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1. (2024·甘南州中考)某网络经销商购进了一批A型钥匙扣和B型钥匙扣. 已知购进A型钥匙扣50个、B型钥匙扣30个共需870元,购进A型钥匙扣30个、B型钥匙扣50个共需810元.
(1)每个A型钥匙扣和B型钥匙扣的进价分别是多少元?
(2)该经销商决定购进A型钥匙扣和B型钥匙扣共100个,投入资金不超过1 000元,并将A型钥匙扣的售价定为每个20元,B型钥匙扣的售价定为每个15元,请问如何进货可以使该经销商获得最大利润?最大利润是多少元?
(1)每个A型钥匙扣和B型钥匙扣的进价分别是多少元?
(2)该经销商决定购进A型钥匙扣和B型钥匙扣共100个,投入资金不超过1 000元,并将A型钥匙扣的售价定为每个20元,B型钥匙扣的售价定为每个15元,请问如何进货可以使该经销商获得最大利润?最大利润是多少元?
答案
(1)设每个A型钥匙扣的进价为x元，B型钥匙扣的进价为y元，根据题意，得$\begin{cases}50x+30y=870,\\30x+50y=810,\end{cases}$解得$\begin{cases}x=12,\\y=9,\end{cases}$故每个A型钥匙扣的进价为12元，B型钥匙扣的进价为9元。
(2)设购进A型钥匙扣a个，则B型钥匙扣(100−a)个，利润为W元，根据题意，得
W=(20−12)a+(15−9)(100−a)=2a+600。
∵12a+9(100−a)≤1 000，
∴$a≤ 33\frac{1}{3}$，且a为非负整数。
∵2＞0，
∴W随着a的增大而增大，
∴当a=33时，W最大，最大值为2×33+600=666，
∴该经销商应购进A型钥匙扣33个，B型钥匙扣67个，可获得最大利润，最大利润为666元。
(2)设购进A型钥匙扣a个，则B型钥匙扣(100−a)个，利润为W元，根据题意，得
W=(20−12)a+(15−9)(100−a)=2a+600。
∵12a+9(100−a)≤1 000，
∴$a≤ 33\frac{1}{3}$，且a为非负整数。
∵2＞0，
∴W随着a的增大而增大，
∴当a=33时，W最大，最大值为2×33+600=666，
∴该经销商应购进A型钥匙扣33个，B型钥匙扣67个，可获得最大利润，最大利润为666元。
2. (2023·青岛中考)某服装店经销 A,B 两种 T 恤衫,进价和售价如下表所示:
(1)第一次进货时,服装店用 6 000 元购进 A,B两种 T 恤衫共 120 件,全部售完获利多少元?
(2)受市场因素影响,第二次进货时,A 种 T 恤衫进价每件上涨了 5 元,B 种 T 恤衫进价每件上涨了 10 元,但两种 T 恤衫的售价不变.服装店计划购进 A,B 两种 T 恤衫共 150 件,且 B种 T 恤衫的购进量不超过 A 种 T 恤衫购进量的 2 倍. 设此次购进 A 种 T 恤衫 m 件,两种T 恤衫全部售完可获利 W 元.
①请求出 W 与 m 的函数关系式.
②服装店第二次获利能否超过第一次获利?请说明理由.
(1)第一次进货时,服装店用 6 000 元购进 A,B两种 T 恤衫共 120 件,全部售完获利多少元?
(2)受市场因素影响,第二次进货时,A 种 T 恤衫进价每件上涨了 5 元,B 种 T 恤衫进价每件上涨了 10 元,但两种 T 恤衫的售价不变.服装店计划购进 A,B 两种 T 恤衫共 150 件,且 B种 T 恤衫的购进量不超过 A 种 T 恤衫购进量的 2 倍. 设此次购进 A 种 T 恤衫 m 件,两种T 恤衫全部售完可获利 W 元.
①请求出 W 与 m 的函数关系式.
②服装店第二次获利能否超过第一次获利?请说明理由.
