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15. 如图,在数学拓展课上,小聪将直角三角形纸片$ABC(∠A=25°,∠B=65°)$沿$DE$向上折叠,点$A$落在点$A'$处,当$DA'// BC$时,$∠DEC=$
57.5
°。答案
15.57.5 【解析】因为$DA'// BC$, 所以$∠ ADA' = ∠ B = 65°$。由折叠的性质, 可得$∠ ADE = ∠ A'DE$。因为$∠ ADA' = ∠ ADE + ∠ A'DE$, 所以$∠ ADE = \frac{1}{2}∠ ADA' = \frac{1}{2}×65° = 32.5°$。所以$∠ DEC = 180° - ∠ AED = ∠ A + ∠ ADE = 25° + 32.5° = 57.5°$。
解析
【分析】
要解决本题，需按以下思路思考：①利用平行线的同位角相等，求出∠ADA'的度数；②根据折叠的性质，得到∠ADE与∠A'DE相等，进而算出∠ADE的度数；③结合三角形外角的性质，计算出∠DEC的度数。
【解析】
解：
∵ DA'//BC，
∴ ∠ADA' = ∠B = 65°（两直线平行，同位角相等）。
由折叠的性质可知，∠ADE = ∠A'DE，
又
∵ ∠ADA' = ∠ADE + ∠A'DE，
∴ ∠ADE = $\frac{1}{2}$∠ADA' = $\frac{1}{2}$×65° = 32.5°。
根据三角形外角的性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和，
∴ ∠DEC = ∠A + ∠ADE = 25° + 32.5° = 57.5°。
【答案】
57.5
【知识点】
平行线的性质、折叠的性质、三角形外角的性质
【点评】
本题结合折叠变换与平行线的性质，考查三角形外角的应用，核心是利用折叠的不变性和平行线的角的关系，难度适中，需掌握相关几何性质的应用。
【难度系数】
0.5
要解决本题，需按以下思路思考：①利用平行线的同位角相等，求出∠ADA'的度数；②根据折叠的性质，得到∠ADE与∠A'DE相等，进而算出∠ADE的度数；③结合三角形外角的性质，计算出∠DEC的度数。
【解析】
解：
∵ DA'//BC，
∴ ∠ADA' = ∠B = 65°（两直线平行，同位角相等）。
由折叠的性质可知，∠ADE = ∠A'DE，
又
∵ ∠ADA' = ∠ADE + ∠A'DE，
∴ ∠ADE = $\frac{1}{2}$∠ADA' = $\frac{1}{2}$×65° = 32.5°。
根据三角形外角的性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和，
∴ ∠DEC = ∠A + ∠ADE = 25° + 32.5° = 57.5°。
【答案】
57.5
【知识点】
平行线的性质、折叠的性质、三角形外角的性质
【点评】
本题结合折叠变换与平行线的性质，考查三角形外角的应用，核心是利用折叠的不变性和平行线的角的关系，难度适中，需掌握相关几何性质的应用。
【难度系数】
0.5
16. 对任意一个三位数$n$，如果$n$满足各个数位上的数字互不相同，且都不为零，那么称这个数为“相异数”。将一个“相异数”任意两个数位上的数字对调后可以得到三个不同的新三位数，把这三个新三位数的和与111的商记为$F(n)$。例如$n = 123$，对调百位与十位上的数字得到213，对调百位与个位上的数字得到321，对调十位与个位上的数字得到132，这三个新三位数的和为$213 + 321 + 132 = 666$，$666÷111 = 6$，所以$F(123)=6$。
(1)计算：$F(124)=\_\_\_\_\_\_$。
(2)若$s,t$都是“相异数”，其中$s = 100x + 32$，$t = 150 + y$（$1≤ x≤9$，$1≤ y≤9$，$x,y$都是正整数），规定：$k = \frac{F(s)}{F(t)}$，当$F(s)+F(t)=16$时，则$k$的值是__________。
(1)计算：$F(124)=\_\_\_\_\_\_$。
(2)若$s,t$都是“相异数”，其中$s = 100x + 32$，$t = 150 + y$（$1≤ x≤9$，$1≤ y≤9$，$x,y$都是正整数），规定：$k = \frac{F(s)}{F(t)}$，当$F(s)+F(t)=16$时，则$k$的值是__________。
答案
