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6. 如图,直线$DE$与$BC$相交于点$O$,$∠ COE$与$∠ AOE$互余,$∠ BOD = 35°$,则$∠ AOE$的度数是 (
A.$55°$
B.$45°$
C.$35°$
D.$65°$
A
)A.$55°$
B.$45°$
C.$35°$
D.$65°$
答案
6.A
解析
【分析】首先根据对顶角相等的性质，求出∠COE的度数；再依据互余的定义（两个角的和为90°），计算出∠AOE的度数，从而得出答案。
【解析】
∵直线DE与BC相交于点O，根据对顶角相等，可得∠COE = ∠BOD = 35°。又
∵∠COE与∠AOE互余，即∠COE + ∠AOE = 90°，
∴∠AOE = 90° - ∠COE = 90° - 35° = 55°。
【答案】A
【知识点】对顶角性质、互余的定义
【点评】本题考查对顶角的性质和互余的概念，属于基础几何题，解题关键是熟练运用对顶角相等和互余的性质进行计算。
【难度系数】0.3
【解析】
∵直线DE与BC相交于点O，根据对顶角相等，可得∠COE = ∠BOD = 35°。又
∵∠COE与∠AOE互余，即∠COE + ∠AOE = 90°，
∴∠AOE = 90° - ∠COE = 90° - 35° = 55°。
【答案】A
【知识点】对顶角性质、互余的定义
【点评】本题考查对顶角的性质和互余的概念，属于基础几何题，解题关键是熟练运用对顶角相等和互余的性质进行计算。
【难度系数】0.3
7. 如图,已知直线 $a // b$,将一块含 $30°$ 角的直角三角尺 $ABC$ 按如图所示的方式放置($∠ ACB = 30°$),其中点 $A,B$ 分别落在直线 $a,b$ 上。若 $∠ 1 = 44°$,则 $∠ 2$ 的度数为 $\quad (\quad)$
A.$45°$
B.$46°$
C.$47°$
D.$22°$
A.$45°$
B.$46°$
C.$47°$
D.$22°$
答案
7.B
解析
【分析】本题需结合平行线的性质和直角三角尺的角度特征求解。首先明确∠2是直线a与BC的夹角，∠1是直线b与AB的夹角，直角三角尺中∠ABC=90°，利用直线a//b的性质，结合平角、直角的角度关系，即可推导计算∠2的度数。
【解析】
∵直线a//b，直角三角尺中∠ABC=90°，在点B处，平角为180°，因此∠1 + ∠ABC + ∠（直线b与BC的夹角）=180°，代入∠ABC=90°，可得∠1 + ∠（直线b与BC的夹角）=90°。已知∠1=44°，则直线b与BC的夹角为90°-44°=46°。又因为a//b，根据平行线的内错角相等，∠2等于直线b与BC的夹角，所以∠2=46°。
【答案】B
【知识点】平行线的性质、直角的性质
【点评】本题考查平行线性质与直角的结合应用，关键是找准角度间的关系，利用平行线的内错角相等转化角度，难度适中，属于基础题型。
【难度系数】0.6
【解析】
∵直线a//b，直角三角尺中∠ABC=90°，在点B处，平角为180°，因此∠1 + ∠ABC + ∠（直线b与BC的夹角）=180°，代入∠ABC=90°，可得∠1 + ∠（直线b与BC的夹角）=90°。已知∠1=44°，则直线b与BC的夹角为90°-44°=46°。又因为a//b，根据平行线的内错角相等，∠2等于直线b与BC的夹角，所以∠2=46°。
【答案】B
【知识点】平行线的性质、直角的性质
【点评】本题考查平行线性质与直角的结合应用，关键是找准角度间的关系，利用平行线的内错角相等转化角度，难度适中，属于基础题型。
【难度系数】0.6
8. 下列四个说法:①两点确定一条直线;②过直线上一点有且只有一条直线垂直于已知直线;③联结直线外一点与直线上各点的所有线段中,垂线段最短;④从直线外一点到这条直线的垂线段,叫作点到直线的距离。其中正确的说法的个数是（
