填“＞”“＜”或“=”）。（2）若AF ⊥ CF，CF = 1.5 m，AF = 2 m，AB = 1.2 m，求工作人员需向右移动的距离。
答案
7.(1) =
(2)解:由题意可知,A,B,F 三点共线,BF=AF-AB=2-1.2=0.8(m)。
在 Rt△CFA 中,由勾股定理,得 AC²=AF²+CF²=2²+1.5²=6.25,所以 AC=2.5 m。
在 Rt△CFB 中,由勾股定理,得 BC²=CF²+BF²=1.5²+0.8²=2.89,
所以 BC=1.7 m。
因为 AC=BC+CE,
所以 CE=AC-BC=2.5-1.7=0.8(m),
所以工作人员需向右移动的距离为 0.8 m。
(2)解:由题意可知,A,B,F 三点共线,BF=AF-AB=2-1.2=0.8(m)。
在 Rt△CFA 中,由勾股定理,得 AC²=AF²+CF²=2²+1.5²=6.25,所以 AC=2.5 m。
在 Rt△CFB 中,由勾股定理,得 BC²=CF²+BF²=1.5²+0.8²=2.89,
所以 BC=1.7 m。
因为 AC=BC+CE,
所以 CE=AC-BC=2.5-1.7=0.8(m),
所以工作人员需向右移动的距离为 0.8 m。
解析
【分析】
（1）题目明确给出绳长始终保持不变的条件，初始状态下绳长为AC，当绳端移动到E处、小船移动到B处时，此时绳长为BC+CE，因此二者相等。
（2）要求工作人员向右移动的距离即CE的长度，由（1）的结论可知CE=AC-BC，因此只需先求出AC和BC的长度即可：首先根据A、B、F三点共线，用AF的长度减去AB的长度得到BF的长度，再分别在Rt△CFA和Rt△CFB中利用勾股定理求出AC、BC的长，最后代入CE=AC-BC计算即可得到结果。
【解析】
(1) 根据绳长始终不变可知，初始绳长AC等于移动后的绳长BC+CE，故填“=”。
(2) 解：由题意可知，A,B,F三点共线，
∴ BF=AF-AB=2-1.2=0.8(m)。
在Rt△CFA中，∠F=90°，由勾股定理，得
AC²=AF²+CF²=2²+1.5²=6.25，
∴ AC=2.5 m。
在Rt△CFB中，∠F=90°，由勾股定理，得
BC²=CF²+BF²=1.5²+0.8²=2.89，
∴ BC=1.7 m。
由(1)的结论AC=BC+CE可得：
CE=AC-BC=2.5-1.7=0.8(m)。
【答案】
(1) =
(2) 0.8 m
【知识点】
勾股定理的应用，线段和差计算
【点评】
本题结合生活实际场景考查几何知识的应用，解题核心是抓住“绳长不变”的隐含条件，将实际问题转化为直角三角形的边长计算问题，理清各线段之间的数量关系即可顺利求解。
【难度系数】
0.7
（1）题目明确给出绳长始终保持不变的条件，初始状态下绳长为AC，当绳端移动到E处、小船移动到B处时，此时绳长为BC+CE，因此二者相等。
（2）要求工作人员向右移动的距离即CE的长度，由（1）的结论可知CE=AC-BC，因此只需先求出AC和BC的长度即可：首先根据A、B、F三点共线，用AF的长度减去AB的长度得到BF的长度，再分别在Rt△CFA和Rt△CFB中利用勾股定理求出AC、BC的长，最后代入CE=AC-BC计算即可得到结果。
【解析】
(1) 根据绳长始终不变可知，初始绳长AC等于移动后的绳长BC+CE，故填“=”。
(2) 解：由题意可知，A,B,F三点共线，
∴ BF=AF-AB=2-1.2=0.8(m)。
在Rt△CFA中，∠F=90°，由勾股定理，得
AC²=AF²+CF²=2²+1.5²=6.25，
∴ AC=2.5 m。
在Rt△CFB中，∠F=90°，由勾股定理，得
BC²=CF²+BF²=1.5²+0.8²=2.89，
∴ BC=1.7 m。
由(1)的结论AC=BC+CE可得：
CE=AC-BC=2.5-1.7=0.8(m)。
【答案】
(1) =
