7. 在多项式$4x^2+1$中，添加一个单项式使其成为一个整式的完全平方，则加上的单项式不可以是下面的（）

A.$-4x$
B.$2x$
C.$-4x^2$
D.$4x^4$

7.B

【分析】要解决本题，需依据完全平方公式的结构特征：$(a\pm b)^2=a^2\pm2ab+b^2$，分情况讨论添加的单项式是完全平方的中间项还是平方项，逐一验证选项是否能使原式成为整式的完全平方，进而选出不符合要求的选项。
【解析】根据完全平方公式，原多项式$4x^2+1=(2x)^2+1^2$，逐一分析各选项：
1. 选项A：添加$-4x$，得到$4x^2-4x+1=(2x-1)^2$，是整式的完全平方，符合要求；
2. 选项B：添加$2x$，得到$4x^2+2x+1$，无法写成整式的完全平方，不符合要求；
3. 选项C：添加$-4x^2$，得到$4x^2-4x^2+1=1^2$，是整式的完全平方，符合要求；
4. 选项D：添加$4x^4$，得到$4x^4+4x^2+1=(2x^2+1)^2$，是整式的完全平方，符合要求；
因此加上的单项式不可以是B选项。
【答案】B
【知识点】完全平方公式、整式的运算
【点评】本题考查完全平方公式的灵活应用，需熟练掌握公式的结构特征，分情况讨论添加项的类型，避免错判，属于基础题型。
【难度系数】0.5

8. 中国古代的《孙子算经》中记载了一道广为人知的数学问题，大致如下:现有一百匹马，一百片瓦，大马一匹可以驮三片瓦，小马三匹可以驮一片瓦，问有多少匹大马和多少匹小马？设有大马$ x $匹，小马$ y $匹，则下列方程组中，正确的是（）

A.$\begin{cases}x + y = 100, \\\dfrac{x}{3} + \dfrac{y}{3} = 100\end{cases}$
B.$\begin{cases}x + y = 100, \\\dfrac{x}{3} + 3y = 100\end{cases}$
C.$\begin{cases}x + y = 100, \\3x + \dfrac{y}{3} = 100\end{cases}$
D.$\begin{cases}x + y = 100, \\3x + 3y = 100\end{cases}$

8.C

【分析】首先明确题目中的两个核心等量关系：①大马数量与小马数量之和为总马数；②大马驮的瓦数与小马驮的瓦数之和为总瓦数。已知大马有$x$匹，小马有$y$匹，总马数为100，总瓦数为100，据此推导方程组即可判断选项。
【解析】根据题意，分两步确定等量关系：
1. 马的总数：大马数量+小马数量=100，即$x + y = 100$；
2. 瓦的总数：大马1匹驮3片瓦，故$x$匹大马驮$3x$片瓦；小马3匹驮1片瓦，即1匹小马驮$\frac{1}{3}$片瓦，$y$匹小马驮$\frac{y}{3}$片瓦，总瓦数为100，因此$3x + \frac{y}{3} = 100$。
联立两个方程，得到方程组$\begin{cases}x + y = 100 \\3x + \frac{y}{3} = 100\end{cases}$，对应选项C。
【答案】C
【知识点】二元一次方程组的应用、列方程解应用题
【点评】本题是古代数学问题改编的基础应用题，考查学生从实际问题中提取等量关系的能力，易错点为小马驮瓦数量的计算，整体难度较低。
【难度系数】0.7

9.作业本中有这样一道题:阅读材料,并完成下列问题。不难求得方程$x+\frac{1}{x}=3+\frac{1}{3}$的解是$x_1=3,x_2=\frac{1}{3};x+\frac{1}{x}=4+\frac{1}{4}$的解是$x_1=4,x_2=\frac{1}{4};x+\frac{1}{x}=5+\frac{1}{5}$的解是$x_1=5,x_2=\frac{1}{5}$。小涛同学仔细观察上述方程及其解,猜想得到:关于$x$的方程$x+\frac{1}{x}=m+\frac{1}{m}(m≠0)$的解是$x_1=m,x_2=\frac{1}{m}$,并尝试解关于$x$的方程$\frac{x^2 - x + 1}{x - 1}=m+\frac{1}{m - 1}$。小涛同学得到的正确的方程的解为（）

A.$x_1=m,x_2=\frac{1}{m - 1}$
B.$x_1=m,x_2=\frac{m}{m - 1}$
C.$x_1=m - 1,x_2=\frac{1}{m - 1}$
D.$x_1=m - 1,x_2=\frac{m}{m - 1}$

