8.如图,一块三角板$60°$角的顶点放在直尺的一边上。若$∠ 1=2∠ 2$,则$∠ 1$的度数为（）

A.$40°$
B.$60°$
C.$70°$
D.$80°$

8.D

【分析】
本题需结合直尺的平行性质与平角的定义推导角度关系。首先，直尺的两边互相平行，观察图形可知，∠1、∠2与三角板的60°角共同构成平角，由此可得出∠1与∠2的和为120°，再结合题目给出的∠1=2∠2的条件，即可计算出∠1的度数。
【解析】
因为直尺的对边互相平行，根据平角的定义（平角为180°），结合图形可得：∠1 + ∠2 + 60° = 180°，化简得∠1 + ∠2 = 120°。已知∠1=2∠2，将其代入上式，得到2∠2 + ∠2 = 120°，即3∠2=120°，解得∠2=40°，因此∠1=2×40°=80°。
【答案】
80°
【知识点】
平行线的性质，平角的定义
【点评】
本题将三角板与直尺结合，考查平行线和平角的基础应用，需要学生准确识别图形中的角度关系，难度适中，属于常见的角度计算题型。
【难度系数】
0.6

9.如图的剪拼过程(由左向右)可以验证的公式是 …………（）


A.$a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)$
B.$(a + b)(a - b) = a^2 - b^2$
C.$(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$
D.$a(a + b) = (a - b)(a + 2b)$

9.A 解析:如图1,①②③三部分的面积和可以看作两个正方形的面积差,即$a^{2}-b^{2}$,由①②③三部分所拼成的图2是一个长为$a+b$,宽为$a-b$的长方形,因此面积为$(a+b)(a-b)$,所以有$a^{2}-b^{2}=(a+b)(a-b)$,故选A。

【分析】本题利用图形剪拼前后面积不变的特点，通过计算剪拼前后图形的面积，推导对应的代数公式，从而选出正确选项。首先计算图1的面积（大正方形面积减去小正方形面积），再计算剪拼后图2的长方形面积，两者相等即可得到验证的公式。
【解析】图1中，大正方形边长为$a$，小正方形边长为$b$，因此图1的面积为$a^2 - b^2$；将图1的三部分剪拼后得到图2，图2是长为$(a+b)$、宽为$(a-b)$的长方形，其面积为$(a+b)(a-b)$。由于剪拼前后图形面积相等，所以$a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)$，对应选项A。
【答案】9.A
【知识点】平方差公式、图形面积与代数恒等式
【点评】本题运用数形结合思想，通过图形剪拼的面积关系验证代数公式，直观体现了平方差公式的几何意义，是初中代数中数形结合的典型题目。
【难度系数】0.6

10. 如图所示的运算程序中,如果开始输入$x$的值为2,可以发现第一次输出的结果为$-\dfrac{1}{2}$,第二次输出的结果为$-2$……则第2025次输出的结果是……（）

A.1
B.2
C.$-2$
D.$-\dfrac{1}{2}$

10.A 解析:第1次输出的结果为$-\frac{1}{2}$,第2次输出的结果为$-\frac{1}{-\frac{1}{2}+1}=-2$,第3次输出的结果为$-\frac{1}{-2+1}=1$,第4次输出的结果为$-\frac{1}{1+1}=-\frac{1}{2}$……所以每3次为一周期,以$-\frac{1}{2},-2,1$循环,因为$2025÷3=675$,所以第2025次输出的结果是1,故选A。

【分析】
要解决这道题，需先根据运算程序依次计算前几次的输出结果，观察结果的变化规律，找到循环周期，再利用周期规律确定第2025次的输出结果。具体步骤：1. 按照运算程序，依次计算第1、2、3、4次的输出结果；2. 分析这些结果，确定循环周期；3. 用总次数除以周期长度，根据余数判断第2025次输出对应周期中的结果。
【解析】
根据运算程序，依次计算各次输出：
第1次输入$x=2$，输出结果为：$-\frac{1}{2}$；
第2次输入为第1次的输出结果$-\frac{1}{2}$，输出结果为：$-\frac{1}{-\frac{1}{2}+1}=-\frac{1}{\frac{1}{2}}=-2$；
第3次输入为第2次的输出结果$-2$，输出结果为：$-\frac{1}{-2+1}=-\frac{1}{-1}=1$；
第4次输入为第3次的输出结果1，输出结果为：$-\frac{1}{1+1}=-\frac{1}{2}$；
由此可知，输出结果以$-\frac{1}{2}, -2, 1$为一个周期，周期长度为3。
因为$2025÷3=675$，无余数，说明第2025次输出的结果与周期中第3个结果相同，即1。
【答案】
A
【知识点】
代数式求值，循环规律
【点评】
本题结合运算程序考查学生的观察归纳能力，关键是准确找到输出结果的循环周期，利用周期规律解题，难度适中。
【难度系数】
0.5

11. 分解因式：$a^2 - 2a =$。

11.$a(a-2)$

【分析】本题考查因式分解的提公因式法，解题思路是先确定多项式各项的公因式，再将公因式提取，把多项式转化为几个整式乘积的形式。对于式子$a^2 - 2a$，各项均含有公因式$a$，提取该公因式即可完成分解。
【解析】观察多项式$a^2 - 2a$，各项的公因式为$a$，提取公因式得：$a^2 - 2a = a(a - 2)$。
【答案】$a(a - 2)$
【知识点】提公因式法分解因式
【点评】本题是因式分解的基础题，直接运用提公因式法即可求解，侧重考查对基础因式分解方法的掌握，难度较低。
【难度系数】0.9