(2) 0.8 m
【知识点】
勾股定理的应用，线段和差计算
【点评】
本题结合生活实际场景考查几何知识的应用，解题核心是抓住“绳长不变”的隐含条件，将实际问题转化为直角三角形的边长计算问题，理清各线段之间的数量关系即可顺利求解。
【难度系数】
0.7
8. 如图1-5,在$Rt△ ABC$中,$∠ ACB = 90°$,$AB=5\ \mathrm{cm}$,$AC=4\ \mathrm{cm}$,动点P从点B出发沿射线BC以$3\ \mathrm{cm/s}$的速度移动,设运动的时间为$t\ \mathrm{s}$。
(1)求BC边的长;
(2)当$△ ABP$为直角三角形时,求$t$的值。
图1-5
(1)求BC边的长;
(2)当$△ ABP$为直角三角形时,求$t$的值。
图1-5
答案
8. 解:(1)因为在 Rt△ABC 中,∠ACB=90°,AB=5 cm,AC=4 cm,
所以 BC²=AB²-AC²=5²-4²=9,所以 BC=3 cm。
(2)由题意可知 BP=3t cm,∠B≠90°。分两种情况:
①当∠APB=90°时,易知点 P 与点 C 重合,
所以 BP = BC,即 3t=3,所以 t=1;
②当∠PAB=90°时,如答图 1-2 所示:
则 AC²+CP²=AP²=BP²-AB²,即 4²+(3t-3)²=(3t)²-5²,解得 t=25/9。
综上所述,当△ABP 为直角三角形时,t=1 或 25/9。
解析
【分析】
(1)第一问已知直角三角形的斜边和一条直角边，直接利用勾股定理即可求出BC的长度。
(2)第二问是动点下的直角三角形存在性问题，首先排除∠B为直角的情况，再分两种情况讨论：①直角顶点为P，此时AP垂直BC，结合AC⊥BC可知P与C重合，即可列方程求t；②直角顶点为A，此时P在BC的延长线上，分别在Rt△ACP和Rt△ABP中用勾股定理表示AP²，建立方程求解即可。
【解析】
(1) 在$Rt△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，$AB=5\ \mathrm{cm}$，$AC=4\ \mathrm{cm}$，由勾股定理得：
$BC^2=AB^2-AC^2=5^2-4^2=9$
解得$BC=3\ \mathrm{cm}$。
(2) 由题意得，动点P运动的路程$BP=3t\ \mathrm{cm}$，$△ ABP$中$∠ B$不可能为直角，分两种情况讨论：
① 当$∠ APB=90°$时，此时$AP⊥ BC$，结合$AC⊥ BC$可知点P与点C重合，因此$BP=BC$，即：
$3t=3$
解得$t=1$。
② 当$∠ PAB=90°$时，点P在BC的延长线上，$CP=BP-BC=3t-3\ \mathrm{cm}$，如答图1-2所示：
在$Rt△ ACP$中，$AP^2=AC^2+CP^2=4^2+(3t-3)^2$；
在$Rt△ ABP$中，$AP^2=BP^2-AB^2=(3t)^2-5^2$；
联立得方程：$4^2+(3t-3)^2=(3t)^2-5^2$
展开化简得：$16+9t^2-18t+9=9t^2-25$，即$-18t=-50$
解得$t=\frac{25}{9}$。
综上，当$△ ABP$为直角三角形时，$t$的值为$1$或$\frac{25}{9}$。
【答案】
(1) $BC$的长为$3\ \mathrm{cm}$；
(2) $t$的值为$1$或$\frac{25}{9}$。
【知识点】
勾股定理；直角三角形存在性；分类讨论思想
【点评】
本题以动点为背景考查勾股定理的应用，解题核心是根据直角顶点的不同分类讨论，建立方程求解，能有效培养学生的逻辑严谨性，避免漏解。
【难度系数】
0.6
(1)第一问已知直角三角形的斜边和一条直角边，直接利用勾股定理即可求出BC的长度。
