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二、填空题(本大题有6小题,每小题4分,共24分)
11. 若分式$\dfrac{1}{x-1}$有意义,则$x$的取值范围为________.
11. 若分式$\dfrac{1}{x-1}$有意义,则$x$的取值范围为________.
答案
11.$x≠1$
解析
【分析】要确定分式有意义时x的取值范围，需依据分式的基本性质：分式有意义的条件是分母不为0。因此只需让该分式的分母不等于0，解对应的不等式即可得到x的取值范围。
【解析】对于分式$\dfrac{1}{x-1}$，根据分式有意义的条件，分母不能为0，即$x - 1 ≠ 0$，解得$x ≠ 1$。
【答案】$x≠1$
【知识点】分式有意义的条件
【点评】本题考查分式有意义的基础条件，属于概念类基础题，只需牢记分母不为0的规则即可快速求解，难度较低。
【难度系数】0.9
【解析】对于分式$\dfrac{1}{x-1}$，根据分式有意义的条件，分母不能为0，即$x - 1 ≠ 0$，解得$x ≠ 1$。
【答案】$x≠1$
【知识点】分式有意义的条件
【点评】本题考查分式有意义的基础条件，属于概念类基础题，只需牢记分母不为0的规则即可快速求解，难度较低。
【难度系数】0.9
12. 2025 年 2 月 8 日，中芯国际官宣飞腾 D2000 成功完成 5 nm (0.000000005 m)工艺验证，量产级良率达 92%，高于台积电初代 5 nm 良率.这一成就标志着中国在全球半导体领域的竞争力显著提升.数据0.000000005用科学记数法表示为$\underline{1×10^{-9}}$.
答案
12.$5×10^{-9}$
解析
【分析】
要解决这个问题，需掌握绝对值小于1的正数的科学记数法表示规则：将数表示为$a×10^{-n}$的形式，其中$1≤|a|＜10$，$n$是原数左边第一个非零数字前所有零的个数（包括小数点前的零）。对于$0.000000005$，先找到第一个非零数字是5，再数它前面的零的个数，即可确定$a$和$n$的值。
【解析】
绝对值小于1的正数的科学记数法形式为$a×10^{-n}$（$1≤a＜10$，$n$为正整数）。原数$0.000000005$中，左边第一个非零数字是5，其前面共有9个零，因此$a=5$，$n=9$，所以$0.000000005$用科学记数法表示为$5×10^{-9}$。
【答案】
$5×10^{-9}$
【知识点】
科学记数法（绝对值小于1的数）
【点评】
本题考查科学记数法的基本应用，属于基础题型，核心是掌握绝对值小于1的数的科学记数法的表示方法，确定$a$和$n$的值即可快速解答。
【难度系数】
0.8
要解决这个问题，需掌握绝对值小于1的正数的科学记数法表示规则：将数表示为$a×10^{-n}$的形式，其中$1≤|a|＜10$，$n$是原数左边第一个非零数字前所有零的个数（包括小数点前的零）。对于$0.000000005$，先找到第一个非零数字是5，再数它前面的零的个数，即可确定$a$和$n$的值。
【解析】
绝对值小于1的正数的科学记数法形式为$a×10^{-n}$（$1≤a＜10$，$n$为正整数）。原数$0.000000005$中，左边第一个非零数字是5，其前面共有9个零，因此$a=5$，$n=9$，所以$0.000000005$用科学记数法表示为$5×10^{-9}$。
【答案】
$5×10^{-9}$
【知识点】
科学记数法（绝对值小于1的数）
【点评】
本题考查科学记数法的基本应用，属于基础题型，核心是掌握绝对值小于1的数的科学记数法的表示方法，确定$a$和$n$的值即可快速解答。
【难度系数】
0.8
13. 某班有48名同学，按出生月份的不同分成4组，其中，1～3月的频率是0.25，4～6月的频率是0.375，7～9月的有8人，则10～12月的有
10
人。答案
13.10
解析
【分析】本题考查频数的计算，核心是利用“总人数等于各小组频数之和”的关系，以及“频数=总人数×频率”的公式。解题时，先算出1～3月和4～6月的人数，再用总人数减去这三个组的人数，即可得到10～12月的人数。