16.(1)7 (2)$\frac{3}{5}$ 【解析】(1)$F(124)=(214+421+142)÷111=777÷111=7$。
(2)因为$s,t$都是“相异数”,其中$s=100x+32$,$t=150+y$,所以$F(s)=(302+10x+230+x+100x+23)÷111=x+5$,$F(t)=(510+y+100y+51+105+10y)÷111=y+6$。因为$F(s)+F(t)=16$,所以$x+5+y+6=x+y+11=16$。所以$x+y=5$。
因为$1≤ x≤9$,$1≤ y≤9$,$x,y$都是正整数,所以$\begin{cases}x=1,\\y=4\end{cases}$或$\begin{cases}x=2,\\y=3\end{cases}$或$\begin{cases}x=3,\\y=2\end{cases}$或$\begin{cases}x=4,\\y=1\end{cases}$。因为$s$是“相异数”,所以$x≠2$且$x≠3$。因为$t$是“相异数”,所以$y≠1$。所以$\begin{cases}x=1,\\y=4\end{cases}$。所以$F(s)=5+x=6$,$F(t)=6+y=10$。所以$k=\frac{F(s)}{F(t)}=\frac{6}{10}=\frac{3}{5}$。
(2)因为$s,t$都是“相异数”,其中$s=100x+32$,$t=150+y$,所以$F(s)=(302+10x+230+x+100x+23)÷111=x+5$,$F(t)=(510+y+100y+51+105+10y)÷111=y+6$。因为$F(s)+F(t)=16$,所以$x+5+y+6=x+y+11=16$。所以$x+y=5$。
因为$1≤ x≤9$,$1≤ y≤9$,$x,y$都是正整数,所以$\begin{cases}x=1,\\y=4\end{cases}$或$\begin{cases}x=2,\\y=3\end{cases}$或$\begin{cases}x=3,\\y=2\end{cases}$或$\begin{cases}x=4,\\y=1\end{cases}$。因为$s$是“相异数”,所以$x≠2$且$x≠3$。因为$t$是“相异数”,所以$y≠1$。所以$\begin{cases}x=1,\\y=4\end{cases}$。所以$F(s)=5+x=6$,$F(t)=6+y=10$。所以$k=\frac{F(s)}{F(t)}=\frac{6}{10}=\frac{3}{5}$。
解析
【分析】
首先明确“相异数”的定义：三位数各数位数字互不相同且不为零；F(n)是将“相异数”任意两个数位对调得到的三个新三位数之和除以111的商。第(1)问直接按定义计算F(124)，先写出对调后的三个新数，求和后除以111即可；第(2)问先根据s、t的表达式，结合F(n)的定义推导出F(s)和F(t)的表达式，再利用F(s)+F(t)=16求出x+y的值，最后结合“相异数”的数位条件筛选出符合的x、y，进而计算k。
【解析】
(1) 对于“相异数”124，对调百位与十位得214，对调百位与个位得421，对调十位与个位得142，三个新数的和为：214 + 421 + 142 = 777，因此F(124)=777÷111=7。
(2) 已知s=100x+32，其百位为x，十位为3，个位为2，对调后三个新三位数分别为：对调百位与十位得302+10x，对调百位与个位得230+x，对调十位与个位得100x+23，它们的和为：(302+10x)+(230+x)+(100x+23)=111x + 555，故F(s)=(111x + 555)÷111=x+5。
t=150+y，其百位为1，十位为5，个位为y，对调后三个新三位数分别为：对调百位与十位得510+y，对调百位与个位得100y+51，对调十位与个位得105+10y，它们的和为：(510+y)+(100y+51)+(105+10y)=111y + 666，故F(t)=(111y + 666)÷111=y+6。
由F(s)+F(t)=16，得(x+5)+(y+6)=16，化简得x+y=5。
因为s是“相异数”，所以x≠2，x≠3（各数位数字不同），且x为正整数；t是“相异数”，所以y≠1（各数位数字不同），且y为正整数。
满足x+y=5的正整数(x,y)组合有：(1,4)、(2,3)、(3,2)、(4,1)。结合条件筛选：x≠2、3，y≠1，仅(1,4)符合。
因此F(s)=1+5=6，F(t)=4+6=10，故k=F(s)/F(t)=6/10=3/5。
【答案】
(1)7；(2)$\frac{3}{5}$
