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10. 如图,在一次游园活动中,数学小组制作了一面“赵爽弦图锣”,其中$∠ ABC=90^{ \circ }$,$AC=50\ {cm}$,$AB=30\ {cm}$,小明蒙上眼睛用棍子击中了锣面,他击中阴影部分的概率是
$\frac{1}{25}$
.答案
解析:$\because ∠ ABC=90°$,$AC=50\ \mathrm{cm}$,$AB=30\ \mathrm{cm}$,
$\therefore BC=40\ \mathrm{cm}$,$\therefore S_{△ ABC}=\frac{1}{2}AB· BC=\frac{1}{2}×30×40=600(\mathrm{cm}^2)$,$\therefore S_{\mathrm{阴影部分}}=S_{\mathrm{大正方形}}-4S_{△ ABC}=50^2-4×600=100(\mathrm{cm}^2)$,$\therefore$小明击中阴影部分的概率是$\frac{100}{50^2}=\frac{1}{25}$.
$\therefore BC=40\ \mathrm{cm}$,$\therefore S_{△ ABC}=\frac{1}{2}AB· BC=\frac{1}{2}×30×40=600(\mathrm{cm}^2)$,$\therefore S_{\mathrm{阴影部分}}=S_{\mathrm{大正方形}}-4S_{△ ABC}=50^2-4×600=100(\mathrm{cm}^2)$,$\therefore$小明击中阴影部分的概率是$\frac{100}{50^2}=\frac{1}{25}$.
解析
【分析】要计算击中阴影部分的概率，需利用“概率=阴影部分面积÷整个锣面（大正方形）的面积”这一公式。首先通过勾股定理求出直角三角形ABC的未知边长，进而算出单个三角形面积；再结合赵爽弦图的结构，用大正方形面积减去4个直角三角形的面积得到阴影面积，最后代入概率公式求解。
【解析】
1. 在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AC=50cm，AB=30cm，根据勾股定理：
$BC=\sqrt{AC^2 - AB^2}=\sqrt{50^2 - 30^2}=\sqrt{2500 - 900}=40(\mathrm{cm})$。
2. 计算直角三角形ABC的面积：
$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}AB· BC=\frac{1}{2}×30×40=600(\mathrm{cm}^2)$。
3. 大正方形的面积：赵爽弦图的大正方形边长等于AC，故$S_{\mathrm{大正方形}}=AC^2=50^2=2500(\mathrm{cm}^2)$。
4. 阴影部分面积：
$S_{\mathrm{阴影}}=S_{\mathrm{大正方形}} - 4S_{△ ABC}=2500 - 4×600=100(\mathrm{cm}^2)$。
5. 击中阴影部分的概率：
$P=\frac{S_{\mathrm{阴影}}}{S_{\mathrm{大正方形}}}=\frac{100}{2500}=\frac{1}{25}$。
【答案】
$\frac{1}{25}$
【知识点】
勾股定理、几何概率、正方形面积
【点评】
本题结合赵爽弦图考查几何概率的计算，需掌握勾股定理求直角边长、面积差法求阴影面积，属于基础几何综合题，侧重知识点的应用。
【难度系数】
0.6
【解析】
1. 在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AC=50cm，AB=30cm，根据勾股定理：
$BC=\sqrt{AC^2 - AB^2}=\sqrt{50^2 - 30^2}=\sqrt{2500 - 900}=40(\mathrm{cm})$。
2. 计算直角三角形ABC的面积：
$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}AB· BC=\frac{1}{2}×30×40=600(\mathrm{cm}^2)$。
3. 大正方形的面积：赵爽弦图的大正方形边长等于AC，故$S_{\mathrm{大正方形}}=AC^2=50^2=2500(\mathrm{cm}^2)$。
4. 阴影部分面积：
$S_{\mathrm{阴影}}=S_{\mathrm{大正方形}} - 4S_{△ ABC}=2500 - 4×600=100(\mathrm{cm}^2)$。
5. 击中阴影部分的概率：
$P=\frac{S_{\mathrm{阴影}}}{S_{\mathrm{大正方形}}}=\frac{100}{2500}=\frac{1}{25}$。
【答案】
$\frac{1}{25}$
【知识点】
勾股定理、几何概率、正方形面积
【点评】
本题结合赵爽弦图考查几何概率的计算，需掌握勾股定理求直角边长、面积差法求阴影面积，属于基础几何综合题，侧重知识点的应用。
【难度系数】
0.6
三、解答题
11. 2025 无锡马拉松于 3 月 23 日下午圆满收官. 这场主打在樱花盛开的季节奔跑在最美樱花赛道上的赛事，给予了参赛者“人在画中跑”的独特体验. 该届赛事共设置了三个项目：
A. 马拉松；B. 半程马拉松；C. 欢乐跑.
(1)若甲随机选择一个项目参赛，则他选择“欢乐跑”的概率为
(2)甲、乙两人从这三个项目中各选择一个项目参赛，请用列表或画树状图的方法求甲、乙两人恰好选择同一项目的概率.