【解析】总人数为48人。
1. 计算1～3月的人数：根据频数公式，频数=总人数×频率，即48×0.25=12（人）；
2. 计算4～6月的人数：同理，48×0.375=18（人）；
3. 计算10～12月的人数：用总人数减去前三个组的人数，即48 - 12 - 18 - 8 = 10（人）。
【答案】10
【知识点】频数与频率的关系
【点评】本题是统计中基础的频数计算问题，直接运用频数与频率的关系即可求解，步骤简单，属于易得分题。
【难度系数】0.7
【解析】总人数为48人。
1. 计算1～3月的人数：根据频数公式，频数=总人数×频率，即48×0.25=12（人）；
2. 计算4～6月的人数：同理，48×0.375=18（人）；
3. 计算10～12月的人数：用总人数减去前三个组的人数，即48 - 12 - 18 - 8 = 10（人）。
【答案】10
【知识点】频数与频率的关系
【点评】本题是统计中基础的频数计算问题，直接运用频数与频率的关系即可求解，步骤简单，属于易得分题。
【难度系数】0.7
14. 已知$(ax+b)(x-1)$的展开式不含$x$的一次项，且常数项为2，则$b^a=$______.
答案
14.$\frac{1}{4}$
解析
【分析】本题考查多项式乘法的应用，解题思路为：先利用多项式乘多项式法则展开原式，再根据“不含x的一次项（即一次项系数为0）”和“常数项为2”这两个条件，分别列出关于a、b的方程，求解出a、b的值后，代入计算$b^a$即可。
【解析】1. 展开多项式：根据多项式乘多项式法则，将$(ax+b)(x-1)$展开：
$(ax+b)(x-1)=ax·x + ax·(-1) + b·x + b·(-1)=ax² + (-a + b)x - b$；
2. 根据条件列方程：
常数项为2：展开式的常数项是$-b$，故$-b=2$，解得$b=-2$；
不含x的一次项：一次项系数为0，即$-a + b=0$；
3. 求解a：将$b=-2$代入$-a + b=0$，得$-a -2=0$，解得$a=-2$；
4. 计算$b^a$：将$a=-2$，$b=-2$代入，得$b^a=(-2)^{-2}=\frac{1}{(-2)^2}=\frac{1}{4}$。
【答案】$\frac{1}{4}$
【知识点】多项式乘多项式，代数式求值，负整数指数幂
【点评】本题属于整式运算的基础题型，核心是掌握多项式展开后各项系数的确定方法，根据题目给定的条件建立方程求解参数，步骤清晰，难度较低，适合巩固整式乘法的基础知识点。
【难度系数】0.6
【解析】1. 展开多项式：根据多项式乘多项式法则，将$(ax+b)(x-1)$展开：
$(ax+b)(x-1)=ax·x + ax·(-1) + b·x + b·(-1)=ax² + (-a + b)x - b$；
2. 根据条件列方程：
常数项为2：展开式的常数项是$-b$，故$-b=2$，解得$b=-2$；
不含x的一次项：一次项系数为0，即$-a + b=0$；
3. 求解a：将$b=-2$代入$-a + b=0$，得$-a -2=0$，解得$a=-2$；
4. 计算$b^a$：将$a=-2$，$b=-2$代入，得$b^a=(-2)^{-2}=\frac{1}{(-2)^2}=\frac{1}{4}$。
【答案】$\frac{1}{4}$
【知识点】多项式乘多项式，代数式求值，负整数指数幂
【点评】本题属于整式运算的基础题型，核心是掌握多项式展开后各项系数的确定方法，根据题目给定的条件建立方程求解参数，步骤清晰，难度较低，适合巩固整式乘法的基础知识点。
【难度系数】0.6
15. 直线$AB // CD$，$M,N$分别为直线$AB,CD$上的点，且满足$∠ BMN = 40°$，$P$是射线$MB$上的一个动点(不包括端点$M$)，将三角形$PMN$沿$PN$折叠，使顶点$M$落在点$Q$处.若$∠ DNQ = \frac{1}{3}∠ PND$，则$∠ PND$的度数为$\underline{\hspace{2em}}$.
