10.(2025·徐州模拟)写出一个比$\sqrt{2}$大且比$\sqrt{14}$小的整数为.

10. 2 或 3 (写出一个即可) 解析: $\because 1＜\sqrt{2}＜2＜3＜\sqrt{14}＜$ $4, \therefore 2,3$ 均满足题意.

11. 定义:我们将等腰三角形的顶角与一个底角的度数的比值叫作这个等腰三角形的“特征
值”, 记 $a=\dfrac{顶角的度数}{一个底角的度数}.$ 若 $a=\dfrac{1}{2}$, 则该等腰三角形的顶角的度数为 $\_\_\_\_\_\_°.$

11. 36 解析: 设该等腰三角形的顶角的度数为 $x$, 由题意得该等腰三角形的一个底角度数为 $2 x, \therefore x+2 x+2 x=180°$, 解得 $x=36°$.

12. (2026·上海期末)如图,长方形$ABCD$中,$AB=4,AD=1,AB$在$x$轴上.若以点$A$为圆心,对角线$AC$的长为半径作弧交$x$轴的正半轴于点$M$,则点$M$的坐标为.

12. $(\sqrt{17}-1,0)$ 解析: $\because$ 四边形 $A B C D$ 是长方形, $A B=$ $4, A D=1, \therefore B C=A D=1, ∠ A B C=90°, \therefore A C=\sqrt{B C^{2}+A B^{2}}=$ $\sqrt{1^{2}+4^{2}}=\sqrt{17}, \therefore A M=A C=\sqrt{17} . \because O A=|-1|=1$, $\therefore O M=A M-O A=\sqrt{17}-1, \therefore$ 点 $M$ 的坐标为 $(\sqrt{17}-1,0)$.

13. 已知关于 $x$ 的一次函数 $y=(m-3)x+m+2$ 的图象经过第一、二、四象限,则代数式 $|m-3|+$ $|m+2|$ 可以化简为.

13. 5 解析: $\because$ 一次函数 $y=(m-3) x+m+2$ 的图象经过第一、二、四象限, $\therefore\{\begin{array}{l}m-3＜0, \\ m+2＞0,\end{array} $ 解得 $-2＜m＜3, \therefore|m-3|+|m+2|=$ $3-m+m+2=5$.

14. 如图，$△ ACD$ 是等边三角形，若 $AB=DE,BC=AE,∠ E=115^{\circ }$，则 $∠ BAE=$ $^{\circ }$.

14. 125 解析: $\because △ A C D$ 是等边三角形, $\therefore A C=A D, ∠ C A D=$ $60°$, 在 $△ A B C$ 与 $△ D E A$ 中, $\{\begin{array}{l}A B=D E, \\ B C=E A, \therefore △ A B C ≌ △ D E A \\ A C=D A,\end{array} $ (SSS), $\therefore ∠ B A C=∠ A D E, \therefore ∠ B A C+∠ D A E=∠ A D E+$ $∠ D A E=180°-115°=65°, \therefore ∠ B A E=∠ B A C+∠ D A E+$ $∠ C A D=65°+60°=125°$.

15. (2025·苏州期末) 如图，在四边形 $ABCD$ 中，$∠ BAD = ∠ BCD = 90°$。$M,N$ 分别是对角线 $BD,AC$ 的中点。若 $AC=6,BD=8$，则 $MN$ 的长为。

15. $\sqrt{7}$ 解析: 连接 $A M, C M . \because ∠ B A D=∠ B C D=90°, M$ 是对角线 $B D$ 的中点, $\therefore A M=C M=\frac{1}{2} B D=4$. 又 $\because N$ 是 $A C$ 的中点, $\therefore M N ⊥ A C, A N=C N=\frac{1}{2} A C=3$. 在 Rt $△ A N M$ 中, 由勾股定理得 $M N=\sqrt{A M^{2}-A N^{2}}=\sqrt{4^{2}-3^{2}}=\sqrt{7}$.

16. 已知一次函数 $y_1 = k_1x + b_1$ 与一次函数 $y_2 = k_2x + b_2$ 中, 函数 $y_1,y_2$ 与自变量 $x$ 的部分对应值分别如表 1、表 2 所示:
表 1:

表 2:

则关于 $x$ 的不等式 $k_1(x-1)+b_1 ＞ k_2x + b_2$ 的解集是.

16. $x＞-2$ 解析: 由表格可得, 当 $x=-3$ 时, $k_{1} x+b_{1}=0, \therefore$ 当 $x=-2$ 时, $k_{1}(x-1)+b_{1}=0 . \because$ 当 $x=-2$ 时, $k_{2} x+b_{2}=0, \therefore$ 当 $x=-2$ 时, $k_{1}(x-1)+b_{1}=k_{2} x+b_{2} . \because k_{1}(x-1)+b_{1}$ 是随着 $x$ 的增大而增大, $k_{2} x+b_{2}$ 是随着 $x$ 的增大而减小, $\therefore$ 不等式 $k_{1}(x-1)+b_{1}＞k_{2} x+b_{2}$ 的解集是 $x＞-2$.

17. 如图, 在 $△ A C B$ 中, $A B=A C, ∠ B A C=90°, D$为 $A C$ 的中点, $A E ⊥ B D$ 于 $N, C M ⊥ A E$ 交 $A E$的延长线于点 $M$, 连接 $D E$. 则下列结论:
① $∠ M A C=∠ D B A$; ② $B N-C M=M N$;
③ $∠ A D B=∠ C D E$; ④ $B D=A E+E D$. 其中正确的有(填写序号即可).

