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16. 如图,将边长分别为 2,3,5 的正方形 GBIR,AFNE,CJQH 放置在长方形 ABCD 内,阴影部分的面积分别为 $ S_1, S_2 $,若 $ S_1 = S_2 $,则长方形 ABCD 的周长是 ______。
答案
16.26 解析:设$AB=CD=x,AD=BC=y$,根据已知可得,$FG=AB-AF-BG=x-3-2=x-5$,$KG=BC-CH=y-5$,$MN=AF-DJ=3-(x-5)=8-x$,$MQ=QJ-DE=5-(y-3)=8-y$,因为$S_1=S_2$,所以$(8-x)(8-y)=(x-5)(y-5)$,化简整理可得$x+y=13$,所以长方形$ABCD$的周长是$2(x+y)=26$,故答案为26。
解析
【分析】
要解决这个问题，我们可以通过设长方形ABCD的长AB为x，宽AD为y，结合三个正方形的边长，用x、y表示出阴影部分S₁和S₂的边长，再利用S₁=S₂的条件建立等式，化简后求出x+y的值，最后根据长方形周长公式计算周长。解题的关键是理清图形中各线段与长方形长、宽的关系，准确表示出阴影部分的边长。
【解析】
设长方形ABCD的长AB = x，宽AD = y。
已知三个正方形的边长分别为：AFNE边长为3，GBIR边长为2，CJQH边长为5。
1. 表示S₂的边长：FG = AB - AF - BG = x - 3 - 2 = x - 5；KG = BC - CH = y - 5，因此S₂的面积为$(x - 5)(y - 5)$。
2. 表示S₁的边长：MN = AF - DJ，而DJ = AB - CJ = x - 5，所以MN = 3 - (x - 5) = 8 - x；MQ = QJ - DE，QJ = AD - AE = y - 3，所以MQ = 5 - (y - 3) = 8 - y，因此S₁的面积为$(8 - x)(8 - y)$。
3. 因为S₁ = S₂，所以：
$(8 - x)(8 - y) = (x - 5)(y - 5)$
展开等式两边：
左边：$64 - 8x - 8y + xy$
右边：$xy - 5x - 5y + 25$
两边消去xy，整理得：
$64 - 8x - 8y = -5x -5y +25$
移项合并同类项：
$39 = 3x + 3y$
即$x + y = 13$。
4. 长方形ABCD的周长为$2(x + y) = 2×13 = 26$。
【答案】
26
【知识点】
长方形周长、正方形面积、代数式化简
【点评】
本题通过设未知数列方程，结合图形中线段的关系化简求解，重点考查了学生对图形边长关系的分析能力和代数式的运算能力，是一道中等难度的几何代数结合题。
【难度系数】
0.5
要解决这个问题，我们可以通过设长方形ABCD的长AB为x，宽AD为y，结合三个正方形的边长，用x、y表示出阴影部分S₁和S₂的边长，再利用S₁=S₂的条件建立等式，化简后求出x+y的值，最后根据长方形周长公式计算周长。解题的关键是理清图形中各线段与长方形长、宽的关系，准确表示出阴影部分的边长。
【解析】
设长方形ABCD的长AB = x，宽AD = y。
已知三个正方形的边长分别为：AFNE边长为3，GBIR边长为2，CJQH边长为5。
1. 表示S₂的边长：FG = AB - AF - BG = x - 3 - 2 = x - 5；KG = BC - CH = y - 5，因此S₂的面积为$(x - 5)(y - 5)$。
2. 表示S₁的边长：MN = AF - DJ，而DJ = AB - CJ = x - 5，所以MN = 3 - (x - 5) = 8 - x；MQ = QJ - DE，QJ = AD - AE = y - 3，所以MQ = 5 - (y - 3) = 8 - y，因此S₁的面积为$(8 - x)(8 - y)$。
3. 因为S₁ = S₂，所以：
$(8 - x)(8 - y) = (x - 5)(y - 5)$
展开等式两边：
左边：$64 - 8x - 8y + xy$
