20. (6 分) 如图, $∠ BAC = ∠ DAE = 90°, AB = AC$, $AD = AE, BE, CD$ 交于点 $F$.
(1) 求证:$BE = CD$;
(2) 连接 $CE$, 若 $BE = CE$, 求证:.
(从“①$DE ⊥ AC$”“②$DE // AB$”中选择一个填入(2)中,并完成证明)

20. (1) $\because ∠ B A C=∠ D A E=90°, \therefore ∠ D A E+∠ D A B=∠ B A C+$ $∠ D A B$, 即 $∠ B A E=∠ C A D$. 在 $△ C A D$ 与 $△ B A E$ 中, $\{\begin{array}{l}A D=A E, \\ ∠ C A D=∠ B A E, \therefore △ C A D ≌ △ B A E(\mathrm{SAS}), \therefore B E=C D . \\ A C=A B,\end{array} $
(2) 答案不唯一, 示例: (1) $D E ⊥ A C$ 证明: $\because B E=C D, B E=C E$, $\therefore C E=C D$. 又 $\because A D=A E, \therefore C A$ 垂直平分 $D E, \therefore D E ⊥ A C$.

21. (8分)(眉山中考)在如图所示的正方形网格中,每一个小正方形的边长为1.格点三角形$ABC$(顶点是网格线交点的三角形)的顶点$A,C$的坐标分别是$(-4,6),(-1,4)$.
(1)请在图中的网格平面内建立平面直角坐标系;
(2)请画出$△ ABC$关于$x$轴对称的$△ A_1B_1C_1$;
(3)请在$y$轴上作一点$P$,使$△ PB_1C$的周长最小,并写出点$P$的坐标.

21. (1)(2) 如图所示.

(3) 如图, 作点 $B_{1}$ 关于 $y$ 轴的对称点 $B_{2}$, 连接 $C B_{2}$, 交 $y$ 轴于点 $P$, 则点 $P$ 即为所求. 设直线 $C B_{2}$ 的函数表达式为 $y=k x+b(k ≠ 0) . \because C(-1,4), B_{2}(2,-2), \therefore\{\begin{array}{l}-k+b=4, \\ 2 k+b=-2,\end{array} $ 解得 $\{\begin{array}{l}k=-2, \\ b=2,\end{array} \therefore $ 直线 $C B_{2}$ 的函数表达式为 $y=-2 x+2 . \therefore$ 当 $x=0$ 时, $y=2, \therefore P(0,2)$.

22. (8分)人类使用密码的历史相当久远,用于对通信传输中的信息实施保密.某校课外兴趣小组利用密码原理,结合一次函数知识编制了一套数字转译系统.如图,当输入一个数$x$时,该系统将它转译,输出对应的数$y$.已知输入0时,输出6;输入8时,输出22;输入15时,输出31.
(1)求该系统核心程序的表达式$y=kx+b$和$y=x+c$;
(2)输入20时,输出的数是;
(3)若输出28,则输入的数是多少?

22. (1) 当 $x ≤ 10$ 时, 将 $x=0, y=6 ; x=8, y=22$ 代入 $y=k x+b$ $(k ≠ 0)$, 得 $\{\begin{array}{l}b=6, \\ 8 k+b=22,\end{array} $ 解得 $\{\begin{array}{l}k=2, \\ b=6,\end{array} \therefore y=2 x+6 $.当 $x＞10$ 时, 将 $x=15, y=31$ 代入 $y=x+c$, 得 $15+c=31$, 解得 $c=16 . \therefore y=x+16$.
(2) 36 解析: $\because 20＞10, \therefore y=20+16=36, \therefore$ 输入 20 时, 输出的数是 36.
(3) 当 $x ≤ 10$ 时, $y=2 x+6=28$, 解得 $x=11$ (舍去);当 $x＞10$ 时, $y=x+16=28$, 解得 $x=12 . \therefore$ 输入的数是 12 .

23. (8分)(2025·苏州校级月考)如图,学校高17 m 的教学楼 AB 上有一块高 5 m 的校训宣传牌 AC,为美化环境,对校训宣传牌 AC 进行维护.一辆高 2 m 的工程车在教学楼前点 M处,伸长 25 m 的云梯(云梯最长 25 m)刚好接触到 AC 的底部点 A 处. 问:工程车向教学楼方向行驶多少米,长 25 m 的云梯刚好接触到 AC 的顶部点 C 处?

23. 如图, 过点 $D$ 作 $D E ⊥ A B$ 交 $A B$ 于点 $E$, 由题意得 $A E=A B-$ $B E=17-2=15(\mathrm{~m}), C E=A B+A C-B E=17+5-2=20(\mathrm{~m})$, 在 Rt $△ A E D$ 中, 由勾股定理得 $D E=\sqrt{A D^{2}-A E^{2}}=$ $\sqrt{25^{2}-15^{2}}=20(\mathrm{~m})$. 设 $D D^{\prime}=x \mathrm{~m}$, 则 $D^{\prime} E=(20-x) \mathrm{m}$. 在 Rt $△ C E D^{\prime}$ 中, 由勾股定理得 $D^{\prime} E^{2}+C E^{2}=C D^{\prime 2}$, 即 $(20-$ $x)^{2}+20^{2}=25^{2}$, 解得 $x=5(x=35$ 舍去). 故工程车向教学楼方向行驶 $5 \mathrm{~m}$, 长 $25 \mathrm{~m}$ 的云梯刚好接触到 $A C$ 的顶部点 $C$ 处.