24.(10分)已知$a// b$,点$A,B$在直线$a$上,点$C,D$在直线$b$上,且$AD⊥ BC$于点$E$。

(1)如图1,求证:$∠ ABC+∠ ADC=90°$。
(2)如图2,$BF$平分$∠ ABC$交$AD$于点$F$,$DG$平分$∠ ADC$交$BC$于点$G$,求$∠ AFB+∠ CGD$的度数。
(3)如图3,$P$为线段$AB$上一点,$I$为线段$BC$上一点,连结$PI$,$N$为$∠ IPB$的平分线上一点,且$∠ NCD=\frac{1}{2}∠ BCN$,则用等式表示$∠ CIP,∠ IPN,∠ CNP$之间的数量关系是。

(1)如图1,过点E作$EF// a$。$\because a// b,\therefore a// b// EF$。$\because AD⊥ BC,\therefore ∠ BED=90°$。$\because EF// a,\therefore ∠ ABE=∠ BEF$。$\because EF// b,\therefore ∠ ADC=∠ DEF$。$\therefore ∠ ABC+∠ ADC=∠ BED=90°$。
(2)如图2,作$FM// a$,$GN// b$。设$∠ ABF=∠ EBF=x$,$∠ ADG=∠ CDG=y$。由(1)知:$2x+2y=90°$,$x+y=45°$,$\because FM// a// b,\therefore ∠ BFD=2y+x$。$\therefore ∠ AFB=180°-(2y+x)$。同理可得$∠ CGD=180°-(2x+y)$。$\therefore ∠ AFB+∠ CGD=360°-(3x+3y)=360°-3×45°=225°$。
(3)如图3。当点$N$在$∠ DCB$内部时,因为$PN$平分$∠ IPB$,$∠ NCD=\dfrac{1}{2}∠ BCN$,所以设$∠ BPN=∠ IPN=α$,$∠ NCD=β$,$∠ BCN=2β$。同(1)理得 ,$∠ CIP=∠ IPB+∠ ICD=2α+3β$,$∠ CNP=∠ BPN+∠ NCD=α+β$,所以$∠ CIP+∠ IPN=3α+3β=3∠ CNP$。当点$N'$在直线$CD$的下方时,因为$PN'$平分$∠ IPB$,$∠ N'CD=\dfrac{1}{2}∠ BCN'$,所以设$∠ BPN'=∠ IPN'=α$,$∠ N'CD=\dfrac{1}{2}∠ BCN'=∠ ICD=β$。同(1)理得$∠ CIP=∠ IPB+∠ ICD=2α+β$,$∠ CN'P=∠ BPN'-∠ N'CD=α-β$,所以$∠ CIP+∠ CN'P=3α=3∠ IPN'$。综上所述,$3∠ CNP=∠ CIP+∠ IPN$或$3∠ IPN=∠ CIP+∠ CNP$。

【分析】
本题是平行线与角平分线结合的几何综合题，分三小问逐步推导：
(1) 要证∠ABC+∠ADC=90°，利用平行线的性质，过AD与BC的交点E作辅助线平行于直线a，将两个角转化到直角∠BED中，结合AD⊥BC的条件即可完成证明；
(2) 利用角平分线设未知数，结合(1)的结论得到角的和，再通过作平行线将∠AFB、∠CGD用未知数表示，计算两者之和；
(3) 分点N在∠DCB内部和直线CD下方两种情况，结合角平分线定义、平行线的角度关系，推导三个角的数量关系。
【解析】
(1) 证明：如图1，过点E作$EF// a$。
∵ $a// b$，
∴ $a// b// EF$。
∵ $AD⊥ BC$，
∴ $∠ BED=90°$。
∵ $EF// a$，
∴ $∠ ABE=∠ BEF$（两直线平行，内错角相等）。
∵ $EF// b$，
∴ $∠ ADC=∠ DEF$（两直线平行，内错角相等）。
∴ $∠ ABC+∠ ADC=∠ BEF+∠ DEF=∠ BED=90°$。
(2) 解：如图2，作$FM// a$，$GN// b$。
设$∠ ABF=∠ EBF=x$，$∠ ADG=∠ CDG=y$。
由(1)知：$∠ ABC+∠ ADC=2x+2y=90°$，
∴ $x+y=45°$。
∵ $FM// a// b$，
∴ $∠ AFB=180°-(2y+x)$，同理$∠ CGD=180°-(2x+y)$。
∴ $∠ AFB+∠ CGD=360°-3(x+y)=360°-3×45°=225°$。
(3) 解：分两种情况：
① 当点N在∠DCB内部时，设$∠ BPN=∠ IPN=α$，$∠ NCD=β$，则$∠ BCN=2β$。
同(1)的平行线角度关系，得$∠ CIP=2α+3β$，$∠ CNP=α+β$，故$3∠ CNP=∠ CIP+∠ IPN$；
② 当点N'在直线CD下方时，设$∠ BPN'=∠ IPN'=α$，$∠ N'CD=β$，则$∠ BCN'=2β$。
同(1)的平行线角度关系，得$∠ CIP=2α+β$，$∠ CN'P=α-β$，故$3∠ IPN'=∠ CIP+∠ CN'P$。
综上，数量关系为$3∠ CNP=∠ CIP+∠ IPN$或$3∠ IPN=∠ CIP+∠ CNP$。
【答案】
(1) 证明见上述解析；
(2) $225°$；
(3) $3∠CNP=∠CIP+∠IPN$或$3∠IPN=∠CIP+∠CNP$

【知识点】
平行线的性质、角平分线的定义、垂直的性质
【点评】
本题综合考查平行线与角平分线的应用，通过作辅助线转化角度是解题核心，第三问需分类讨论，考查学生的分类思想和逻辑推理能力，是一道综合性较强的几何题。
【难度系数】
0.4