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
B
）A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
答案
8.B
解析
【分析】
要判断四个说法的正确性，需逐一回忆直线公理、垂直的性质、垂线段的性质及点到直线距离的定义，明确每个说法的前提条件和概念细节，避免遗漏关键条件或混淆概念。
【解析】
对四个说法逐一分析：
1. ①“两点确定一条直线”是直线的基本公理，表述正确；
2. ②“过直线上一点有且只有一条直线垂直于已知直线”，该结论仅在同一平面内成立，空间中过直线上一点垂直于已知直线的直线有无数条，缺少“同一平面”的前提，故错误；
3. ③“联结直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短”是垂线段的基本性质，表述正确；
4. ④“从直线外一点到这条直线的垂线段，叫作点到直线的距离”错误，点到直线的距离是指垂线段的长度，而非垂线段本身；
综上，正确的说法为①和③，共2个，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
直线公理、垂线段性质、点到直线距离定义
【点评】
本题考查初中几何中直线相关的基础概念与性质，需准确掌握各概念的前提条件和定义细节，属于易混淆的基础题，需注意概念的严谨性。
【难度系数】
0.5
要判断四个说法的正确性，需逐一回忆直线公理、垂直的性质、垂线段的性质及点到直线距离的定义，明确每个说法的前提条件和概念细节，避免遗漏关键条件或混淆概念。
【解析】
对四个说法逐一分析：
1. ①“两点确定一条直线”是直线的基本公理，表述正确；
2. ②“过直线上一点有且只有一条直线垂直于已知直线”，该结论仅在同一平面内成立，空间中过直线上一点垂直于已知直线的直线有无数条，缺少“同一平面”的前提，故错误；
3. ③“联结直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短”是垂线段的基本性质，表述正确；
4. ④“从直线外一点到这条直线的垂线段，叫作点到直线的距离”错误，点到直线的距离是指垂线段的长度，而非垂线段本身；
综上，正确的说法为①和③，共2个，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
直线公理、垂线段性质、点到直线距离定义
【点评】
本题考查初中几何中直线相关的基础概念与性质，需准确掌握各概念的前提条件和定义细节，属于易混淆的基础题，需注意概念的严谨性。
【难度系数】
0.5
9. 如图是某垃圾清运车示意图，折线$A-B-C$是其尾箱舱门，舱门可绕点$A$按逆时针方向旋转打开，打开过程中$∠ ABC$的大小始终保持不变，$∠ BCD=89°$，当开启角$∠ EAB$达到最大时，$EF // CD$，此时$∠ EAB$的度数为 （
A.$89°$
B.$90°$
C.$91°$
D.$92°$
A
）A.$89°$
B.$90°$
C.$91°$
D.$92°$
答案
9.A 【解析】如图,过点B作BM//CD,过点A作AN//EF。因为EF//CD,所以EF//AN//BM//CD。因为∠BCD=89°,所以∠CBM=180°−89°=91°,∠MBA=∠BAN,所以∠ABC=91°+∠MBA=91°+∠BAN。因为∠ABC=∠AEF,所以∠AEF+∠EAN=91°+∠BAN+∠EAN=180°,所以∠BAN+∠EAN=180°−91°=89°,所以∠EAB=89°。
解析
【分析】要解决本题，需利用平行线的性质，通过作辅助线构造平行关系，结合已知∠BCD和∠ABC大小不变的条件，推导∠EAB的度数。首先，因EF//CD，故过点B作BM//CD、过点A作AN//EF，得到多条平行线，利用平行线的同旁内角互补、内错角相等的性质建立角度关系，进而求出∠EAB。