17. (1)(2)(3)(4) 解析: $\because ∠ B A C=90°, \therefore ∠ M A C+∠ B A N=$ $90° . \because A E ⊥ B D, \therefore ∠ A N B=90°, \therefore ∠ D B A+∠ B A N=90°$, $\therefore ∠ M A C=∠ D B A$. 结论 (1) 正确; 在 $△ A B N$ 和 $△ C A M$ 中, $\because ∠ A N B=∠ M=90°, ∠ N B A=∠ M A C, A B=C A, \therefore △ A B N ≌$ $△ C A M(\mathrm{AAS}), \therefore B N=A M, A N=C M, \therefore A M-A N=M N$, $\therefore B N-C M=M N$. 结论(2)正确; 过点 $C$ 作 $C P ⊥ A C$, 交 $A M$ 的延长线于点 $P . \because ∠ B A C=90°, A B=A C, \therefore ∠ A B C=∠ A C B=$ $45°, \therefore ∠ P C E=45°$. 在 $△ A B D$ 和 $△ C A P$ 中, $\because ∠ B A D=$ $∠ A C P=90°, A B=C A, ∠ D B A=∠ P A C, \therefore △ A B D ≌ △ C A P$ (ASA), $\therefore B D=A P, ∠ A D B=∠ P, A D=C P . \because D$ 为 $A C$ 的中点, $\therefore A D=D C=C P$. 在 $△ C D E$ 和 $△ C P E$ 中, $\because C D=C P$, $∠ D C E=∠ P C E=45°, C E=C E, \therefore △ C D E ≌ △ C P E$ (SAS), $\therefore ∠ P=∠ C D E, E P=E D$. 又 $∠ A D B=∠ P$, $\therefore ∠ A D B=∠ C D E$. 结论 (3) 正确; $\because A P=A E+E P, B D=A P$, $E P=E D, \therefore B D=A E+E D$. 结论(4)正确. 因此正确的有(1)(2) (3)(4).

18. (眉山中考)如图,在平面直角坐标系$xOy$中,点$B$的坐标为$(-8,6)$,过点$B$分别作$x$轴、$y$轴的垂线,垂足分别为点$C$、点$A$,直线$y=-2x-6$与$AB$交于点$D$,与$y$轴交于点$E$,动点$M$在线段$BC$上,动点$N$在直线$y=-2x-$6上,若$△ AMN$是以点$N$为直角顶点的等腰直角三角形,则点$M$的坐标为.

18. $(-8,6)$ 或 $(-8, \frac{2}{3})$ 解析: (1)如图(1), 当点 $N$ 在 $A B$ 下方时, 过点 $N$ 作 $P Q ⊥ y$ 轴交 $y$ 轴于点 $P$, 交 $B C$ 于点 $Q$, $\therefore ∠ A P Q=∠ N Q M=90° . \because △ A M N$ 是以点 $N$ 为直角顶点的等腰直角三角形, $\therefore A N=N M, ∠ A N M=90°, \therefore ∠ A N P+$ $∠ M N Q=∠ N M Q+∠ M N Q, \therefore ∠ A N P=∠ N M Q, \therefore △ A P N ≌$ $△ N Q M(\mathrm{AAS}), \therefore A P=N Q, N P=M Q$. 设 $N(t,-2 t-6)$, $\therefore N P=M Q=-t, O P=-2 t-6$. 又 $\because N Q=A P=8-N P=8+t, A P+$ $O P=O A=6, \therefore 8+t-2 t-6=6, \therefore t=-4, C M=M Q+C Q=M Q+$ $O P=-t-2 t-6=6, \therefore M(-8,6)$, 即点 $M$ 与点 $B$ 重合.

(2)如图(2), 当点 $N$ 在 $A B$ 上方时, 过点 $N$ 作 $P Q ⊥ y$ 轴交 $y$ 轴于点 $P$, 交直线 $C B$ 于点 $Q$, 同理得 $△ A P N ≌ △ N Q M$ (AAS), $\therefore A P=N Q, N P=M Q$. 设 $N(t,-2 t-6), \therefore N P=$ $M Q=-t, O P=-2 t-6$. 又 $\because N Q=A P=8-N P=8+t, O P-A P=$ $O A=6, \therefore-2 t-6-(8+t)=6, \therefore t=-\frac{20}{3}, C M=C Q-M Q=$ $O P-M Q=-2 t-6+t=\frac{2}{3}, \therefore M(-8, \frac{2}{3})$. 综上, 点 $M$ 的坐标为 $(-8,6)$ 或 $(-8, \frac{2}{3})$.

三、解答题(共66分)
19. (6分) (1) (黄冈中考) 化简: $(\sqrt{2}-1)^0+(\dfrac{1}{2})^{-2}-\sqrt{9}+\sqrt[3]{-27}$；
(2) 解方程: $9(x+1)^2=16$.

19. (1) 原式 $=1+4-3-3=-1$.
(2) $(x+1)^{2}=\frac{16}{9}, x+1= \pm \sqrt{\frac{16}{9}}, x+1= \pm \frac{4}{3}$, 当 $x+1=\frac{4}{3}$ 时, $x=\frac{1}{3}$; 当 $x+1=-\frac{4}{3}$ 时, $x=-\frac{7}{3}, \therefore x=\frac{1}{3}$ 或 $x=-\frac{7}{3}$.