9.B 【解析】因为$\frac{x^2 - x + 1}{x - 1} = m + \frac{1}{m - 1}$, 所以$\frac{x（x - 1）+ 1}{x - 1} = m + \frac{1}{m - 1}$。所以$x + \frac{1}{x - 1} = m + \frac{1}{m - 1}$。所以$x - 1 + \frac{1}{x - 1} = m - 1 + \frac{1}{m - 1}$。所以$x - 1 = m - 1$或$x - 1 = \frac{1}{m - 1}$。所以$x_1 = m$,$x_2 = \frac{m}{m - 1}$。故选B。

【分析】首先观察已知方程$x+\frac{1}{x}=a+\frac{1}{a}(a≠0)$的解为$x=a$或$x=\frac{1}{a}$，总结出这类方程的解的规律；接下来需要将待解的分式方程通过变形，转化为符合上述规律的形式，再利用规律求解。具体步骤是先对左边的分式拆分化简，使其变成“某个式子 + 1/某个式子”的结构，再调整方程两边，套用规律得到解。
【解析】对原方程左边的分式变形：
$\frac{x^2 - x + 1}{x - 1} = \frac{x(x - 1) + 1}{x - 1} = x + \frac{1}{x - 1}$，
因此原方程可化为：$x + \frac{1}{x - 1} = m + \frac{1}{m - 1}$，
两边同时减1，得：$x - 1 + \frac{1}{x - 1} = m - 1 + \frac{1}{m - 1}$，
根据已知规律，形如$y + \frac{1}{y} = k + \frac{1}{k}(k≠0)$的解为$y=k$或$y=\frac{1}{k}$，
令$y = x - 1$，$k = m - 1$，则：
$x - 1 = m - 1$，解得$x_1 = m$；
或$x - 1 = \frac{1}{m - 1}$，解得$x_2 = \frac{1}{m - 1} + 1 = \frac{m}{m - 1}$。
综上，方程的解为$x_1 = m$，$x_2 = \frac{m}{m - 1}$，故选B。
【答案】B
【知识点】分式方程的解法、规律探究
【点评】本题通过已知方程的解总结规律，再利用规律解分式方程，核心是对分式进行合理变形，将方程转化为符合规律的形式，考察学生的观察能力和分式化简能力，属于中等难度题型。
【难度系数】0.5

10.若甲同学的语文分数或英语分数至少有一门比乙同学高,则称甲同学不亚于乙同学。在班级的45个学生中,如果某同学不亚于其他44人,就称他(她)为“潜力之星”,那么某班45个学生中的“潜力之星”最多可能有（）

A.22人
B.23人
C.44人
D.45人

10.D 【解析】取45人一种特殊情况:他们中语文成绩与英语成绩都互不相等,并且语文成绩最高者英语成绩最低,语文成绩次高者英语成绩次低,那么语文成绩最好的学生(语文优于其他44人)自然是“潜力之星”,语文成绩第二的学生(优于其他43人)英语成绩是倒数第二(优于1人),他也是“潜力之星”,同理可说明45人可以都是“潜力之星”。故选D。

【分析】首先明确两个核心定义：①“甲不亚于乙”指甲的语文分数或英语分数至少有一门比乙高；②“潜力之星”是指对班级其他44名同学都满足“不亚于”的同学。解题思路是：要找到最多的潜力之星，需构造一种成绩排列，让每个同学都能对其他44人满足“不亚于”的条件。具体可将45名同学按语文成绩从高到低排序，同时按英语成绩从低到高排序，这样任意同学对前面的同学英语成绩更高，对后面的同学语文成绩更高，总能满足“不亚于”的要求，进而证明所有同学都可能是潜力之星。
【解析】根据定义构造特殊情况：把45名同学的语文成绩按从高到低排列，第1名语文最高，第2名次之，…，第45名最低；同时英语成绩按从低到高排列，第1名英语最低，第2名次之，…，第45名最高。对于任意一名同学i，对任意另一名同学j：若j＜i，则i的英语成绩高于j，满足“不亚于”；若j＞i，则i的语文成绩高于j，满足“不亚于”。因此，所有45名同学都符合“潜力之星”的定义，故最多有45名潜力之星。
【答案】D
【知识点】逻辑推理、定义应用
【点评】本题关键在于准确理解核心定义，突破“对半分”的惯性思维，通过构造合理的成绩排列证明最大可能值，考查逻辑构造能力，避免凭直觉错选。
【难度系数】0.3