【知识点】
新定义运算、代数式求值、数位性质
【点评】
本题为新定义类题目，核心是准确理解“相异数”和F(n)的定义，第(1)问直接套用定义计算，难度较低；第(2)问需结合数位的互异性筛选变量，考查学生的阅读理解与逻辑推理能力，是典型的代数与数论结合的基础题型。
【难度系数】
0.5
首先明确“相异数”的定义：三位数各数位数字互不相同且不为零；F(n)是将“相异数”任意两个数位对调得到的三个新三位数之和除以111的商。第(1)问直接按定义计算F(124)，先写出对调后的三个新数，求和后除以111即可；第(2)问先根据s、t的表达式，结合F(n)的定义推导出F(s)和F(t)的表达式，再利用F(s)+F(t)=16求出x+y的值，最后结合“相异数”的数位条件筛选出符合的x、y，进而计算k。
【解析】
(1) 对于“相异数”124，对调百位与十位得214，对调百位与个位得421，对调十位与个位得142，三个新数的和为：214 + 421 + 142 = 777，因此F(124)=777÷111=7。
(2) 已知s=100x+32，其百位为x，十位为3，个位为2，对调后三个新三位数分别为：对调百位与十位得302+10x，对调百位与个位得230+x，对调十位与个位得100x+23，它们的和为：(302+10x)+(230+x)+(100x+23)=111x + 555，故F(s)=(111x + 555)÷111=x+5。
t=150+y，其百位为1，十位为5，个位为y，对调后三个新三位数分别为：对调百位与十位得510+y，对调百位与个位得100y+51，对调十位与个位得105+10y，它们的和为：(510+y)+(100y+51)+(105+10y)=111y + 666，故F(t)=(111y + 666)÷111=y+6。
由F(s)+F(t)=16，得(x+5)+(y+6)=16，化简得x+y=5。
因为s是“相异数”，所以x≠2，x≠3（各数位数字不同），且x为正整数；t是“相异数”，所以y≠1（各数位数字不同），且y为正整数。
满足x+y=5的正整数(x,y)组合有：(1,4)、(2,3)、(3,2)、(4,1)。结合条件筛选：x≠2、3，y≠1，仅(1,4)符合。
因此F(s)=1+5=6，F(t)=4+6=10，故k=F(s)/F(t)=6/10=3/5。
【答案】
(1)7；(2)$\frac{3}{5}$
【知识点】
新定义运算、代数式求值、数位性质
【点评】
本题为新定义类题目，核心是准确理解“相异数”和F(n)的定义，第(1)问直接套用定义计算，难度较低；第(2)问需结合数位的互异性筛选变量，考查学生的阅读理解与逻辑推理能力，是典型的代数与数论结合的基础题型。
【难度系数】
0.5
17.(6分)计算:
(1)$(2 - π)^0 + (-\dfrac{1}{4})^{-1}$。
(2)$(x - 3)^2 - (2 - x)(2 + x)$。
(1)$(2 - π)^0 + (-\dfrac{1}{4})^{-1}$。
(2)$(x - 3)^2 - (2 - x)(2 + x)$。
答案
17.(1)原式$=-3$。
(2)原式$=2x^2-6x+5$。
(2)原式$=2x^2-6x+5$。
解析
【分析】
本题包含两小问，第(1)问考查零指数幂与负整数指数幂的运算，需牢记对应运算法则：非零数的0次幂为1，负整数指数幂等于正整数指数幂的倒数；第(2)问考查整式的混合运算，需运用完全平方公式、平方差公式展开式子，再合并同类项。第(1)步先分别计算两个幂的值再求和，第(2)步先展开两个整式，去括号后合并同类项得到结果。
【解析】
(1) 根据零指数幂的性质：当底数不为0时，$a^0=1$，因为$2-π≠0$，所以$(2 - π)^0=1$；根据负整数指数幂的性质：$a^{-p}=\frac{1}{a^p}(a≠0)$，所以$(-\frac{1}{4})^{-1}=\frac{1}{-\frac{1}{4}}=-4$。因此原式$=1 + (-4)=-3$。
(2) 根据完全平方公式$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$，得$(x - 3)^2=x^2 -6x +9$；根据平方差公式$(a-b)(a+b)=a^2 -b^2$，得$(2 - x)(2 + x)=4 -x^2$。将两者代入原式，去括号得：$x^2 -6x +9 -4 +x^2$，合并同类项后得$2x^2 -6x +5$。
【答案】
(1) $-3$；(2) $2x^2 -6x +5$
【知识点】