(2)第二问是动点下的直角三角形存在性问题，首先排除∠B为直角的情况，再分两种情况讨论：①直角顶点为P，此时AP垂直BC，结合AC⊥BC可知P与C重合，即可列方程求t；②直角顶点为A，此时P在BC的延长线上，分别在Rt△ACP和Rt△ABP中用勾股定理表示AP²，建立方程求解即可。
【解析】
(1) 在$Rt△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，$AB=5\ \mathrm{cm}$，$AC=4\ \mathrm{cm}$，由勾股定理得：
$BC^2=AB^2-AC^2=5^2-4^2=9$
解得$BC=3\ \mathrm{cm}$。
(2) 由题意得，动点P运动的路程$BP=3t\ \mathrm{cm}$，$△ ABP$中$∠ B$不可能为直角，分两种情况讨论：
① 当$∠ APB=90°$时，此时$AP⊥ BC$，结合$AC⊥ BC$可知点P与点C重合，因此$BP=BC$，即：
$3t=3$
解得$t=1$。
② 当$∠ PAB=90°$时，点P在BC的延长线上，$CP=BP-BC=3t-3\ \mathrm{cm}$，如答图1-2所示：
在$Rt△ ACP$中，$AP^2=AC^2+CP^2=4^2+(3t-3)^2$；
在$Rt△ ABP$中，$AP^2=BP^2-AB^2=(3t)^2-5^2$；
联立得方程：$4^2+(3t-3)^2=(3t)^2-5^2$
展开化简得：$16+9t^2-18t+9=9t^2-25$，即$-18t=-50$
解得$t=\frac{25}{9}$。
综上，当$△ ABP$为直角三角形时，$t$的值为$1$或$\frac{25}{9}$。
【答案】
(1) $BC$的长为$3\ \mathrm{cm}$；
(2) $t$的值为$1$或$\frac{25}{9}$。
【知识点】
勾股定理；直角三角形存在性；分类讨论思想
【点评】
本题以动点为背景考查勾股定理的应用，解题核心是根据直角顶点的不同分类讨论，建立方程求解，能有效培养学生的逻辑严谨性，避免漏解。
【难度系数】
0.6
9. 如图1-6，在某一景观河的一侧有一最佳观景点C，河边有两个入口A，B，通过道路AC，BC可前往观景点C，$BC=AB$。因景区改造，需要关闭通道AC，为了方便游客观景，分散人流，决定新修道路CH（点H在河边，A，H，B在同一直线上）。经测量：$BC=250\ \mathrm{m}$，$HC=240\ \mathrm{m}$，$BH=70\ \mathrm{m}$。
(1)判断CH是否为从C到河边的最近道路，并说明理由。
(2)求原道路AC的长度。
(1)判断CH是否为从C到河边的最近道路，并说明理由。
(2)求原道路AC的长度。
答案
9. 解:(1)CH 是从 C 到河边的最近道路。
理由:在△BCH 中,已知 BC=250 m,HC=240 m,BH=70 m。
因为 BH²+HC²=70²+240²=250²=BC²,
所以△BCH 是直角三角形,且∠CHB=90°,即 CH⊥AB。
根据垂线段最短的性质,CH 是从点 C 到河边的最近道路。
(2)因为 BC=AB=250 m,BH=70 m,
所以 AH=AB-BH=250-70=180（m）,
在 Rt△ACH 中,CH=240 m,AH=180 m,
根据勾股定理,得 AC²=AH²+CH²=180²+240²=90 000,
所以 AC=300 m。
答:原道路 AC 的长度为 300 m。
理由:在△BCH 中,已知 BC=250 m,HC=240 m,BH=70 m。
因为 BH²+HC²=70²+240²=250²=BC²,
所以△BCH 是直角三角形,且∠CHB=90°,即 CH⊥AB。
根据垂线段最短的性质,CH 是从点 C 到河边的最近道路。
(2)因为 BC=AB=250 m,BH=70 m,
所以 AH=AB-BH=250-70=180（m）,