答案
15.$60°$或$84°$
【解析】①当点Q在AB与CD之间，如图，
由折叠可得:$∠ PNM=∠ PNQ$,
$\because AB// CD$,
$\therefore ∠ BMN+∠ MND=180°$.
$\because ∠ BMN=40°$,
$\therefore ∠ MND=180°-∠ BMN=140°$.
$\because ∠ MND=∠ PNM+∠ PNQ+∠ DNQ$,$∠ PNQ=∠ PND-∠ DNQ$,$∠ DNQ=\frac{1}{3}∠ PND$,
$\therefore 140°=∠ PND-\frac{1}{3}∠ PND+∠ PND-\frac{1}{3}∠ PND+\frac{1}{3}∠ PND$,
$\therefore ∠ PND=84°$.
②当点Q在CD下方时，如图，
由折叠可得:$∠ PNM=∠ PNQ$,
$\because AB// CD$,
$\therefore ∠ BMN+∠ MND=180°$.
$\because ∠ BMN=40°$,
$\therefore ∠ MND=180°-∠ BMN=140°$.
$\because ∠ PNM=∠ DNM-∠ PND=140°-∠ PND$,$∠ PNQ=∠ PND+∠ DNQ$,$∠ DNQ=\frac{1}{3}∠ PND$,
$\therefore 140°-∠ PND=∠ PND+\frac{1}{3}∠ PND$,
$\therefore ∠ PND=60°$.
综上所述:$∠ PND$的度数为$60°$或$84°$.
故填:$60°$或$84°$.
解析
15.$60°$或$84°$
【解析】①当点Q在AB与CD之间，如图，
由折叠可得:$∠ PNM=∠ PNQ$,
$\because AB// CD$,
$\therefore ∠ BMN+∠ MND=180°$.
$\because ∠ BMN=40°$,
$\therefore ∠ MND=180°-∠ BMN=140°$.
$\because ∠ MND=∠ PNM+∠ PNQ+∠ DNQ$,$∠ PNQ=∠ PND-∠ DNQ$,$∠ DNQ=\frac{1}{3}∠ PND$,
$\therefore 140°=∠ PND-\frac{1}{3}∠ PND+∠ PND-\frac{1}{3}∠ PND+\frac{1}{3}∠ PND$,
$\therefore ∠ PND=84°$.
②当点Q在CD下方时，如图，
由折叠可得:$∠ PNM=∠ PNQ$,
$\because AB// CD$,
$\therefore ∠ BMN+∠ MND=180°$.
$\because ∠ BMN=40°$,
$\therefore ∠ MND=180°-∠ BMN=140°$.
$\because ∠ PNM=∠ DNM-∠ PND=140°-∠ PND$,$∠ PNQ=∠ PND+∠ DNQ$,$∠ DNQ=\frac{1}{3}∠ PND$,
$\therefore 140°-∠ PND=∠ PND+\frac{1}{3}∠ PND$,
$\therefore ∠ PND=60°$.
综上所述:$∠ PND$的度数为$60°$或$84°$.
故填:$60°$或$84°$.
【解析】①当点Q在AB与CD之间，如图，
由折叠可得:$∠ PNM=∠ PNQ$,
$\because AB// CD$,
$\therefore ∠ BMN+∠ MND=180°$.
$\because ∠ BMN=40°$,
$\therefore ∠ MND=180°-∠ BMN=140°$.
