24. (8分)如图,已知线段 $a,h$,用直尺和圆规按下列要求分别作一个等腰三角形 $ABC$(保留作图痕迹).
(1) $△ ABC$ 的底边长为 $a$,底边上的高为 $h$;
(2) $△ ABC$ 的腰长为 $a$,腰上的高为 $h$.

24. (1) 作线段 $A B=a$, 作线段 $A B$ 的垂直平分线交 $A B$ 于点 $D$,在线段 $A B$ 的垂直平分线上取 $D C=h$, 连接 $A C, B C$, 如图(1), 则 $△ A B C$ 即为所求.

(2) 作直线 $M N ⊥ P Q$ 于点 $E$, 在射线 $E M$ 上取 $E A=h$, 以 $A$ 为圆心, 线段 $a$ 的长为半径作圆交 $P Q$ 于 $B$, 在射线 $B P$ 上取点 $C$, 使 $B C=a$, 连接 $A C$, 如图(2), 则 $△ A B C$ 即为所求.


(答案不唯一, 如图(3)中的 $△ A B C(A B=A C)$ 也为所求, 画出一种即可)

25. (10 分)(2025·苏州期末)一辆货车和一辆轿车分别从甲、乙两地同时出发,沿同一条直路相向而行,匀速驶向各自目的地乙地和甲地.行驶了一段时间,轿车出现故障停下维修,货车遇到轿车后立即停下帮助维修,故障排除后,两车立即以各自原速度继续行驶.两车之间的距离 $y(\mathrm{km})$ 和货车行驶时间 $x(\mathrm{h})$ 之间的函数图象如图①所示.
(1)货车的速度为$\mathrm{km/h}$,轿车的速度为$\mathrm{km/h}$;
(2)求线段 $DE$ 所在直线的函数表达式;
(3)在图②中,画出货车离乙地的距离$s(\mathrm{km})$和行驶时间 $x(\mathrm{h})$ 之间的函数图象.

25. (1) 60 80 解析: 由题图可知, 货车的速度为 $\frac{40}{\frac{8}{3}-2}=$ $60(\mathrm{~km} / \mathrm{h})$, 轿车的速度为 $\frac{320-40}{2}-60=140-60=$ $80(\mathrm{~km} / \mathrm{h})$.
(2) 根据题意知, 轿车出现故障前行驶了 $80 × 2=$ $160(\mathrm{~km}), \therefore$ 轿车修好后到达甲地所需的时间为 $\frac{320-160}{80}=2(\mathrm{~h}), \therefore 5-2=3, \therefore D(3,0) . \therefore$ 货车 $2 \mathrm{~h}$ 行驶的路程为 $2 × 60=120(\mathrm{~km}) . \because 160+120=280(\mathrm{~km})$, $\therefore E(5,280)$. 设线段 $D E$ 所在直线的函数表达式为 $y=k x+$ $b$, 把 $D, E$ 坐标代入表达式, 得 $\{\begin{array}{l}3 k+b=0, \\ 5 k+b=280,\end{array} $ 解得 $\{\begin{array}{l}k=140, \\ b=-420 .\end{array} $ $\therefore$ 线段 $D E$ 所在直线的函数表达式为 $y=140 x-420$.
(3) 由题意得货车到达乙地的时间为 $\frac{320}{60}+(3-\frac{8}{3})=$ $\frac{17}{3}(\mathrm{~h})$. 货车离乙地的距离 $s(\mathrm{~km})$ 和行驶时间 $x(\mathrm{~h})$ 之间的函数图象如图所示.

26. (12分)【模型建立】(一线三等角)
(1) 如图①, 等腰 $\mathrm{Rt}△ ABC$ 中, $∠ ACB=90°$, $CB=CA$, 直线 $ED$ 经过点 $C$, 过点 $A$ 作 $AD⊥$ $ED$ 于点 $D$, 过点 $B$ 作 $BE⊥ ED$ 于点 $E$, 求证: $△ BEC≌△ CDA$.
【模型应用】
(2) 如图②, 直线 $l_1:y=\dfrac{4}{3}x+4$ 与坐标轴交于点 $A,B$, 直线 $l_2$ 经过点 $A$ 与直线 $l_1$ 垂直, 求直线 $l_2$ 的函数表达式.
(3) 如图③, 平面直角坐标系内有一点 $B(6,-8)$, 过点 $B$ 作 $BA⊥ x$ 轴于点 $A$, $BC⊥ y$ 轴于点 $C$, 点 $P$ 是线段 $AB$ 上的动点, 点 $D$ 是直线 $y=-2x+2$ 上的动点且在第四象限内. 若 $△ CPD$ 为等腰直角三角形, 请写出点 $D$ 的坐标.