在 Rt△ACH 中,CH=240 m,AH=180 m,
根据勾股定理,得 AC²=AH²+CH²=180²+240²=90 000,
所以 AC=300 m。
答:原道路 AC 的长度为 300 m。
解析
【分析】
（1）要判断CH是否为C到河边的最近道路，根据垂线段最短的性质，只需证明CH垂直AB即可。已知△BCH的三边长度，可通过勾股定理的逆定理验证三边是否满足平方和关系，若满足则△BCH为直角三角形且直角在H点，即可得到CH⊥AB的结论。
（2）求AC的长度时，先由已知BC=AB得到AB的长度，结合BH的长度求出AH的长度，在已证CH⊥AB的前提下，△ACH为直角三角形，直接运用勾股定理即可计算出AC的长度。
【解析】
(1) CH是从C到河边的最近道路，理由如下：
在△BCH中，已知$BC=250\ \mathrm{m}$，$HC=240\ \mathrm{m}$，$BH=70\ \mathrm{m}$
计算得：$BH^2+HC^2=70^2+240^2=4900+57600=62500$，$BC^2=250^2=62500$
因此$BH^2+HC^2=BC^2$，根据勾股定理的逆定理，△BCH是直角三角形，且$∠ CHB=90°$，即$CH⊥ AB$。
根据垂线段最短的性质，CH是从点C到河边的最近道路。
(2) 由题意得$BC=AB=250\ \mathrm{m}$，已知$BH=70\ \mathrm{m}$
因此$AH=AB-BH=250-70=180\ \mathrm{m}$
由(1)可知$CH⊥ AB$，即△ACH为直角三角形，在$Rt△ ACH$中，根据勾股定理：
$AC^2=AH^2+CH^2=180^2+240^2=32400+57600=90000$
所以$AC=\sqrt{90000}=300\ \mathrm{m}$
【答案】
(1) CH是从C到河边的最近道路，理由见解析；
(2) 原道路AC的长度为$\boxed{300\ \mathrm{m}}$。
【知识点】
勾股定理的逆定理，垂线段最短，勾股定理的应用
【点评】
本题结合实际生活场景考查几何知识的应用，解题核心是先利用勾股定理的逆定理判定垂直关系，再结合勾股定理计算未知边长，能够锻炼学生将实际问题转化为数学问题的应用能力。
【难度系数】
0.8
（1）要判断CH是否为C到河边的最近道路，根据垂线段最短的性质，只需证明CH垂直AB即可。已知△BCH的三边长度，可通过勾股定理的逆定理验证三边是否满足平方和关系，若满足则△BCH为直角三角形且直角在H点，即可得到CH⊥AB的结论。
（2）求AC的长度时，先由已知BC=AB得到AB的长度，结合BH的长度求出AH的长度，在已证CH⊥AB的前提下，△ACH为直角三角形，直接运用勾股定理即可计算出AC的长度。
【解析】
(1) CH是从C到河边的最近道路，理由如下：
在△BCH中，已知$BC=250\ \mathrm{m}$，$HC=240\ \mathrm{m}$，$BH=70\ \mathrm{m}$
计算得：$BH^2+HC^2=70^2+240^2=4900+57600=62500$，$BC^2=250^2=62500$
因此$BH^2+HC^2=BC^2$，根据勾股定理的逆定理，△BCH是直角三角形，且$∠ CHB=90°$，即$CH⊥ AB$。
根据垂线段最短的性质，CH是从点C到河边的最近道路。
(2) 由题意得$BC=AB=250\ \mathrm{m}$，已知$BH=70\ \mathrm{m}$
因此$AH=AB-BH=250-70=180\ \mathrm{m}$
由(1)可知$CH⊥ AB$，即△ACH为直角三角形，在$Rt△ ACH$中，根据勾股定理：
$AC^2=AH^2+CH^2=180^2+240^2=32400+57600=90000$
所以$AC=\sqrt{90000}=300\ \mathrm{m}$