【解析】如图，过点B作$BM// CD$，过点A作$AN// EF$。
因为$EF// CD$，所以$EF// AN// BM// CD$。
根据平行线的性质，两直线平行，同旁内角互补，得$∠ CBM + ∠ BCD = 180°$，已知$∠ BCD=89°$，所以$∠ CBM=180° - 89°=91°$。
又因为$AN// EF$，$BM// CD$，所以$∠ MBA=∠ BAN$（内错角相等），而$∠ ABC=∠ CBM + ∠ MBA$，故$∠ ABC=91° + ∠ BAN$。
由题意知$∠ ABC$大小不变，且$EF// CD$时，$∠ AEF + ∠ EAN=180°$（同旁内角互补），又$∠ ABC=∠ AEF$，$∠ EAB=∠ EAN + ∠ BAN$，代入得：
$∠ AEF + ∠ EAN = (91° + ∠ BAN) + ∠ EAN =180°$，
整理得$∠ BAN + ∠ EAN=180° -91°=89°$，即$∠ EAB=89°$。
【答案】A
【知识点】平行线的性质
【点评】本题通过作辅助线构造平行关系，利用平行线的性质推导角度，考查了平行线性质的应用，属于基础几何题，难度适中。
【难度系数】0.5
【解析】如图，过点B作$BM// CD$，过点A作$AN// EF$。
因为$EF// CD$，所以$EF// AN// BM// CD$。
根据平行线的性质，两直线平行，同旁内角互补，得$∠ CBM + ∠ BCD = 180°$，已知$∠ BCD=89°$，所以$∠ CBM=180° - 89°=91°$。
又因为$AN// EF$，$BM// CD$，所以$∠ MBA=∠ BAN$（内错角相等），而$∠ ABC=∠ CBM + ∠ MBA$，故$∠ ABC=91° + ∠ BAN$。
由题意知$∠ ABC$大小不变，且$EF// CD$时，$∠ AEF + ∠ EAN=180°$（同旁内角互补），又$∠ ABC=∠ AEF$，$∠ EAB=∠ EAN + ∠ BAN$，代入得：
$∠ AEF + ∠ EAN = (91° + ∠ BAN) + ∠ EAN =180°$，
整理得$∠ BAN + ∠ EAN=180° -91°=89°$，即$∠ EAB=89°$。
【答案】A
【知识点】平行线的性质
【点评】本题通过作辅助线构造平行关系，利用平行线的性质推导角度，考查了平行线性质的应用，属于基础几何题，难度适中。
【难度系数】0.5
10.(2025·金华市金东区期末)如图,在一次数学实践活动课上,某同学将一条对边互相平行的纸带进行两次折叠,折痕分别为AB,CD,若$CD// BE$,且$∠ ABC=3∠ EBC$,则$∠ 1$的度数为 （
A.$108°$
B.$120°$
C.$130°$
D.$140°$
A
）A.$108°$
B.$120°$
C.$130°$
D.$140°$
答案
10.A 【解析】由折叠的性质,得2∠ABE+∠CBE=180°。因为∠ABC=3∠EBC,∠ABC=∠ABE+∠CBE,所以∠ABE=2∠CBE,所以4∠CBE+∠CBE=180°,所以∠CBE=36°。因为BE//CD,所以∠BCD=180°−∠CBE=144°。由折叠的性质,得2∠DCF+∠1=180°。因为∠BCD=∠1+∠DCF,所以2(144°−∠1)+∠1=180°,所以∠1=108°。
解析
【分析】
首先，根据纸带折叠的性质，折叠前后对应角相等，第一次折叠后折痕AB形成的角满足平角关系；结合已知∠ABC与∠EBC的倍数关系，可求出∠EBC的度数；再利用CD//BE的平行线性质，得到同旁内角互补，求出∠BCD；最后根据第二次折叠的角关系，结合∠BCD与∠1的和，即可算出∠1的度数。
【解析】
