3.(杭州市上城区)如图,在$△ ABC$中,D是BC边上的一点,E是AD的中点,过点A作BC的平行线交BE的延长线于点F,且$AF=DC$,连结CF。
(1)求证:四边形ADCF是平行四边形。
(2)当AB与AC有何数量关系时,四边形ADCF为矩形?请说明理由。

(1)因为$AF// CD,AF=CD$,所以四边形ADCF是平行四边形。
(2)当$AB=AC$时,四边形ADCF为矩形。理由如下:
因为E是AD的中点,所以$AE=DE$。因为$AF// BC$,所以$∠FAE=∠BDE,∠AFE=∠DBE$。在$△AFE$和$△DBE$中,
因为$\begin{cases}∠FAE=∠BDE,\\∠AFE=∠DBE,\\AE=DE,\end{cases}$所以$△AFE≌△DBE$。所以$AF=BD$。
因为$AF=DC$,所以$BD=DC$。因为$AB=AC$,所以$AD⊥BC$,即$∠ADC=90°$。所以$□ADCF$是矩形。所以当$AB=AC$时,四边形ADCF为矩形。

例2 (嘉兴市)如图,菱形ABCD和菱形BEFG的边长分别是5和2,∠A=60°,连结DF,则DF的长为。

$\sqrt{37}$ 【解析】如图,延长FG交AD于点M,过点D作$DH⊥AB$交AB于点H,交GF的延长线于点N。因为四边形ABCD和四边形BEFG都是菱形,所以$GF// BE,EF// AM$。所以四边形AMFE是平行四边形。所以$AM=EF=2,MF=AE=5+2=7$。所以$DM=AD-AM=5-2=3$。
因为$∠A=60°$,所以$∠ADH=30°$。所以$MN=\frac{1}{2}DM=\frac{3}{2}$。
所以$DN=\sqrt{MD^2-MN^2}=\frac{3\sqrt{3}}{2},NF=MF-MN=\frac{11}{2}$。在$Rt△DNF$中,$DF=\sqrt{DN^2+NF^2}=\sqrt{37}$。故答案为$\sqrt{37}$。

知识归纳
1. 菱形的定义:有一组邻边相等的平行四边形叫作菱形。
2. 菱形的性质:(1)菱形具有平行四边形的所有性质。(2)菱形的四条边相等。(3)菱形的两条对角线互相垂直,并且每一条对角线平分一组对角。
3. 菱形的判定:(1)由定义判定:有一组邻边相等的平行四边形是菱形。(2)由对角线判定:对角线互相垂直的平行四边形是菱形。(3)由边的关系判定:四条边相等的四边形是菱形。

证明：
∵ 四边形ABCD是菱形
∴ AB//CD，AB=AD，BD平分∠ABC
∵ 点E在AB的延长线上，且BE=AB
∴ BE=AD，BE//AD
∴ 四边形AEBD是平行四边形
∵ GF//AE，EF//BD
∴ 四边形BEFG是平行四边形
∵ 菱形ABCD中，AB=AD，BE=AB
∴ BE=AD
∵ BD平分∠ABC
∴ ∠ABD=∠DBC
∵ GF//AB
∴ ∠FGB=∠ABD
∴ ∠FGB=∠GBF
∴ BG=BF
又∵ 平行四边形BEFG中，BG=EF，BE=FG
∴ BE=EF
∴ 有一组邻边相等的平行四边形BEFG是菱形。

4. (杭州市余杭区)如图,已知菱形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,E,F分别是AD,CD边上的中点,连结EF。若$EF=2\sqrt{2},BD=4$,则菱形ABCD的面积为 （）

A.$2\sqrt{2}$
B.$4\sqrt{2}$
C.$8\sqrt{2}$
D.$16\sqrt{2}$

4.C

5. (绍兴市上虞区)如图,两张等宽的纸条交叉叠放在一起,若重叠部分构成的四边形$ABCD$中,$AB=5$,$AC=4$,则$BD$的长为$\underline{\hspace{5em}}$。

5.$2\sqrt{21}$

6. (杭州市拱墅区)如图,线段 AC 是菱形 ABCD 的一条对角线,过顶点 A,C 分别作对角线 AC 的垂线,交 CB,AD 的延长线于点 E,F。
(1)求证:四边形 AECF 是平行四边形。
(2)若 $AD=5,AE=8$,求四边形 AECF 的周长。

(1)因为$AE⊥AC,CF⊥AC$,所以$AE// CF$。因为四边形ABCD是菱形,所以$AF// CE$。所以四边形AECF是平行四边形。
(2)因为四边形ABCD是菱形,所以$AB=BC$。所以$∠BAC=∠BCA$。因为$AE⊥AC$,所以$∠BAC+∠BAE=∠BCA+∠E=90°$。所以$∠BAE=∠E$。所以$AB=EB$。因为$AD=5$,所以$AB=EB=BC=5$。因为$AE=8$,所以$AE+EC=18$。因为四边形AECF是平行四边形,所以四边形AECF的周长是36。