12. 某校对100名女生的身高进行了测量，身高在157cm至162cm的小组有20人，则该组的频率是________。

12.0.2

【分析】要计算该组的频率，需先明确频率的计算公式：频率=该组的频数÷数据的总个数。本题中，数据总个数是测量的女生总人数100，该组的频数是身高在157cm至162cm的人数20，将这两个数值代入公式即可求出结果。
【解析】根据频率的定义，频率=频数÷总数。已知总人数为100，该组频数为20，因此该组的频率为：20÷100=0.2。
【答案】0.2
【知识点】频率计算
【点评】本题考查频率的基础计算，属于统计模块的简单题目，只需牢记频率的计算公式即可快速解答，是基础练习类题目。
【难度系数】0.9

13.若$x^2 + kx + 9 = (x - 3)^2$，则$k$的值是$\underline{\hspace{5cm}}$。

13.$-6$

【分析】本题需利用完全平方公式展开等式右侧，再根据多项式相等时对应项系数相等的性质求解k值。首先回忆完全平方公式：$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$，将右侧式子展开后与左侧多项式对比，即可得到k的值。
【解析】先展开等式右侧的完全平方：
$(x-3)^2=x^2-2· x·3+3^2=x^2-6x+9$
由于等式左右两侧多项式相等，对应项的系数也相等，左侧多项式为$x^2+kx+9$，右侧为$x^2-6x+9$，因此一次项系数相等，即$k=-6$。
【答案】$-6$
【知识点】完全平方公式，多项式系数对应相等
【点评】本题考查完全平方公式的基础应用，属于简单题型，只要熟练掌握完全平方公式的展开规则，即可快速得出结果。
【难度系数】0.7

14.如图,将三角形ABC沿水平方向向右平移到三角形DEF的位置。已知$BF=9$,$EC=3$,则$A,D$两点之间的距离是________。

14.3

【分析】
要解决本题，需运用图形平移的性质：平移后对应点所连的线段相等，对应线段也相等。本题中△ABC平移得到△DEF，对应点A→D、B→E、C→F，因此BE=CF，且AD=BE。观察线段BF，它由BE、EC、CF三段组成，结合已知BF和EC的长度，通过线段和的关系即可求出BE，进而得到AD的长度。
【解析】
根据平移的性质，△ABC沿水平方向平移得到△DEF，故对应点的连线BE=CF，且AD=BE（A与D是对应点，B与E是对应点）。
由线段和的关系可得：BF = BE + EC + CF，
因为BE=CF，所以BF = 2BE + EC。
将已知BF=9，EC=3代入上式：
9 = 2BE + 3，
解得：2BE = 6 → BE = 3，
因此AD = BE = 3。
【答案】
3
【知识点】
图形的平移性质
【点评】
本题考查平移的基本性质，属于基础题型，解题关键是明确平移后对应点连线相等，再结合线段和的关系计算，难度不大，学生易掌握。
【难度系数】
0.6

15.“绿水青山就是金山银山”，某市为美化环境，计划种植树木1200棵。在种植完400棵后，由于志愿者的加入，实际每天种植的棵数比原计划增加了25%，结果比原计划提前4天完成任务。设原计划每天植树$ x $棵，则$ x $满足的方程是$\underline{\hspace{10cm}}$。

15.$\frac{1200}{x}-\frac{400}{x}-\frac{1200-400}{(1+25\%)x}=4$ 解析:设原计划每天植树$x$棵,根据题意列方程得$\frac{1200}{x}-\frac{400}{x}-\frac{1200-400}{(1+25\%)x}=4$。故答案为$\frac{1200}{x}-\frac{400}{x}-\frac{1200-400}{(1+25\%)x}=4$。

【分析】本题是工程问题的分式方程应用，核心是利用“原计划完成总时间 - 实际完成总时间 = 提前的4天”这一等量关系。先分别计算原计划总时间、实际总时间：原计划总时间为总棵数除以原计划每天棵数；实际总时间分两部分，前400棵的时间和剩余棵数的时间，剩余棵数的效率需按“增加25%”计算，最后根据时间差列方程。
【解析】设原计划每天植树$x$棵。
1. 原计划完成任务的总时间：$\frac{1200}{x}$天；
2. 实际完成任务的总时间：前400棵用时$\frac{400}{x}$天，剩余$1200-400=800$棵，实际每天种植棵数为$(1+25\%)x$，所以剩余部分用时$\frac{800}{(1+25\%)x}$天，实际总时间为$\frac{400}{x}+\frac{800}{(1+25\%)x}$天；
3. 因实际比原计划提前4天完成，故原计划总时间减实际总时间等于4，列方程得：$\frac{1200}{x} - ( \frac{400}{x} + \frac{800}{(1+25\%)x} ) = 4$，整理后为$\frac{1200}{x}-\frac{400}{x}-\frac{1200-400}{(1+25\%)x}=4$。
【答案】$\frac{1200}{x}-\frac{400}{x}-\frac{1200-400}{(1+25\%)x}=4$
【知识点】分式方程的应用、工程问题
【点评】本题是工程类分式方程的典型基础题，关键是分阶段计算实际用时，需准确处理效率变化，利用时间差建立等量关系，是分式方程应用的常见题型。
【难度系数】0.6