【答案】
(1) CH是从C到河边的最近道路，理由见解析；
(2) 原道路AC的长度为$\boxed{300\ \mathrm{m}}$。
【知识点】
勾股定理的逆定理，垂线段最短，勾股定理的应用
【点评】
本题结合实际生活场景考查几何知识的应用，解题核心是先利用勾股定理的逆定理判定垂直关系，再结合勾股定理计算未知边长，能够锻炼学生将实际问题转化为数学问题的应用能力。
【难度系数】
0.8
10. 教育部大力倡导对新时代中小学生进行劳动教育，旨在塑造学生正确的劳动价值观与优秀的劳动品质。学校积极贯彻落实，把校内如图1-7所示的四边形ABCD空地改造为“劳动乐园”。经测量，$AB=6\ \mathrm{m}$，$BC=8\ \mathrm{m}$，$CD=24\ \mathrm{m}$，$AD=26\ \mathrm{m}$，$∠ B=90°$。该“劳动乐园”即将迎来盛大的劳动成果展示活动。
(1)为增添活动氛围，学校打算用一条装饰彩带将“劳动乐园”内的$A$，$C$两点连接起来，至少需要多少米装饰彩带？
(2)学校计划在“劳动乐园”内播撒缤纷色彩，在$△ ABC$区域内种植玫瑰，每平方米种植5株；在$△ ACD$区域内种植郁金香，每平方米种植3株。总共需要种植多少株？
(1)为增添活动氛围，学校打算用一条装饰彩带将“劳动乐园”内的$A$，$C$两点连接起来，至少需要多少米装饰彩带？
(2)学校计划在“劳动乐园”内播撒缤纷色彩，在$△ ABC$区域内种植玫瑰，每平方米种植5株；在$△ ACD$区域内种植郁金香，每平方米种植3株。总共需要种植多少株？
答案
10. 解:(1)连接 AC(图略),因为∠B=90°,AB=6 m,BC=8 m,
所以在 Rt△ABC 中,由勾股定理得 AC²=AB²+BC²=6²+8²,所以 AC=10 m,所以至少需要 10 m 装饰彩带。
(2)因为 CD=24 m,AD=26 m,AC=10 m,所以 AC²+CD²=AD²,所以∠ACD=90°,
所以 Rt△ACD 的面积=1/2 AC·CD=1/2 ×10×24=120(m²)。
因为∠B=90°,AB=6 m,BC=8 m,所以Rt△ABC 的面积=1/2 AB·BC=1/2 ×6×8=24(m²)。
因为在△ABC 区域内种植玫瑰,每平方米种植 5 株,所以需要种植玫瑰 24×5=120(株)。因为在△ACD 区域内种植郁金香,每平方米种植 3 株,所以需要种植郁金香 120×3=360(株)。因为 120+360=480(株),所以总共需要种植 480 株。
所以在 Rt△ABC 中,由勾股定理得 AC²=AB²+BC²=6²+8²,所以 AC=10 m,所以至少需要 10 m 装饰彩带。
(2)因为 CD=24 m,AD=26 m,AC=10 m,所以 AC²+CD²=AD²,所以∠ACD=90°,
所以 Rt△ACD 的面积=1/2 AC·CD=1/2 ×10×24=120(m²)。
因为∠B=90°,AB=6 m,BC=8 m,所以Rt△ABC 的面积=1/2 AB·BC=1/2 ×6×8=24(m²)。
因为在△ABC 区域内种植玫瑰,每平方米种植 5 株,所以需要种植玫瑰 24×5=120(株)。因为在△ACD 区域内种植郁金香,每平方米种植 3 株,所以需要种植郁金香 120×3=360(株)。因为 120+360=480(株),所以总共需要种植 480 株。
解析
【分析】
(1)要求连接A、C两点的彩带最短长度，即求线段AC的长度。已知∠B=90°，△ABC是直角三角形，且已知两条直角边AB、BC的长度，直接利用勾股定理即可求出AC的长度。
(2)要求总种植株数，需要先分别求出△ABC和△ACD的面积：△ABC是直角三角形，用直角三角形面积公式直接计算即可；对于△ACD，已知三边长度，先通过勾股定理的逆定理判断其为直角三角形，再计算面积，最后分别乘对应区域每平方米的种植数量，求和即可得到总株数。