11.分解因式:$4x^{2}-1=$______。

11.$(2x+1)(2x-1)$

【分析】
本题考查因式分解，观察式子$4x^2 -1$，符合平方差公式的结构特征，即$a^2 - b^2$的形式，可利用平方差公式进行分解。
【解析】
对于式子$4x^2 -1$，可变形为$(2x)^2 - 1^2$，根据平方差公式$a^2 - b^2=(a+b)(a-b)$（其中$a=2x$，$b=1$），代入可得：
$4x^2 -1=(2x+1)(2x-1)$。
【答案】
$(2x+1)(2x-1)$
【知识点】
因式分解、平方差公式
【点评】
本题是基础的因式分解题，直接运用平方差公式即可求解，重点考查学生对平方差公式结构的掌握，属于易得分题型。
【难度系数】
0.9

12.已知$2^{x}=3,2^{2y}=5$,则$2^{x-2y}$的值为________。

12.$\frac{3}{5}$

【分析】要计算$2^{x-2y}$的值，需运用同底数幂的除法运算性质：同底数幂相除，底数不变，指数相减，即$a^{m-n}=a^m÷ a^n$。据此可将所求式子转化为$2^x÷2^{2y}$，题目已给出$2^x$和$2^{2y}$的具体值，直接代入计算即可。
【解析】根据同底数幂的除法运算性质，得：
$2^{x-2y}=2^x÷2^{2y}$
已知$2^x=3$，$2^{2y}=5$，代入上式计算：
原式$=3÷5=\frac{3}{5}$
【答案】$\frac{3}{5}$
【知识点】同底数幂的除法，指数运算性质
【点评】本题考查幂的运算性质的基础应用，核心是利用同底数幂的除法法则对所求式子变形，结合已知条件计算，难度较低，属于基础题型。
【难度系数】0.7

13. 对于任意实数$a,b$,定义关于“$@$”的一种运算:$a@b=2a+b$,例如$3@4=2×3+4=10$。若$x@(-y)=3,(2y)@x=5$,则$x+y$的值为。

13.$\frac{8}{3}$

【分析】本题是新定义运算与二元一次方程组结合的题目，解题思路为：先根据题目给出的新运算规则$a@b=2a+b$，将已知的两个等式转化为关于$x$、$y$的二元一次方程组，再解方程组求出$x$、$y$的值，最后计算$x+y$的值。
【解析】根据新运算规则$a@b=2a+b$，对已知等式进行转化：
1. 由$x@(-y)=3$，可得：$2x + (-y)=3$，即$2x - y = 3$；
2. 由$(2y)@x=5$，可得：$2×(2y) + x =5$，即$x + 4y =5$；
联立得到二元一次方程组：
$\begin{cases}2x - y = 3 \\ x + 4y =5 \end{cases}$
用消元法解方程组：
将第一个方程两边同时乘以4，得：$8x -4y =12$，
与第二个方程相加，得：$8x -4y +x +4y =12 +5$，
化简得：$9x=17$，解得$x=\frac{17}{9}$；
把$x=\frac{17}{9}$代入$2x - y=3$，得：$2×\frac{17}{9} - y=3$，
即$\frac{34}{9} - y=\frac{27}{9}$，解得$y=\frac{7}{9}$；
因此$x+y=\frac{17}{9}+\frac{7}{9}=\frac{24}{9}=\frac{8}{3}$。
【答案】$\frac{8}{3}$
【知识点】新定义运算、二元一次方程组的应用
【点评】本题难度适中，核心是正确理解新运算的规则，将其转化为常规的二元一次方程组，再通过消元法求解，计算时注意分数运算的准确性即可。
【难度系数】0.7

14.若关于$x$的分式方程$\dfrac{2x}{x-1}-3=\dfrac{2m}{1-x}$有增根，则$m=$______。

14.$-1$

【分析】
要解决分式方程有增根求参数的问题，需明确增根的定义：增根是分式方程去分母后转化为整式方程的根，但会使原分式方程的分母为0。解题步骤为：1. 将分式方程去分母转化为整式方程；2. 确定原分式方程的增根（使分母为0的x值）；3. 将增根代入整式方程，求解参数m。
【解析】
解：原分式方程$\dfrac{2x}{x-1}-3=\dfrac{2m}{1-x}$，两边同乘最简公分母$(x-1)$去分母，注意右边$\dfrac{2m}{1-x}$乘$(x-1)$后变为$-2m$，得：
$2x - 3(x-1) = -2m$
整理整式方程：
$2x - 3x + 3 = -2m$
$-x + 3 = -2m$
解得：$x = 3 + 2m$
因为分式方程有增根，所以增根使原分母为0，即$x-1=0$，得增根$x=1$。
将$x=1$代入整式方程的解$x=3+2m$，得：
$1 = 3 + 2m$
解得：$m = -1$
【答案】
-1
【知识点】
分式方程的增根、解分式方程
【点评】
本题考查分式方程增根的应用，核心是理解增根的本质，解题时需注意去分母过程中的符号变化，避免计算失误。
【难度系数】
0.5