1. 由折叠性质，第一次折叠后，折痕AB使平角分为2个∠ABE和1个∠EBC，故：
$2∠ ABE + ∠ EBC = 180°$
2. 已知$∠ ABC = 3∠ EBC$，且$∠ ABC = ∠ ABE + ∠ EBC$，因此：
$∠ ABE + ∠ EBC = 3∠ EBC$，化简得$∠ ABE = 2∠ EBC$
3. 将$∠ ABE = 2∠ EBC$代入$2∠ ABE + ∠ EBC = 180°$，得：
$2×2∠ EBC + ∠ EBC = 180°$，即$5∠ EBC = 180°$，解得$∠ EBC = 36°$
4. 因为$CD // BE$，根据“两直线平行，同旁内角互补”，得：
$∠ BCD + ∠ EBC = 180°$，因此$∠ BCD = 180° - 36° = 144°$
5. 由第二次折叠性质，折痕CD使平角分为2个∠DCF和1个∠1，故：
$2∠ DCF + ∠ 1 = 180°$
6. 又$∠ BCD = ∠ 1 + ∠ DCF$，则$∠ DCF = 144° - ∠ 1$，代入上式得：
$2(144° - ∠ 1) + ∠ 1 = 180°$，展开计算：$288° - ∠ 1 = 180°$，解得$∠ 1 = 108°$
【答案】
A
【知识点】
折叠的性质、平行线的性质
【点评】
本题结合折叠和平行线的性质，需理清折叠后角的数量关系，逐步推导求解，关键是利用平角和同旁内角互补的关系，属于中等难度的几何计算题。
【难度系数】
0.4
首先，根据纸带折叠的性质，折叠前后对应角相等，第一次折叠后折痕AB形成的角满足平角关系；结合已知∠ABC与∠EBC的倍数关系，可求出∠EBC的度数；再利用CD//BE的平行线性质，得到同旁内角互补，求出∠BCD；最后根据第二次折叠的角关系，结合∠BCD与∠1的和，即可算出∠1的度数。
【解析】
1. 由折叠性质，第一次折叠后，折痕AB使平角分为2个∠ABE和1个∠EBC，故：
$2∠ ABE + ∠ EBC = 180°$
2. 已知$∠ ABC = 3∠ EBC$，且$∠ ABC = ∠ ABE + ∠ EBC$，因此：
$∠ ABE + ∠ EBC = 3∠ EBC$，化简得$∠ ABE = 2∠ EBC$
3. 将$∠ ABE = 2∠ EBC$代入$2∠ ABE + ∠ EBC = 180°$，得：
$2×2∠ EBC + ∠ EBC = 180°$，即$5∠ EBC = 180°$，解得$∠ EBC = 36°$
4. 因为$CD // BE$，根据“两直线平行，同旁内角互补”，得：
$∠ BCD + ∠ EBC = 180°$，因此$∠ BCD = 180° - 36° = 144°$
5. 由第二次折叠性质，折痕CD使平角分为2个∠DCF和1个∠1，故：
$2∠ DCF + ∠ 1 = 180°$
6. 又$∠ BCD = ∠ 1 + ∠ DCF$，则$∠ DCF = 144° - ∠ 1$，代入上式得：
$2(144° - ∠ 1) + ∠ 1 = 180°$，展开计算：$288° - ∠ 1 = 180°$，解得$∠ 1 = 108°$
【答案】
A
【知识点】
折叠的性质、平行线的性质
【点评】
本题结合折叠和平行线的性质，需理清折叠后角的数量关系，逐步推导求解，关键是利用平角和同旁内角互补的关系，属于中等难度的几何计算题。
【难度系数】
0.4
二、填空题（每小题3分，共18分）
答案
解：
1. ∵∠BOC与∠AOD是对顶角，
∴∠BOC=∠AOD=130°，
∵∠AOC与∠AOD互为邻补角，
∴∠AOC=180°-∠AOD=180°-130°=50°，
答案：130，50
2. 根据垂线的基本性质，同一平面内经过一点有且只有1条直线与已知直线垂直，
答案：1
3. ∵AB//CD，
∴∠2=∠1=65°（两直线平行，同位角相等），
答案：65
4. 该操作的理由是垂线段最短，
答案：垂线段最短