11. 2025 无锡马拉松于 3 月 23 日下午圆满收官. 这场主打在樱花盛开的季节奔跑在最美樱花赛道上的赛事，给予了参赛者“人在画中跑”的独特体验. 该届赛事共设置了三个项目：
A. 马拉松；B. 半程马拉松；C. 欢乐跑.
(1)若甲随机选择一个项目参赛，则他选择“欢乐跑”的概率为
$\frac{1}{3}$
.(2)甲、乙两人从这三个项目中各选择一个项目参赛，请用列表或画树状图的方法求甲、乙两人恰好选择同一项目的概率.
答案
(1)$\frac{1}{3}$
(2)列表如下,由表可知,共有9种等可能的结果,甲、乙两人恰好选择同一项目的结果有3种,
∴甲、乙两人恰好选择同一项目的概率为$\frac{3}{9}=\frac{1}{3}$.
(2)列表如下,由表可知,共有9种等可能的结果,甲、乙两人恰好选择同一项目的结果有3种,
∴甲、乙两人恰好选择同一项目的概率为$\frac{3}{9}=\frac{1}{3}$.
解析
【分析】
第(1)问中，甲从3个项目里随机选1个，每个项目被选中的可能性相等，属于等可能事件，直接用概率公式计算即可。第(2)问中，甲、乙两人各选一个项目，需用列表法或树状图法列举出所有等可能的结果，再从中找出两人恰好选择同一项目的结果数，最后根据概率公式计算概率。
【解析】
(1) 总共有A、B、C共3个项目，甲选择“欢乐跑”（即项目C）的情况有1种，根据概率公式，所求概率为$\frac{1}{3}$。
(2) 列表如下：
| 甲\乙 | A | B | C |
| --- | --- | --- | --- |
| A | (A,A) | (A,B) | (A,C) |
| B | (B,A) | (B,B) | (B,C) |
| C | (C,A) | (C,B) | (C,C) |
由表可知，共有9种等可能的结果，其中甲、乙两人恰好选择同一项目的结果有(A,A)、(B,B)、(C,C)共3种，因此所求概率为$\frac{3}{9}=\frac{1}{3}$。
【答案】
(1)$\frac{1}{3}$；(2)$\frac{1}{3}$
【知识点】概率的计算、列举法求概率
【点评】
本题属于基础概率应用题，考查等可能事件的概率计算，通过列表法清晰呈现所有等可能结果，步骤简单，适合学生巩固概率的基础知识点。
【难度系数】
0.7
第(1)问中，甲从3个项目里随机选1个，每个项目被选中的可能性相等，属于等可能事件，直接用概率公式计算即可。第(2)问中，甲、乙两人各选一个项目，需用列表法或树状图法列举出所有等可能的结果，再从中找出两人恰好选择同一项目的结果数，最后根据概率公式计算概率。
【解析】
(1) 总共有A、B、C共3个项目，甲选择“欢乐跑”（即项目C）的情况有1种，根据概率公式，所求概率为$\frac{1}{3}$。
(2) 列表如下：
| 甲\乙 | A | B | C |
| --- | --- | --- | --- |
| A | (A,A) | (A,B) | (A,C) |
| B | (B,A) | (B,B) | (B,C) |
| C | (C,A) | (C,B) | (C,C) |
由表可知，共有9种等可能的结果，其中甲、乙两人恰好选择同一项目的结果有(A,A)、(B,B)、(C,C)共3种，因此所求概率为$\frac{3}{9}=\frac{1}{3}$。
【答案】
(1)$\frac{1}{3}$；(2)$\frac{1}{3}$
【知识点】概率的计算、列举法求概率
【点评】
本题属于基础概率应用题，考查等可能事件的概率计算，通过列表法清晰呈现所有等可能结果，步骤简单，适合学生巩固概率的基础知识点。
【难度系数】
0.7
12. (2024·内蒙古)从一副普通的扑克牌中取出5张牌,它们的牌面数字分别是4,4,5,5,6.
