1 [中]若$x$，$y$，$m$满足$x + y + m = 6$，$3x - y + m = 4$，则代数式$-2xy + 1$的值可以是()

A.$3$
B.$\frac{5}{2}$
C.$2$
D.$\frac{3}{2}$

1. D 【解析】由题意可得$\{\begin{array}{l} x+y=6-m,①\\ 3x-y=4-m,②\end{array} $①+②得$4x=10-2m$，所以$x=\frac {5-m}{2}$. 将$x=\frac {5-m}{2}$代入①得$\frac {5-m}{2}+y=6-m$，解得$y=\frac {7-m}{2}$，所以原方程组的解为$\{\begin{array}{l} x=\frac {5-m}{2},\\ y=\frac {7-m}{2},\end{array} $则$-2xy+1=-2×\frac {5-m}{2}×\frac {7-m}{2}+1=-\frac {(5-m)(7-m)}{2}+1=-\frac {m^{2}-12m+35}{2}+1=-\frac {(m^{2}-12m+36)-1}{2}+1=-\frac {(m-6)^{2}}{2}+\frac {3}{2}≤\frac {3}{2}$. 因为$3＞\frac {5}{2}＞2＞\frac {3}{2}$，所以选项 A、B、C 均不符合题意，选项 D 符合题意，故选 D.

2 [中]已知关于$x$，$y$的二元一次方程组$\begin{cases}x + 3y = 4 - a,\\x - y = 3a,\end{cases}$给出下列结论，其中正确的是( )
(1)当这个方程组的解满足$x$，$y$的值互为相反数时，$a = - 2$；(2)当$a = 1$时，方程组的解也是关于$x$，$y$的方程$x + y = 4 + 2a$的解；(3)无论$a$取什么有理数，$x + 2y$的值始终不变；(4)若用$x$表示$y$，则$y = -\frac{x}{2} + \frac{3}{2}$。
A. (1)(2)
B. (2)(3)
C. (1)(3)(4)
D. (2)(3)(4)

2. C 【解析】$\{\begin{array}{l} x+3y=4-a,①\\ x-y=3a,②\end{array} $①+②得$2x+2y=4+2a$，所以$x+y=2+a$. 当这个方程组的解满足 x，y 的值互为相反数，即$x+y=0$时，$2+a=0$，所以$a=-2$，故(1)正确；因为原方程组的解满足$x+y=2+a$，所以当$a=1$时，$x+y=3$，而当$a=1$时，关于 x，y 的方程$x+y=4+2a$的解满足$x+y=6$，故(2)不正确；$\{\begin{array}{l} x+3y=4-a,\\ x-y=3a,\end{array} $解得$\{\begin{array}{l} x=2a+1,\\ y=1-a,\end{array} $所以$x+2y=2a+1+2-2a=3$，所以无论 a 取什么有理数，$x+2y$的值始终不变，故(3)正确；$\{\begin{array}{l} x+3y=4-a,①\\ x-y=3a,②\end{array} $由①得$a=4-x-3y$，③ 把③代入②得$x-y=3(4-x-3y)$，所以$y=-\frac {x}{2}+\frac {3}{2}$，故(4)正确. 故选 C.

3 [中]$m$为负整数，已知二元一次方程组$\begin{cases}mx + 2y = 10,\\3x + 2y = 0\end{cases}$有整数解，则$m$的值为 ______ 。

3. -2 【解析】$\{\begin{array}{l} mx+2y=10,①\\ 3x+2y=0,②\end{array} $①-②得，$(m-3)x=10$，所以$x=\frac {10}{m-3}$. 将$x=\frac {10}{m-3}$代入②得$\frac {30}{m-3}+2y=0$，解得$y=-\frac {15}{m-3}$，所以原方程组的解为$\{\begin{array}{l} x=\frac {10}{m-3},\\ y=-\frac {15}{m-3}.\end{array} $因为方程组$\{\begin{array}{l} mx+2y=10,\\ 3x+2y=0\end{array} $有整数解，所以$m-3$为 10 和 15 的公约数. 又因为 m 为负整数，所以$m-3=-5$，解得$m=-2$，故答案为-2.

