22.(10分)如图,D是BC上一点,DE//AB,交AC于点E,点F在AB边上,且∠A=∠1。
(1)判断DF,AC的位置关系,并说明理由。
(2)若∠B+∠C=115°,求∠1的度数。

(1)$DF// AC$。理由如下:$\because DE// AB,\therefore ∠ 1=∠ BFD$。$\because ∠ A=∠ 1,\therefore ∠ A=∠ BFD$。$\therefore DF// AC$。
(2)$\because DF// AC,\therefore ∠ C=∠ BDF$。$\because DE// AB,\therefore ∠ B=∠ EDC$。$\because ∠ B+∠ C=115°,\therefore ∠ EDC+∠ BDF=115°$。又$\because ∠ EDC+∠ BDF+∠ 1=180°,\therefore ∠ 1=180°-115°=65°$。

【分析】
第(1)问要判断DF与AC的位置关系，需结合平行线的判定定理：已知DE//AB，可推出内错角∠1与∠BFD相等，再结合∠A=∠1，得到同位角∠A与∠BFD相等，从而判定DF//AC；第(2)问利用平行线的性质，DF//AC得∠C=∠BDF，DE//AB得∠B=∠EDC，再根据平角为180°，结合已知∠B+∠C=115°，即可求出∠1的度数。
【解析】
(1) DF//AC，理由如下：
∵ DE//AB（已知），
∴ ∠1 = ∠BFD（两直线平行，内错角相等），
又
∵ ∠A = ∠1（已知），
∴ ∠A = ∠BFD（等量代换），
∴ DF//AC（同位角相等，两直线平行）。
(2)
∵ DF//AC（已证），
∴ ∠C = ∠BDF（两直线平行，同位角相等），
∵ DE//AB（已知），
∴ ∠B = ∠EDC（两直线平行，同位角相等），
∵ ∠B + ∠C = 115°（已知），
∴ ∠EDC + ∠BDF = 115°（等量代换），
又
∵ ∠EDC + ∠BDF + ∠1 = 180°（平角的定义），
∴ ∠1 = 180° - (∠EDC + ∠BDF) = 180° - 115° = 65°。
【答案】
(1) DF//AC；(2) ∠1=65°
【知识点】
平行线的判定、平行线的性质、平角定义
【点评】
本题综合考查平行线的判定与性质，解题关键是通过平行线实现角的转化，结合平角定义计算角度，属于基础几何综合题，需熟练掌握相关定理。
【难度系数】
0.5

23.(10分)某手机专卖店的一张进货单上有如下信息:A款手机的进货单价比B款手机多800元,花38400元购进的A款手机的数量与花28800元购进的B款手机的数量相同。
(1)求A,B两款手机的进货单价分别是多少元。
(2)某周末两天销售单上的数据,如表所示:

求A,B两款手机的销售单价分别是多少元。
(3)根据(1)(2)所给的信息,手机专卖店要花费28000元购进A,B两款手机若干部,问:有哪几种进货方案?根据计算说明哪种进货方案获得的总利润最高。

(1)设A款手机的进货单价为$x$元,则B款手机的进货单价为$(x-800)$元。由题意,得$\dfrac{38400}{x}=\dfrac{28800}{x-800}$,解得$x=3200$,则$x-800=2400$。$\therefore A,B$两款手机的进货单价分别为3200元、2400元。
(2)设A,B两款手机的销售单价分别为$a$元、$b$元。由题意,得$\begin{cases}5a+8b=40100, \\ 6a+7b=41100, \end{cases}$解得$\begin{cases} a=3700, \\ b=2700, \end{cases}$ $\therefore A,B$两款手机的销售单价分别为3700元、2700元。
(3)设购进A款手机$m$部,B款手机$n$部。由题意得$3200m+2400n=28000$,即$4m+3n=35$。$\because m,n$均为非负整数,$\therefore m=2,n=9$或$m=5,n=5$或$m=8,n=1$。所以有三种进货方案:购进A款手机2部,B款手机9部;购进A款手机5部,B款手机5部;购进A款手机8部,B款手机1部。$3700-3200=500$(元),$2700-2400=300$(元),当$m=2,n=9$时,总利润为$500×2+300×9=3700$(元);当$m=5,n=5$时,总利润为$500×5+300×5=4000$(元);当$m=8,n=1$时,总利润为$500×8+300×1=4300$(元),因为$4300＞4000＞3700$,所以购进A款手机8部,B款手机1部时,总利润最高。

【分析】
这道题分三个小问，逐步考查方程的应用。第(1)问，根据“A款手机进货单价比B款多800元，且38400元购进A的数量与28800元购进B的数量相同”，利用“数量=总价÷单价”的关系，设未知数列出分式方程求解；第(2)问，根据两天的销售总额，设两款手机的销售单价，列出二元一次方程组求解；第(3)问，根据进货总价列出关于A、B手机数量的方程，结合数量为非负整数的条件找出所有进货方案，再通过计算各方案的利润，比较得出最高利润的方案。
【解析】
(1)设A款手机的进货单价为$x$元，则B款手机的进货单价为$(x-800)$元。
由题意，A、B两款手机的购进数量相同，可得：
$\dfrac{38400}{x}=\dfrac{28800}{x-800}$
方程两边同乘$x(x-800)$，得：$38400(x-800)=28800x$
化简得：$38400x - 30720000 = 28800x$
移项合并得：$9600x = 30720000$
解得：$x=3200$
检验：当$x=3200$时，$x(x-800)=3200×2400≠0$，故$x=3200$是原方程的解。
则B款手机进货单价为$3200-800=2400$元。
(2)设A款手机的销售单价为$a$元，B款手机的销售单价为$b$元。
根据两天的销售总额，列方程组：
$\begin{cases}5a + 8b = 40100 \\6a +7b =41100 \end{cases}$
用消元法：第一个方程乘6得$30a +48b=240600$，第二个方程乘5得$30a +35b=205500$，两式相减得$13b=35100$，解得$b=2700$。
将$b=2700$代入$5a+8×2700=40100$，得$5a=18500$，解得$a=3700$。
(3)设购进A款手机$m$部，B款手机$n$部（$m、n$为非负整数）。
根据进货总价：$3200m +2400n=28000$，两边同除以800化简得$4m +3n=35$，变形为$n=\dfrac{35-4m}{3}$。
由$n≥0$得$m≤8.75$，结合$m≥0$，且$35-4m$需为3的倍数，筛选得：
当$m=2$时，$n=9$；当$m=5$时，$n=5$；当$m=8$时，$n=1$，共三种进货方案。
计算利润：A款利润为$3700-3200=500$元/部，B款利润为$2700-2400=300$元/部。
各方案利润：
方案1：$500×2+300×9=3700$元；
方案2：$500×5+300×5=4000$元；
方案3：$500×8+300×1=4300$元；
故购进A款8部、B款1部时总利润最高。
【答案】
(1)A款手机进货单价3200元，B款手机进货单价2400元；
(2)A款手机销售单价3700元，B款手机销售单价2700元；
(3)有三种进货方案：①购进A款2部、B款9部；②购进A款5部、B款5部；③购进A款8部、B款1部；购进A款8部、B款1部时总利润最高。
【知识点】
分式方程应用，二元一次方程组应用，二元一次不定方程的整数解
【点评】
本题是方程应用的综合题，分步骤考查分式方程、二元一次方程组及不定方程的应用，需理清各量关系，第(3)问需结合非负整数条件筛选方案，再比较利润，综合性较强，解题时要注意检验和整数解的合理性。
【难度系数】
0.5