$\because ∠ MND=∠ PNM+∠ PNQ+∠ DNQ$,$∠ PNQ=∠ PND-∠ DNQ$,$∠ DNQ=\frac{1}{3}∠ PND$,
$\therefore 140°=∠ PND-\frac{1}{3}∠ PND+∠ PND-\frac{1}{3}∠ PND+\frac{1}{3}∠ PND$,
$\therefore ∠ PND=84°$.
②当点Q在CD下方时，如图，
由折叠可得:$∠ PNM=∠ PNQ$,
$\because AB// CD$,
$\therefore ∠ BMN+∠ MND=180°$.
$\because ∠ BMN=40°$,
$\therefore ∠ MND=180°-∠ BMN=140°$.
$\because ∠ PNM=∠ DNM-∠ PND=140°-∠ PND$,$∠ PNQ=∠ PND+∠ DNQ$,$∠ DNQ=\frac{1}{3}∠ PND$,
$\therefore 140°-∠ PND=∠ PND+\frac{1}{3}∠ PND$,
$\therefore ∠ PND=60°$.
综上所述:$∠ PND$的度数为$60°$或$84°$.
故填:$60°$或$84°$.
16. 已知 $ a^2(b - c) = b^2(a - c) = \frac{1}{2} $，且 $ a, b, c $ 互不相等，则 $ c^2(a + b) = \_\_\_\_\_\_ $。
答案
16.$\frac{1}{2}$
【解析】$\because a^2(b-c)=b^2(a-c)=\frac{1}{2}$,
$\therefore a^2(b-c)-b^2(a-c)=0$,
$\therefore a^2b-a^2c-ab^2+cb^2=0$,
$\therefore a^2b-ab^2-(a^2c-cb^2)=0$,
$\therefore ab(a-b)-c(a+b)(a-b)=0$,
$\therefore (a-b)(ab-ac-bc)=0$.
$\because a,b,c$ 互不相等,
$\therefore ab-ac-bc=0$,
$\therefore a^2(b-c)=a(ab-ac)=abc=\frac{1}{2}$,
$\therefore c^2(a+b)=c(ac+bc)=abc=\frac{1}{2}$.
故填:$\frac{1}{2}$.
【解析】$\because a^2(b-c)=b^2(a-c)=\frac{1}{2}$,
$\therefore a^2(b-c)-b^2(a-c)=0$,
$\therefore a^2b-a^2c-ab^2+cb^2=0$,
$\therefore a^2b-ab^2-(a^2c-cb^2)=0$,
$\therefore ab(a-b)-c(a+b)(a-b)=0$,
$\therefore (a-b)(ab-ac-bc)=0$.
$\because a,b,c$ 互不相等,
$\therefore ab-ac-bc=0$,
$\therefore a^2(b-c)=a(ab-ac)=abc=\frac{1}{2}$,
$\therefore c^2(a+b)=c(ac+bc)=abc=\frac{1}{2}$.
故填:$\frac{1}{2}$.