5. 由平移的性质得AA'=3，A'C'=AC，
∴四边形ABC'A'的周长=AB+BC+C'A'+AA'
=△ABC的周长+AA'+CC'
=12+3+3=18，
答案：18
6. ①如果a//b，a⊥c，那么b⊥c，是真命题；
②如果b//a，c//a，那么b//c，是真命题；
③如果b⊥a，c⊥a，那么b⊥c，是假命题；
④如果b⊥a，c⊥a，那么b//c，是真命题；
∴真命题为①②④，
答案：①②④
1. ∵∠BOC与∠AOD是对顶角，
∴∠BOC=∠AOD=130°，
∵∠AOC与∠AOD互为邻补角，
∴∠AOC=180°-∠AOD=180°-130°=50°，
答案：130，50
2. 根据垂线的基本性质，同一平面内经过一点有且只有1条直线与已知直线垂直，
答案：1
3. ∵AB//CD，
∴∠2=∠1=65°（两直线平行，同位角相等），
答案：65
4. 该操作的理由是垂线段最短，
答案：垂线段最短
5. 由平移的性质得AA'=3，A'C'=AC，
∴四边形ABC'A'的周长=AB+BC+C'A'+AA'
=△ABC的周长+AA'+CC'
=12+3+3=18，
答案：18
6. ①如果a//b，a⊥c，那么b⊥c，是真命题；
②如果b//a，c//a，那么b//c，是真命题；
③如果b⊥a，c⊥a，那么b⊥c，是假命题；
④如果b⊥a，c⊥a，那么b//c，是真命题；
∴真命题为①②④，
答案：①②④
解析
【分析】
本题是相交线、平行线、平移及命题相关的基础填空题，共6小题，每道题对应不同的核心知识点，解题思路为：①第1题利用对顶角相等、邻补角互补的性质计算角度；②第2题回忆垂线的基本性质；③第3题运用平行线的同位角相等性质；④第4题结合垂线段的性质作答；⑤第5题根据平移的性质计算四边形周长；⑥第6题逐个分析命题的真假，依据平行线与垂线的关系判断。
【解析】
1.
∵∠BOC与∠AOD是对顶角，根据对顶角相等，
∴∠BOC=∠AOD=130°；又
∵∠AOC与∠AOD互为邻补角，邻补角和为180°，
∴∠AOC=180°-130°=50°；
2. 根据垂线的基本性质：同一平面内，经过一点有且只有1条直线与已知直线垂直，故答案为1；
3.
∵AB//CD，根据“两直线平行，同位角相等”，
∴∠2=∠1=65°；
4. 该操作的理由是垂线段最短；
5. 由平移的性质得AA'=3，A'C'=AC，四边形ABC'A'的周长=AB+BC+C'A'+AA'=△ABC的周长+AA'+CC'，代入△ABC周长12，AA'=CC'=3，得12+3+3=18；
6. 逐个判断命题：①若a//b，a⊥c，则b⊥c，是真命题；②若b//a，c//a，则b//c，是真命题；③若b⊥a，c⊥a，则b⊥c，是假命题；④若b⊥a，c⊥a，则b//c，是真命题；故真命题为①②④；
【答案】
130，50；1；65；垂线段最短；18；①②④
【知识点】
相交线与平行线、平移的性质、命题与定理
【点评】
本题全面考查了相交线、平行线、平移及命题相关的基础知识点，侧重对核心概念和性质的掌握，题目难度较低，属于易得分的基础题型，适合巩固相关章节的基础内容。
【难度系数】
0.8
本题是相交线、平行线、平移及命题相关的基础填空题，共6小题，每道题对应不同的核心知识点，解题思路为：①第1题利用对顶角相等、邻补角互补的性质计算角度；②第2题回忆垂线的基本性质；③第3题运用平行线的同位角相等性质；④第4题结合垂线段的性质作答；⑤第5题根据平移的性质计算四边形周长；⑥第6题逐个分析命题的真假，依据平行线与垂线的关系判断。
【解析】
1.
∵∠BOC与∠AOD是对顶角，根据对顶角相等，
∴∠BOC=∠AOD=130°；又
∵∠AOC与∠AOD互为邻补角，邻补角和为180°，
∴∠AOC=180°-130°=50°；
2. 根据垂线的基本性质：同一平面内，经过一点有且只有1条直线与已知直线垂直，故答案为1；
3.