4 [2024 浙江绍兴期中，中]关于$x$，$y$的二元一次方程$(m - 3)x + (m + 2)y = 3m - 4$，当$m$每取一个确定的值时就得到一个方程，所有这些方程有一个相同解，则这个相同解是。

4. $\{\begin{array}{l} x=2,\\ y=1\end{array} $【解析】因为$(m-3)x+(m+2)y=3m-4$，所以$mx-3x+my+2y=3m-4$，即$m(x+y-3)+(-3x+2y+4)=0$. 因为当 m 每取一个确定的值时就得到一个方程，所有这些方程有一个相同解，所以$\{\begin{array}{l} x+y-3=0,①\\ -3x+2y+4=0,②\end{array} $①×3+②得$5y-5=0$，解得$y=1$. 将$y=1$代入①，得$x=2$. 所以这个相同解是$\{\begin{array}{l} x=2,\\ y=1,\end{array} $故答案为$\{\begin{array}{l} x=2,\\ y=1.\end{array} $

5 [2024 江苏南京质检，中]解方程组$\begin{cases}ax + by = 6,\\cx - 4y = - 2\end{cases}$时，小强正确解得$\begin{cases}x = 2,\\y = 2,\end{cases}$而小刚只看错了$c$，解得$\begin{cases}x = - 2,\\y = 4,\end{cases}$那么当$x = - 1$时，$ax^2 + bx + c$的值为 ______ 。

5. 2 【解析】由题意得，$\{\begin{array}{l} x=2,\\ y=2\end{array} $是方程组$\{\begin{array}{l} ax+by=6,\\ cx-4y=-2\end{array} $的解，所以$2a+2b=6$，①$2c-8=-2$，所以$c=3$. 因为小刚只看错了 c，解得$\{\begin{array}{l} x=-2,\\ y=4,\end{array} $所以$\{\begin{array}{l} x=-2,\\ y=4\end{array} $是方程$ax+by=6$的解，所以$-2a+4b=6$. ② 联立①②得$\{\begin{array}{l} 2a+2b=6,①\\ -2a+4b=6,②\end{array} $①+②，得$6b=12$，解得$b=2$. 将$b=2$代入①，得$a=1$，所以当$x=-1$时，$ax^{2}+bx+c$的值为$1×(-1)^{2}+2×(-1)+3=2$. 故答案为 2.

6 [中]解方程组：$\begin{cases}|x - y| = x + y - 2,\\|x + y| = x + 2.\end{cases}$

6. 【解】由$|x-y|=x+y-2$，得$x+y=|x-y|+2$. 因为$|x-y|≥0$，所以$x+y＞0$，所以$|x+y|=x+y$，① 将①代入$|x+y|=x+2$，得$x+y=x+2$，解得$y=2$，将$y=2$代入$|x-y|=x+y-2$，得$|x-2|=x$，所以$x-2=x$或$x-2=-x$. 方程$x-2=x$无解，舍去. 解方程$x-2=-x$，得$x=1$，所以原方程组的解为$\{\begin{array}{l} x=1,\\ y=2.\end{array} $

7 [中]已知关于$x$，$y$的方程组$\begin{cases}x - y = 4a - 3,\\x + 2y = - 5a.\end{cases}$
(1)①当$a = 0$时，该方程组的解是；
②$x$与$y$的数量关系是(不含字母$a$)。
(2)是否存在有理数$a$，使得$|x + 3| + y^2 = 0$？请写出你的思考过程。