答案
(1)设购进A种T恤衫x件，购进B种T恤衫y件，由题意，得$\begin{cases}x+y=120,\\45x+60y=6\ 000,\end{cases}$解得$\begin{cases}x=80,\\y=40,\end{cases}$
∴全部售完获利(66−45)×80+(90−60)×40=1 680+1 200=2 880(元)。
(2)①设第二次购进A种T恤衫m件，则购进B种T恤衫(150−m)件，由题意，得150−m≤2m，即m≥50，
∴W=(66−45−5)m+(90−60−10)(150−m)=−4m+3 000(50≤m≤150)。
②服装店第二次获利不能超过第一次获利。理由如下：
由①可知，W=−4m+3 000(50≤m≤150)。
∵−4＜0，
∴W随m的增大而减小，
∴当m=50时，W取最大值，$W_{最大}=−4×50+3\ 000=2\ 800$。
∵2 800＜2 880，
∴服装店第二次获利不能超过第一次获利。
∴全部售完获利(66−45)×80+(90−60)×40=1 680+1 200=2 880(元)。
(2)①设第二次购进A种T恤衫m件，则购进B种T恤衫(150−m)件，由题意，得150−m≤2m，即m≥50，
∴W=(66−45−5)m+(90−60−10)(150−m)=−4m+3 000(50≤m≤150)。
②服装店第二次获利不能超过第一次获利。理由如下：
由①可知，W=−4m+3 000(50≤m≤150)。
∵−4＜0，
∴W随m的增大而减小，
∴当m=50时，W取最大值，$W_{最大}=−4×50+3\ 000=2\ 800$。
∵2 800＜2 880，
∴服装店第二次获利不能超过第一次获利。
3. 某果品公司急需将一批不易存放的水果从A市运到B市销售.现有三家运输公司可供选择，这三家运输公司提供的信息如下：
解答下列问题：
(1)若乙、丙两家公司的包装与装卸及运输的费用总和恰好是甲公司的2倍，求A，B两市的距离(精确到个位)；
(2)如果A，B两市的距离为s千米，且这批水果在包装与装卸以及运输过程中的损耗为300元/小时，那么要使果品公司支付的总费用(包装与装卸费用、运输费用及损耗三项之和)最小，应选择哪家运输公司？
解答下列问题：
(1)若乙、丙两家公司的包装与装卸及运输的费用总和恰好是甲公司的2倍，求A，B两市的距离(精确到个位)；
(2)如果A，B两市的距离为s千米，且这批水果在包装与装卸以及运输过程中的损耗为300元/小时，那么要使果品公司支付的总费用(包装与装卸费用、运输费用及损耗三项之和)最小，应选择哪家运输公司？
答案
(1)设A，B两市的距离为x千米，则三家运输公司包装与装卸及运输的费用分别是甲公司(6x+1 500)元，乙公司(8x+1 000)元，丙公司(10x+700)元，依题意，得(8x+1 000)+(10x+700)=2×(6x+1 500)，解得$x=216\frac{2}{3}\approx217$。故A，B两市的距离约为217千米。
(2)设选择甲、乙、丙三家运输公司的总费用分别为$y_1$元、$y_2$元、$y_3$元，由于三家运输公司包装与装卸及运输所需的时间分别为甲公司$(\frac{s}{60}+4)$小时，乙公司$(\frac{s}{50}+2)$小时，丙公司$(\frac{s}{100}+3)$小时，所以$y_1=6s+1\ 500+(\frac{s}{60}+4)×300=11s+2\ 700$，$y_2=8s+1\ 000+(\frac{s}{50}+2)×300=14s+1\ 600$，$y_3=10s+700+(\frac{s}{100}+3)×300=13s+1\ 600$。
现在要选择总费用最少的公司，关键是比较$y_1,y_2,y_3$的大小。
∵s＞0，
∴$y_2＞y_3$恒成立，
所以只需比较$y_1$和$y_3$的大小。
当$y_1＞y_3$时，11s+2 700＞13s+1 600，解得s＜550。故当两市距离小于550千米时，选择丙公司较好；
当$y_1=y_3$时，s=550。故当两市的距离等于550千米时，选择甲或丙公司都一样；
当$y_1＜y_3$时，s＞550。故当两市的距离大于550千米时，选择甲公司较好。
(2)设选择甲、乙、丙三家运输公司的总费用分别为$y_1$元、$y_2$元、$y_3$元，由于三家运输公司包装与装卸及运输所需的时间分别为甲公司$(\frac{s}{60}+4)$小时，乙公司$(\frac{s}{50}+2)$小时，丙公司$(\frac{s}{100}+3)$小时，所以$y_1=6s+1\ 500+(\frac{s}{60}+4)×300=11s+2\ 700$，$y_2=8s+1\ 000+(\frac{s}{50}+2)×300=14s+1\ 600$，$y_3=10s+700+(\frac{s}{100}+3)×300=13s+1\ 600$。
现在要选择总费用最少的公司，关键是比较$y_1,y_2,y_3$的大小。
∵s＞0，
∴$y_2＞y_3$恒成立，
所以只需比较$y_1$和$y_3$的大小。
当$y_1＞y_3$时，11s+2 700＞13s+1 600，解得s＜550。故当两市距离小于550千米时，选择丙公司较好；
当$y_1=y_3$时，s=550。故当两市的距离等于550千米时，选择甲或丙公司都一样；
当$y_1＜y_3$时，s＞550。故当两市的距离大于550千米时，选择甲公司较好。