(1)将这五张扑克牌背面朝上,洗匀后从中随机抽取一张,则抽取的这张牌的牌面数字是4的概率是多少?
(2)将这5张扑克牌背面朝上,洗匀后从中随机抽取一张(不放回),再从中随机抽取第二张,请用列表或画树状图的方法,求抽取的这两张牌的牌面数字之和为奇数的概率.
(1)将这五张扑克牌背面朝上,洗匀后从中随机抽取一张,则抽取的这张牌的牌面数字是4的概率是多少?
(2)将这5张扑克牌背面朝上,洗匀后从中随机抽取一张(不放回),再从中随机抽取第二张,请用列表或画树状图的方法,求抽取的这两张牌的牌面数字之和为奇数的概率.
答案
(1)5张扑克牌中,牌面数字为4的扑克牌有2张,则抽取的这张牌的牌面数字为4的概率为$\frac{2}{5}$.
(2)列表如下,由表可知,共有20种等可能的结果,其中抽取的这两张牌的牌面数字之和为奇数的情况有12种,则抽取的这两张牌的牌面数字之和为奇数的概率为$\frac{12}{20}=\frac{3}{5}$.
(2)列表如下,由表可知,共有20种等可能的结果,其中抽取的这两张牌的牌面数字之和为奇数的情况有12种,则抽取的这两张牌的牌面数字之和为奇数的概率为$\frac{12}{20}=\frac{3}{5}$.
解析
【分析】
第(1)问是古典概型的简单应用，只需确定总情况数和符合条件的情况数，利用概率公式计算即可；第(2)问是不放回抽取的概率问题，需用列表法列举所有等可能的结果，再从中找出牌面数字之和为奇数的结果数，最后代入概率公式求解，注意不放回抽取时总结果数为两次抽取的排列数。
【解析】
(1) 总共有5张牌，其中牌面数字为4的牌有2张，根据古典概型概率公式，抽取的牌面数字是4的概率为：
$P=\frac{符合条件的情况数}{总情况数}=\frac{2}{5}$；
(2) 采用列表法列举所有等可能的结果，由于是不放回抽取，第一次抽取有5种可能，第二次抽取有4种可能，共$5×4=20$种等可能结果。其中，牌面数字之和为奇数的情况是“一张偶数牌+一张奇数牌”：偶数牌有3张（4、4、6），奇数牌有2张（5、5），故和为奇数的结果数为$3×2 + 2×3=12$种。因此，抽取的两张牌数字之和为奇数的概率为：
$P=\frac{12}{20}=\frac{3}{5}$；
【答案】
(1)$\frac{2}{5}$；(2)$\frac{3}{5}$
【知识点】
古典概型、列举法求概率
【点评】
本题考查概率的基础应用，核心是掌握古典概型的概率计算方法，以及用列表法列举不放回抽取的所有等可能结果，属于初中概率的常规题型，难度适中。
【难度系数】
0.6
第(1)问是古典概型的简单应用，只需确定总情况数和符合条件的情况数，利用概率公式计算即可；第(2)问是不放回抽取的概率问题，需用列表法列举所有等可能的结果，再从中找出牌面数字之和为奇数的结果数，最后代入概率公式求解，注意不放回抽取时总结果数为两次抽取的排列数。
【解析】
(1) 总共有5张牌，其中牌面数字为4的牌有2张，根据古典概型概率公式，抽取的牌面数字是4的概率为：
$P=\frac{符合条件的情况数}{总情况数}=\frac{2}{5}$；
(2) 采用列表法列举所有等可能的结果，由于是不放回抽取，第一次抽取有5种可能，第二次抽取有4种可能，共$5×4=20$种等可能结果。其中，牌面数字之和为奇数的情况是“一张偶数牌+一张奇数牌”：偶数牌有3张（4、4、6），奇数牌有2张（5、5），故和为奇数的结果数为$3×2 + 2×3=12$种。因此，抽取的两张牌数字之和为奇数的概率为：
$P=\frac{12}{20}=\frac{3}{5}$；
【答案】
(1)$\frac{2}{5}$；(2)$\frac{3}{5}$
【知识点】
古典概型、列举法求概率
【点评】
本题考查概率的基础应用，核心是掌握古典概型的概率计算方法，以及用列表法列举不放回抽取的所有等可能结果，属于初中概率的常规题型，难度适中。
【难度系数】
0.6