7. 【解】(1)①把$a=0$代入方程组得$\{\begin{array}{l} x-y=-3,①\\ x+2y=0,②\end{array} $②-①得$3y=3$，解得$y=1$. 把$y=1$代入①，得$x-1=-3$，解得$x=-2$，则原方程组的解为$\{\begin{array}{l} x=-2,\\ y=1.\end{array} $故答案为$\{\begin{array}{l} x=-2,\\ y=1.\end{array} $ ②$\{\begin{array}{l} x-y=4a-3,①\\ x+2y=-5a,②\end{array} $②-①得$3y=-9a+3$，解得$y=-3a+1$. ③ 把$y=-3a+1$代入①，得$x-(-3a+1)=4a-3$，解得$x=a-2$，即$a=x+2$. 把$a=x+2$代入③，得$y=-3(x+2)+1$，整理得$3x+y=-5$. 故答案为$3x+y=-5$. (2)不存在有理数 a，使得$|x+3|+y^{2}=0$. 因为$|x+3|+y^{2}=0$，所以$x+3=0$，$y=0$，解得$x=-3$，$y=0$，代入方程组得$-3=4a-3$，$-3=-5a$，解得$a=0$且$a=\frac {3}{5}$，矛盾，则不存在有理数 a，使得$|x+3|+y^{2}=0$.

8 [核心素养 应用意识][2025 江苏扬州期中，较难]对于未知数为$x$，$y$的二元一次方程组，如果方程组的解$x$，$y$满足$|x - y| = 1$，我们就说方程组的解$x$与$y$具有“友好关系”。
(1)方程组$\begin{cases}x + 2y = 8,\\x - y = - 1\end{cases}$的解$x$与$y$ ______ (填“具有”或“不具有”)“友好关系”。
(2)若方程组$\begin{cases}2x + 3y = 6,\\4x + y = 6m\end{cases}$的解$x$与$y$具有“友好关系”，求$m$的值。
(3)未知数为$x$，$y$的方程组$\begin{cases}x + ay = a^2 - 3b + 18,\\2y - x = a,\end{cases}$其中$a$与$b$都是正整数，是否存在一组$a$和$b$的值，使得该方程组的解$x$与$y$具有“友好关系”？如果存在，请求出$a$，$b$的值；如果不存在，请说明理由。

8. 【解】(1)$\{\begin{array}{l} x+2y=8,①\\ x-y=-1,②\end{array} $①-②得，$3y=9$，解得$y=3$. 将$y=3$代入②得，$x-3=-1$，解得$x=2$，所以方程组的解为$\{\begin{array}{l} x=2,\\ y=3,\end{array} $所以$|x-y|=|2-3|=1$，所以方程组$\{\begin{array}{l} x+2y=8,\\ x-y=-1\end{array} $的解 x 与 y 具有“友好关系”，故答案为具有. (2)$\{\begin{array}{l} 2x+3y=6,①\\ 4x+y=6m,②\end{array} $②-①得，$2x-2y=6m-6$，所以$x-y=3m-3$. 因为方程组的解 x 与 y 具有“友好关系”，所以$|x-y|=|3m-3|=1$，解得$m=\frac {4}{3}$或$m=\frac {2}{3}$，所以 m 的值为$\frac {4}{3}$或$\frac {2}{3}$. (3)存在.$\{\begin{array}{l} x+ay=a^{2}-3b+18,①\\ 2y-x=a,②\end{array} $①+②得，$ay+2y=a^{2}-3b+18+a$，解得$y=\frac {a^{2}+a-3b+18}{a+2}$. 由②得，$x=2y-a=2×\frac {a^{2}+a-3b+18}{a+2}-a=\frac {a^{2}-6b+36}{a+2}$，所以$x-y=\frac {a^{2}-6b+36}{a+2}-\frac {a^{2}+a-3b+18}{a+2}=\frac {-a-3b+18}{a+2}$. 因为方程组的解 x 与 y 具有“友好关系”，所以$|x-y|=1$，所以$|\frac {-a-3b+18}{a+2}|=1$，所以$2a+3b=16$或$3b=20$(舍去)，其中 a 与 b 都是正整数，所以$\{\begin{array}{l} a=5,\\ b=2\end{array} $或$\{\begin{array}{l} a=2,\\ b=4,\end{array} $所以$\{\begin{array}{l} a=5,\\ b=2\end{array} $或$\{\begin{array}{l} a=2,\\ b=4\end{array} $时，此方程组的解 x 与 y 具有“友好关系”.