26. (1) $\because A D ⊥ E D, B E ⊥ E D, \therefore ∠ A D C=∠ C E B=90°$. 又 $\because ∠ A C D+$ $∠ A C B+∠ B C E=180°, ∠ A C B=90°, \therefore ∠ A C D+∠ B C E=90°$. 又 $\because ∠ A C D+∠ D A C=90°, \therefore ∠ D A C=∠ E C B$. 在 $△ B E C$ 和 $△ C D A$ 中, $\{\begin{array}{l}∠ C E B=∠ A D C, \\ ∠ E C B=∠ D A C, \therefore △ B E C ≌ △ C D A(\mathrm{AAS}) . \\ B C=C A,\end{array} $
(2) 如图(1), 在 $l_{2}$ 上取点 $D$, 使 $A D=A B$, 过点 $D$ 作 $D E ⊥$ $O A$, 垂足为 $E . \because$ 直线 $y=\frac{4}{3} x+4$ 与坐标轴交于点 $A, B$, $\therefore A(-3,0), B(0,4), \therefore O A=3, O B=4$. 由 (1) 同理得 $△ B O A ≌ △ A E D, \therefore D E=O A=3, A E=O B=4, \therefore O E=7$, $\therefore D(-7,3)$. 设直线 $l_{2}$ 的函数表达式为 $y=k x+b$, 将 $A, D$ 两点坐标代入, 得 $\{\begin{array}{l}-7 k+b=3, \\ -3 k+b=0,\end{array} $ 解得 $\{\begin{array}{l}k=-\frac{3}{4}, \\ b=-\frac{9}{4},\end{array} $ $\therefore$ 直线 $l_{2}$ 的函数表达式为 $y=-\frac{3}{4} x-\frac{9}{4}$.

(3) 分三种情况:
(1)如图(2), 当 $∠ C P D=90°$ 时, 过点 $P$ 作 $M H / / x$ 轴, 过点 $D$ 作 $D H / / y$ 轴, $M H$ 和 $D H$ 交于点 $H . \because △ C P D$ 是等腰直角三角形, $\therefore ∠ C P D=90°, C P=P D$. 同 (1) 得 $△ C M P ≌ △ P H D$, $\therefore D H=P M=6, P H=C M$. 设 $P H=a$, 则 $D(6+a, a-8-6) . \because$ 点 $D$ 是直线 $y=-2 x+2$ 上的动点且在第四象限内, $\therefore a-8-6=$ $-2(6+a)+2$, 解得 $a=\frac{4}{3}, \therefore D(\frac{22}{3},-\frac{38}{3})$.
(2)如图(3), 当 $∠ P C D=90°$ 时, 此时点 $P$ 与点 $A$ 重合, 过点 $D$ 作 $D E ⊥ y$ 轴于点 $E . \because △ C P D$ 是等腰直角三角形, 同 (1) 得 $△ A O C ≌ △ C E D, \therefore O A=C E=6, O C=D E=8, \therefore D(8,-14)$.
(3)如图(4), 当 $∠ C D P=90°$ 时, 过点 $D$ 作 $M Q / / x$ 轴, 延长 $A B$ 交 $M Q$ 于点 $Q$, 则 $∠ Q=∠ D M C=90° . \because △ C D P$ 是等腰直角三角形, 同 (1) 得 $△ P Q D ≌ △ D M C, \therefore P Q=D M, D Q=C M$. 设 $C M=b$, 则 $D M=6-b, A Q=8+b, \therefore D(6-b,-8-b) . \because$ 点 $D$ 是直线 $y=-2 x+2$ 上的动点且在第四象限内, $\therefore-8-b=$ $-2(6-b)+2$, 解得 $b=\frac{2}{3}, \therefore D(\frac{16}{3},-\frac{26}{3})$.
综上, 点 $D$ 的坐标为 $(\frac{22}{3},-\frac{38}{3})$ 或 $(8,-14)$ 或 $(\frac{16}{3} $, $ -\frac{26}{3})$.