【解析】
(1)连接AC，
∵∠B=90°，AB=6 m，BC=8 m，
∴在Rt△ABC中，由勾股定理得：
$AC^2=AB^2+BC^2=6^2+8^2=36+64=100$，
∴$AC=10\ \mathrm{m}$，即至少需要10 m装饰彩带。
(2)已知$AC=10\ \mathrm{m}$，$CD=24\ \mathrm{m}$，$AD=26\ \mathrm{m}$，
∵$AC^2+CD^2=10^2+24^2=100+576=676$，$AD^2=26^2=676$，
∴$AC^2+CD^2=AD^2$，
∴∠ACD=90°，△ACD为直角三角形。
计算两个三角形的面积：
$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}AB· BC=\frac{1}{2}×6×8=24(\mathrm{m}^2)$，
$S_{△ ACD}=\frac{1}{2}AC· CD=\frac{1}{2}×10×24=120(\mathrm{m}^2)$。
再计算总种植株数：
玫瑰数量：$24×5=120$（株），
郁金香数量：$120×3=360$（株），
总株数：$120+360=480$（株）。
【答案】
(1)至少需要10 m装饰彩带；
(2)总共需要种植480株。
【知识点】
勾股定理；勾股定理的逆定理；三角形面积计算
【点评】
本题结合实际场景考查几何知识的应用，解题的关键是熟练掌握勾股定理及其逆定理的使用条件，先求线段长度再判断直角三角形计算面积，计算过程需要注意数值运算的准确性，属于结合实际的基础应用题。
【难度系数】
0.7
(1)要求连接A、C两点的彩带最短长度，即求线段AC的长度。已知∠B=90°，△ABC是直角三角形，且已知两条直角边AB、BC的长度，直接利用勾股定理即可求出AC的长度。
(2)要求总种植株数，需要先分别求出△ABC和△ACD的面积：△ABC是直角三角形，用直角三角形面积公式直接计算即可；对于△ACD，已知三边长度，先通过勾股定理的逆定理判断其为直角三角形，再计算面积，最后分别乘对应区域每平方米的种植数量，求和即可得到总株数。
【解析】
(1)连接AC，
∵∠B=90°，AB=6 m，BC=8 m，
∴在Rt△ABC中，由勾股定理得：
$AC^2=AB^2+BC^2=6^2+8^2=36+64=100$，
∴$AC=10\ \mathrm{m}$，即至少需要10 m装饰彩带。
(2)已知$AC=10\ \mathrm{m}$，$CD=24\ \mathrm{m}$，$AD=26\ \mathrm{m}$，
∵$AC^2+CD^2=10^2+24^2=100+576=676$，$AD^2=26^2=676$，
∴$AC^2+CD^2=AD^2$，
∴∠ACD=90°，△ACD为直角三角形。
计算两个三角形的面积：
$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}AB· BC=\frac{1}{2}×6×8=24(\mathrm{m}^2)$，
$S_{△ ACD}=\frac{1}{2}AC· CD=\frac{1}{2}×10×24=120(\mathrm{m}^2)$。
再计算总种植株数：
玫瑰数量：$24×5=120$（株），
郁金香数量：$120×3=360$（株），
总株数：$120+360=480$（株）。
【答案】
(1)至少需要10 m装饰彩带；
(2)总共需要种植480株。
【知识点】
勾股定理；勾股定理的逆定理；三角形面积计算
【点评】
本题结合实际场景考查几何知识的应用，解题的关键是熟练掌握勾股定理及其逆定理的使用条件，先求线段长度再判断直角三角形计算面积，计算过程需要注意数值运算的准确性，属于结合实际的基础应用题。
【难度系数】
0.7