右边：$xy - 5x - 5y + 25$
两边消去xy，整理得：
$64 - 8x - 8y = -5x -5y +25$
移项合并同类项：
$39 = 3x + 3y$
即$x + y = 13$。
4. 长方形ABCD的周长为$2(x + y) = 2×13 = 26$。
【答案】
26
【知识点】
长方形周长、正方形面积、代数式化简
【点评】
本题通过设未知数列方程，结合图形中线段的关系化简求解，重点考查了学生对图形边长关系的分析能力和代数式的运算能力，是一道中等难度的几何代数结合题。
【难度系数】
0.5
三、解答题(本大题共有7小题,共52分。请务必写出解答过程)
17.(6分)(1)计算:$(\sqrt{2})^{0}-(\dfrac{1}{2})^{-1}+(-1)^{3}$。
(2)化简:$(x+1)(x-2)+x(2x+1)$。
17.(6分)(1)计算:$(\sqrt{2})^{0}-(\dfrac{1}{2})^{-1}+(-1)^{3}$。
(2)化简:$(x+1)(x-2)+x(2x+1)$。
答案
17.(1)原式$=1-2-1=-1-1=-2$。
(2)原式$=x^2-2x+x-2+2x^2+x=3x^2-2$。
(2)原式$=x^2-2x+x-2+2x^2+x=3x^2-2$。
解析
【分析】
第(1)题需先运用零指数幂、负整数指数幂及乘方的运算法则分别计算各项，再按有理数加减法则求和；第(2)题需先利用多项式乘多项式、单项式乘多项式法则展开式子，再合并同类项得到结果。
【解析】
(1) 根据运算法则：任何非零数的0次幂为1，即$(\sqrt{2})^0=1$；负整数指数幂$a^{-p}=\frac{1}{a^p}$，故$(\frac{1}{2})^{-1}=2$；$(-1)$的奇数次幂为$-1$，即$(-1)^3=-1$。代入原式得：
原式$=1 - 2 + (-1) = 1 - 2 -1 = -2$。
(2) 先展开式子：$(x+1)(x-2)=x^2 -2x +x -2$，$x(2x+1)=2x^2 +x$；再合并同类项：
原式$=x^2 -2x +x -2 +2x^2 +x = (x^2+2x^2)+(-2x+x+x)-2 = 3x^2 -2$。
【答案】
(1) $-2$；(2) $3x^2 -2$
【知识点】
零指数幂、负整数指数幂、整式的混合运算
【点评】
本题为初中数学基础题，考查零指数幂、负整数指数幂的运算及整式的乘除加减混合运算，只要熟练掌握相关运算法则即可正确解答，属于学生应掌握的核心基础知识点。
【难度系数】
0.8
第(1)题需先运用零指数幂、负整数指数幂及乘方的运算法则分别计算各项，再按有理数加减法则求和；第(2)题需先利用多项式乘多项式、单项式乘多项式法则展开式子，再合并同类项得到结果。
【解析】
(1) 根据运算法则：任何非零数的0次幂为1，即$(\sqrt{2})^0=1$；负整数指数幂$a^{-p}=\frac{1}{a^p}$，故$(\frac{1}{2})^{-1}=2$；$(-1)$的奇数次幂为$-1$，即$(-1)^3=-1$。代入原式得：
原式$=1 - 2 + (-1) = 1 - 2 -1 = -2$。
(2) 先展开式子：$(x+1)(x-2)=x^2 -2x +x -2$，$x(2x+1)=2x^2 +x$；再合并同类项：
原式$=x^2 -2x +x -2 +2x^2 +x = (x^2+2x^2)+(-2x+x+x)-2 = 3x^2 -2$。
【答案】
(1) $-2$；(2) $3x^2 -2$
【知识点】
零指数幂、负整数指数幂、整式的混合运算
【点评】
本题为初中数学基础题，考查零指数幂、负整数指数幂的运算及整式的乘除加减混合运算，只要熟练掌握相关运算法则即可正确解答，属于学生应掌握的核心基础知识点。
【难度系数】
0.8
18.(6分)解方程(组):
(1)$\begin{cases}x - y = 3, \\3x + 2y = -1;\end{cases}$
(2)$\frac{3}{1 - y} + 5 = \frac{y}{y - 1}$。