零指数幂、负整数指数幂、整式的混合运算
【点评】
本题为初中数学基础计算题，主要考查幂的运算公式和整式乘法公式，要求学生熟练掌握相关法则，计算时注意符号处理和公式的正确应用，整体难度不大，属于易得分题。
【难度系数】
0.7
本题包含两小问，第(1)问考查零指数幂与负整数指数幂的运算，需牢记对应运算法则：非零数的0次幂为1，负整数指数幂等于正整数指数幂的倒数；第(2)问考查整式的混合运算，需运用完全平方公式、平方差公式展开式子，再合并同类项。第(1)步先分别计算两个幂的值再求和，第(2)步先展开两个整式，去括号后合并同类项得到结果。
【解析】
(1) 根据零指数幂的性质：当底数不为0时，$a^0=1$，因为$2-π≠0$，所以$(2 - π)^0=1$；根据负整数指数幂的性质：$a^{-p}=\frac{1}{a^p}(a≠0)$，所以$(-\frac{1}{4})^{-1}=\frac{1}{-\frac{1}{4}}=-4$。因此原式$=1 + (-4)=-3$。
(2) 根据完全平方公式$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$，得$(x - 3)^2=x^2 -6x +9$；根据平方差公式$(a-b)(a+b)=a^2 -b^2$，得$(2 - x)(2 + x)=4 -x^2$。将两者代入原式，去括号得：$x^2 -6x +9 -4 +x^2$，合并同类项后得$2x^2 -6x +5$。
【答案】
(1) $-3$；(2) $2x^2 -6x +5$
【知识点】
零指数幂、负整数指数幂、整式的混合运算
【点评】
本题为初中数学基础计算题，主要考查幂的运算公式和整式乘法公式，要求学生熟练掌握相关法则，计算时注意符号处理和公式的正确应用，整体难度不大，属于易得分题。
【难度系数】
0.7
18.(6分)解方程(组):
(1)$\begin{cases}2x + y = 7,\\5x + 3y = 31。\end{cases}$
(2)$\frac{x - 1}{x - 2}$=$\frac{3}{2 - x} - 1$。
(1)$\begin{cases}2x + y = 7,\\5x + 3y = 31。\end{cases}$
(2)$\frac{x - 1}{x - 2}$=$\frac{3}{2 - x} - 1$。
答案
18.(1)$\begin{cases}x=-10,\\y=27\end{cases}$
(2)$x=0$。
(2)$x=0$。
解析
【分析】
本题包含两小问，分别是二元一次方程组和分式方程的求解。对于二元一次方程组，采用加减消元法消去一个未知数，先求出一个未知数的值，再代入求另一个未知数；对于分式方程，需先转化为整式方程求解，最后必须检验解是否使分母为0，避免增根。
【解析】
(1) 解方程组$\begin{cases}2x + y = 7&①\\5x + 3y = 31&②\end{cases}$
①×3得：$6x + 3y = 21$ ③
③ - ②得：$6x + 3y - (5x + 3y) = 21 - 31$，化简得$x = -10$
将$x = -10$代入①得：$2×(-10) + y = 7$，解得$y = 27$
故方程组的解为$\begin{cases}x=-10\\y=27\end{cases}$
(2) 解方程$\frac{x - 1}{x - 2} = \frac{3}{2 - x} - 1$
首先，分母不为0，即$x - 2 ≠ 0$，得$x ≠ 2$
方程两边同乘$(x - 2)$，注意$\frac{3}{2 - x} = -\frac{3}{x - 2}$，得：
$x - 1 = -3 - (x - 2)$
去括号得：$x - 1 = -3 - x + 2$
移项合并得：$2x = 0$，解得$x = 0$
检验：将$x = 0$代入原方程，左边$\frac{0 -1}{0 -2} = \frac{1}{2}$，右边$\frac{3}{2 -0} -1 = \frac{3}{2} -1 = \frac{1}{2}$，左边=右边，故$x = 0$是原方程的解。
【答案】
(1)$\begin{cases}x=-10,\\y=27\end{cases}$；(2)$x=0$
【知识点】
二元一次方程组的解法、分式方程的解法
【点评】
本题考查基础方程（组）的求解，二元一次方程组用加减消元法即可快速解答，分式方程需特别注意检验增根，整体难度适中，是初中数学的核心基础题型。
【难度系数】
0.6