∵AB//CD，根据“两直线平行，同位角相等”，
∴∠2=∠1=65°；
4. 该操作的理由是垂线段最短；
5. 由平移的性质得AA'=3，A'C'=AC，四边形ABC'A'的周长=AB+BC+C'A'+AA'=△ABC的周长+AA'+CC'，代入△ABC周长12，AA'=CC'=3，得12+3+3=18；
6. 逐个判断命题：①若a//b，a⊥c，则b⊥c，是真命题；②若b//a，c//a，则b//c，是真命题；③若b⊥a，c⊥a，则b⊥c，是假命题；④若b⊥a，c⊥a，则b//c，是真命题；故真命题为①②④；
【答案】
130，50；1；65；垂线段最短；18；①②④
【知识点】
相交线与平行线、平移的性质、命题与定理
【点评】
本题全面考查了相交线、平行线、平移及命题相关的基础知识点，侧重对核心概念和性质的掌握，题目难度较低，属于易得分的基础题型，适合巩固相关章节的基础内容。
【难度系数】
0.8
11.(2024·金华市东阳市期末)如图,若$∠1=∠2$,则$AB// CD$,依据为
内错角相等,两直线平行
。答案
11.内错角相等,两直线平行
解析
【分析】要判断AB与CD平行，需确定∠1和∠2的位置关系：观察图形可知，∠1与∠2是直线AB、CD被直线AC所截形成的内错角，根据平行线的判定规则，内错角相等时两直线平行，因此可推导AB//CD。
【解析】由题图可知，∠1和∠2是直线AB、CD被直线AC所截得到的内错角，已知∠1=∠2，依据“内错角相等，两直线平行”的平行线判定定理，即可得出AB//CD。
【答案】内错角相等，两直线平行
【知识点】平行线的判定、内错角
【点评】本题考查平行线的基础判定定理，核心是识别内错角并运用判定规则，属于基础题型，难度较低。
【难度系数】0.8
【解析】由题图可知，∠1和∠2是直线AB、CD被直线AC所截得到的内错角，已知∠1=∠2，依据“内错角相等，两直线平行”的平行线判定定理，即可得出AB//CD。
【答案】内错角相等，两直线平行
【知识点】平行线的判定、内错角
【点评】本题考查平行线的基础判定定理，核心是识别内错角并运用判定规则，属于基础题型，难度较低。
【难度系数】0.8
12. (2024·绍兴市新昌县期末)如图,已知直线$l_{3},l_{2}$被$l_{1}$所截,且$l_{2}// l_{3}$,$∠1=35°$,则$∠2$的度数为$\underline{\hspace{5cm}}$。
答案
12.35°
解析
【分析】首先观察图形，明确已知条件：直线$l_2 // l_3$，$l_1$是截线，$∠1$和$∠2$是同位角。根据平行线的性质，两直线平行时，同位角相等，因此可通过$∠1$的度数求出$∠2$的度数。
【解析】因为$l_2 // l_3$，直线$l_1$截$l_2$和$l_3$，$∠1$与$∠2$是同位角，根据“两直线平行，同位角相等”的性质，可得$∠2 = ∠1$。已知$∠1 = 35°$，所以$∠2 = 35°$。
【答案】35°
【知识点】平行线的性质、同位角
【点评】本题是平行线性质的基础应用题，考查学生对“两直线平行，同位角相等”这一性质的掌握，属于简单的几何基础题，难度较低。
【难度系数】0.8
【解析】因为$l_2 // l_3$，直线$l_1$截$l_2$和$l_3$，$∠1$与$∠2$是同位角，根据“两直线平行，同位角相等”的性质，可得$∠2 = ∠1$。已知$∠1 = 35°$，所以$∠2 = 35°$。
【答案】35°
【知识点】平行线的性质、同位角
【点评】本题是平行线性质的基础应用题，考查学生对“两直线平行，同位角相等”这一性质的掌握，属于简单的几何基础题，难度较低。
【难度系数】0.8