(1)$\begin{cases}x - y = 3, \\3x + 2y = -1;\end{cases}$
(2)$\frac{3}{1 - y} + 5 = \frac{y}{y - 1}$。
答案
18.(1)$\begin{cases}x - y = 3, ①\\3x + 2y = -1, ②\end{cases}$ ①$×2+$②得$5x=5$,解得$x=1$,将$x=1$代入①得$1-y=3$,解得$y=-2$,故原方程组的解为$\begin{cases}x=1,\\y=-2。\end{cases}$
(2)原方程去分母得$-3+5y-5=y$,解得$y=2$,检验:当$y=2$时,$y-1≠0$,故原方程的解为$y=2$。
(2)原方程去分母得$-3+5y-5=y$,解得$y=2$,检验:当$y=2$时,$y-1≠0$,故原方程的解为$y=2$。
解析
【分析】
对于二元一次方程组，观察两个方程中y的系数，可采用加减消元法：将第一个方程乘以2后与第二个方程相加，消去y求出x，再代入第一个方程求y；对于分式方程，先利用分母的关系（$1-y=-(y-1)$）统一分母，去分母转化为整式方程求解，最后必须检验解是否使原分母为0，避免增根。
【解析】
(1) 给方程组标号：$\begin{cases}x - y = 3, ①\\3x + 2y = -1, ②\end{cases}$
①×2得：$2x - 2y = 6$ ③，
③+②得：$5x = 5$，解得$x=1$，
将$x=1$代入①得：$1 - y = 3$，解得$y=-2$，
故原方程组的解为$\begin{cases}x=1\\y=-2\end{cases}$。
(2) 原方程$\frac{3}{1 - y} + 5 = \frac{y}{y - 1}$，
因为$1 - y = -(y - 1)$，两边同乘最简公分母$(y - 1)$去分母得：
$-3 + 5(y - 1) = y$，
展开计算：$-3 +5y -5 = y$，
移项合并同类项：$4y =8$，解得$y=2$，
检验：当$y=2$时，$y -1=1≠0$，
故原方程的解为$y=2$。
【答案】
(1)$\begin{cases}x=1\\y=-2\end{cases}$；(2)$y=2$
【知识点】
加减消元法解二元一次方程组，分式方程的解法及检验
【点评】
本题考查二元一次方程组和分式方程的基础解法，属于常规题型，需注意分式方程必须检验解的合理性，避免增根，整体难度不大。
【难度系数】
0.8
对于二元一次方程组，观察两个方程中y的系数，可采用加减消元法：将第一个方程乘以2后与第二个方程相加，消去y求出x，再代入第一个方程求y；对于分式方程，先利用分母的关系（$1-y=-(y-1)$）统一分母，去分母转化为整式方程求解，最后必须检验解是否使原分母为0，避免增根。
【解析】
(1) 给方程组标号：$\begin{cases}x - y = 3, ①\\3x + 2y = -1, ②\end{cases}$
①×2得：$2x - 2y = 6$ ③，
③+②得：$5x = 5$，解得$x=1$，
将$x=1$代入①得：$1 - y = 3$，解得$y=-2$，
故原方程组的解为$\begin{cases}x=1\\y=-2\end{cases}$。
(2) 原方程$\frac{3}{1 - y} + 5 = \frac{y}{y - 1}$，
因为$1 - y = -(y - 1)$，两边同乘最简公分母$(y - 1)$去分母得：
$-3 + 5(y - 1) = y$，
展开计算：$-3 +5y -5 = y$，
移项合并同类项：$4y =8$，解得$y=2$，
检验：当$y=2$时，$y -1=1≠0$，
故原方程的解为$y=2$。
【答案】
(1)$\begin{cases}x=1\\y=-2\end{cases}$；(2)$y=2$
【知识点】
加减消元法解二元一次方程组，分式方程的解法及检验
【点评】
本题考查二元一次方程组和分式方程的基础解法，属于常规题型，需注意分式方程必须检验解的合理性，避免增根，整体难度不大。
【难度系数】
0.8
