例3 (衢州市)如图,在正方形ABCD中,E,F分别是CD,DA的中点,BE与CF相交于点P,连结AP。
(1)求证:$BE⊥CF$。
(2)判断AP与AB的数量关系,并说明理由。

(1)因为E,F分别是正方形ABCD的边CD和AD的中点,所以$EC=DF$。在$△BCE$和$△CDF$中,
因为$\begin{cases}BC=CD,\\∠BCE=∠CDF,\\CE=DF,\end{cases}$所以$△BCE≌△CDF$。所以$∠CBE=∠DCF$。因为$∠DCF+∠BCP=90°$,所以$∠CBE+∠BCP=90°$。所以$BE⊥FC$。
(2)$AP=AB$。理由如下:如图,延长CF,BA交于点M。
因为$FC⊥EB$,所以$∠BPM=90°$。在$△CDF$和$△MAF$中,
因为$\begin{cases}∠CFD=∠MFA,\\∠CDF=∠MAF,\\FD=FA,\end{cases}$所以$△CDF≌△MAF$。所以$CD=AM$。
因为$CD=AB$,所以$AB=AM$。所以PA是$Rt△BPM$斜边BM上的中线。所以$AP=\frac{1}{2}MB$。所以$AP=AB$。

7.(宁波市鄞州区)如图所示为由两个全等的正方形叠在一起得到的八角星形纸板，八角星有八个直角，八个相等的钝角，每条边都相等。若原正方形边AB的长为$4+2\sqrt{2}$，则八角星形纸板的一边CD的长为 （）

A.$\sqrt{2}$
B.2
C.4
D.$2\sqrt{2}$

7.B

8.（杭州市余杭区）已知正方形ABCD，以∠BAE为顶角，边AB为腰作等腰三角形ABE，连结DE，则∠DEB的度数为。

8.$135°$或$45°$

9.(永康市)如图，A是x轴上的一个动点，点C在y轴上，以AC为对角线画正方形ABCD。已知点C的坐标是$(0,4)$，设点A的坐标为$(n,0)$。
(1)当$n=2$时，正方形ABCD的边长$AB=$。
(2)连结$OD$，当$OD=\sqrt{2}$时，$n=$。

9.(1)$\sqrt{10}$ (2)2或6

例4 （乐清市）如图1，在矩形ABCD中，AB=4，AD=5，E为射线BC上一点，DF⊥AE于点F，连结DE。
（1）当点E在线段BC上时：
①若DE=5，求BE的长。
②若CE=EF，求证：AD=AE。
（2）连结BF，在点E的运动过程中：
①当△ABF是以AB为底的等腰三角形时，求BE的长。
②记△ADF的面积为S₁，记△DCE的面积为S₂，当BF//DE时，请直接写出S₁:S₂的值。

(1)①在矩形ABCD中,$∠B=∠DCE=90°,BC=AD=5,DC=AB=4$。因为$DE=5$,所以$CE=3$。所以$BE=2$。
②在矩形ABCD中,$∠DCE=90°,AD// BC$,所以$∠ADE=∠DEC$。又因为$DF⊥AE$,所以$∠DCE=∠DFE=90°$。因为$CE=EF,DE=DE$,所以$△CED≌△FED(HL)$。所以$∠CED=∠FED$。
所以$∠ADE=∠AED$。所以$AD=AE$。
(2)①如图1,当点E在线段BC上时,$AF=BF$,所以$∠ABF=∠BAF$。因为$∠ABF+∠EBF=90°,∠BAF+∠BEF=90°$,
所以$∠EBF=∠BEF$。所以$EF=BF$。所以$AF=EF$。因为$DF⊥AE$,
所以$DE=AD=5$。在矩形ABCD中,$CD=AB=4,∠DCE=90°$,所以$CE=3$。所以$BE=5-3=2$。如图2,当点E在BC的延长线上时,$AF=BF$,同理可证$AF=EF$。因为$DF⊥AE$,所以$DE=AD=5$。在矩形ABCD中,$CD=AB=4,∠DCE=90°$,所以$CE=3$。所以$BE=5+3=8$。综上所述,BE的长为2或8。
②$S_1:S_2=1$。如图3,当$BF// DE$时,延长BF交AD于点G。在矩形ABCD中,$AD// BC,AD=BC,AB=CD,∠BAG=∠DCE=90°$。因为$BF// DE$,所以四边形BEDG是平行四边形。
所以$BE=DG,S_{△ DEF}=\frac{1}{2}S_{□ BEDG}$。所以$AG=CE,S_{△ BEF}+S_{△ DFG}=\frac{1}{2}S_{□ BEDG}$。易知$△ABG≌△CDE$,所以$S_{△ ABG}=S_{△ CDE}$。
因为$S_{△ ABE}=\frac{1}{2}S_{□ BEDG}$,所以$S_{△ ABE}=S_{△ BEF}+S_{△ DFG}$。所以$S_{△ ABF}=S_{△ DFG}$。所以$S_{△ ABF}+S_{△ AFG}=S_{△ DFG}+S_{△ AFG}$,即$S_{△ ABG}=S_{△ ADF}$。
所以$S_{△ CDE}=S_{△ ADF}$。所以$S_1:S_2=1$。