本题包含两小问，分别是二元一次方程组和分式方程的求解。对于二元一次方程组，采用加减消元法消去一个未知数，先求出一个未知数的值，再代入求另一个未知数；对于分式方程，需先转化为整式方程求解，最后必须检验解是否使分母为0，避免增根。
【解析】
(1) 解方程组$\begin{cases}2x + y = 7&①\\5x + 3y = 31&②\end{cases}$
①×3得：$6x + 3y = 21$ ③
③ - ②得：$6x + 3y - (5x + 3y) = 21 - 31$，化简得$x = -10$
将$x = -10$代入①得：$2×(-10) + y = 7$，解得$y = 27$
故方程组的解为$\begin{cases}x=-10\\y=27\end{cases}$
(2) 解方程$\frac{x - 1}{x - 2} = \frac{3}{2 - x} - 1$
首先，分母不为0，即$x - 2 ≠ 0$，得$x ≠ 2$
方程两边同乘$(x - 2)$，注意$\frac{3}{2 - x} = -\frac{3}{x - 2}$，得：
$x - 1 = -3 - (x - 2)$
去括号得：$x - 1 = -3 - x + 2$
移项合并得：$2x = 0$，解得$x = 0$
检验：将$x = 0$代入原方程，左边$\frac{0 -1}{0 -2} = \frac{1}{2}$，右边$\frac{3}{2 -0} -1 = \frac{3}{2} -1 = \frac{1}{2}$，左边=右边，故$x = 0$是原方程的解。
【答案】
(1)$\begin{cases}x=-10,\\y=27\end{cases}$；(2)$x=0$
【知识点】
二元一次方程组的解法、分式方程的解法
【点评】
本题考查基础方程（组）的求解，二元一次方程组用加减消元法即可快速解答，分式方程需特别注意检验增根，整体难度适中，是初中数学的核心基础题型。
【难度系数】
0.6
19. (6分)因式分解:
(1)$ab - 2a^2b + a^3b$。
(2)$(a - b)^2 + b - a$。
(1)$ab - 2a^2b + a^3b$。
(2)$(a - b)^2 + b - a$。
答案
19.(1)原式$=ab(1-a)^2$。
(2)原式$=(b-a)(b-a+1)$。
(2)原式$=(b-a)(b-a+1)$。
解析
【分析】
因式分解需遵循“先提公因式，再用公式法，结果分解彻底”的原则。第(1)题先提取公因式ab，剩余部分符合完全平方公式；第(2)题先将b-a变形为-(a-b)，转化为含相同公因式的形式后再提取公因式，注意符号的等价变形。
【解析】
(1) 步骤1：提取公因式ab，原式=ab(1 - 2a + a²)；
步骤2：利用完全平方公式a² - 2a +1=(a-1)²=(1-a)²，得原式=ab(1 - a)²。
(2) 步骤1：将b - a变形为-(a - b)，原式=(a - b)² - (a - b)；
步骤2：提取公因式(a - b)，得原式=(a - b)(a - b -1)；
步骤3：利用(a - b)=-(b - a)，等价变形为(b - a)(b - a +1)。
【答案】
(1) ab(1 - a)²；(2) (b - a)(b - a + 1)
【知识点】
因式分解、提公因式法、公式法
【点评】
本题考查因式分解的基本方法，需熟练掌握提公因式法和公式法，关键是处理符号变形，确保分解结果彻底。
【难度系数】
0.5
因式分解需遵循“先提公因式，再用公式法，结果分解彻底”的原则。第(1)题先提取公因式ab，剩余部分符合完全平方公式；第(2)题先将b-a变形为-(a-b)，转化为含相同公因式的形式后再提取公因式，注意符号的等价变形。
【解析】
(1) 步骤1：提取公因式ab，原式=ab(1 - 2a + a²)；
步骤2：利用完全平方公式a² - 2a +1=(a-1)²=(1-a)²，得原式=ab(1 - a)²。
(2) 步骤1：将b - a变形为-(a - b)，原式=(a - b)² - (a - b)；
步骤2：提取公因式(a - b)，得原式=(a - b)(a - b -1)；
步骤3：利用(a - b)=-(b - a)，等价变形为(b - a)(b - a +1)。
【答案】
(1) ab(1 - a)²；(2) (b - a)(b - a + 1)
【知识点】
因式分解、提公因式法、公式法
【点评】
本题考查因式分解的基本方法，需熟练掌握提公因式法和公式法，关键是处理符号变形，确保分解结果彻底。
【难度系数】
0.5