解析
【分析】
要解决这道题，首先观察已知的两个相等的代数式，通过作差构造等式，再对等式进行因式分解；利用a、b、c互不相等的条件，舍去因式为0的情况，得到关键关系式；最后将所求代数式转化为与已知条件相关的形式，代入计算即可。
【解析】
已知$ a^2(b - c) = b^2(a - c) = \frac{1}{2} $，两式作差得：
$ a^2(b - c) - b^2(a - c) = 0 $
展开并整理：
$ a^2b - a^2c - ab^2 + cb^2 = 0 $
分组因式分解：
$ ab(a - b) - c(a^2 - b^2) = 0 $
利用平方差公式$ a^2 - b^2=(a+b)(a-b) $，进一步分解：
$ ab(a - b) - c(a + b)(a - b) = 0 $
提取公因式$ (a - b) $得：
$ (a - b)(ab - ac - bc) = 0 $
因为$ a, b, c $互不相等，所以$ a - b ≠ 0 $，因此：
$ ab - ac - bc = 0 $，即$ ab = ac + bc $
将已知$ a^2(b - c) $变形：
$ a^2(b - c) = a(ab - ac) = abc = \frac{1}{2} $
再将所求$ c^2(a + b) $变形：
$ c^2(a + b) = c(ac + bc) = c · ab = abc = \frac{1}{2} $
【答案】
$\frac{1}{2}$
【知识点】
因式分解、代数式求值
【点评】
本题通过等式作差结合因式分解推导关键关系，将所求代数式转化为已知形式，是代数运算中利用因式分解简化求值的典型题型，需熟练掌握因式分解的方法。
【难度系数】
0.5
要解决这道题，首先观察已知的两个相等的代数式，通过作差构造等式，再对等式进行因式分解；利用a、b、c互不相等的条件，舍去因式为0的情况，得到关键关系式；最后将所求代数式转化为与已知条件相关的形式，代入计算即可。
【解析】
已知$ a^2(b - c) = b^2(a - c) = \frac{1}{2} $，两式作差得：
$ a^2(b - c) - b^2(a - c) = 0 $
展开并整理：
$ a^2b - a^2c - ab^2 + cb^2 = 0 $
分组因式分解：
$ ab(a - b) - c(a^2 - b^2) = 0 $
利用平方差公式$ a^2 - b^2=(a+b)(a-b) $，进一步分解：
$ ab(a - b) - c(a + b)(a - b) = 0 $
提取公因式$ (a - b) $得：
$ (a - b)(ab - ac - bc) = 0 $
因为$ a, b, c $互不相等，所以$ a - b ≠ 0 $，因此：
$ ab - ac - bc = 0 $，即$ ab = ac + bc $
将已知$ a^2(b - c) $变形：
$ a^2(b - c) = a(ab - ac) = abc = \frac{1}{2} $
再将所求$ c^2(a + b) $变形：
$ c^2(a + b) = c(ac + bc) = c · ab = abc = \frac{1}{2} $
【答案】
$\frac{1}{2}$
【知识点】
因式分解、代数式求值
【点评】
本题通过等式作差结合因式分解推导关键关系，将所求代数式转化为已知形式，是代数运算中利用因式分解简化求值的典型题型，需熟练掌握因式分解的方法。
【难度系数】
0.5
17. 计算:
(1)$(-2)^{2}+(π-\sqrt {2})^{0}$.
(2)$(x+1)^{2}-(x-1)(x+1)$.
(1)$(-2)^{2}+(π-\sqrt {2})^{0}$.
(2)$(x+1)^{2}-(x-1)(x+1)$.
答案
17.(1)解:原式$=4+1$
$=5$.
(2)解:原式$=x^2+2x+1-(x^2-1)$
$=x^2+2x+1-x^2+1$
$=2x+2$.
$=5$.
(2)解:原式$=x^2+2x+1-(x^2-1)$
$=x^2+2x+1-x^2+1$
$=2x+2$.
解析
【分析】
本题包含两小问，第(1)问考查有理数的乘方与零指数幂的运算，需先分别计算乘方和零指数幂，再求和；第(2)问考查整式的运算，需运用完全平方公式和平方差公式展开式子，再去括号合并同类项。
【解析】
(1) 计算乘方与零指数幂：
$(-2)^2 = 4$，根据零指数幂的定义，非零数的零次幂为1，故$(π - \sqrt{2})^0 = 1$，
因此原式$= 4 + 1 = 5$。
(2) 利用公式展开并化简：
根据完全平方公式$(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$，得$(x+1)^2 = x^2 + 2x + 1$；
根据平方差公式$(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$，得$(x-1)(x+1) = x^2 - 1$；
去括号合并同类项：
原式$= x^2 + 2x + 1 - (x^2 - 1) = x^2 + 2x + 1 - x^2 + 1 = 2x + 2$。
【答案】
(1) $5$；(2) $2x + 2$
【知识点】
零指数幂、完全平方公式、平方差公式
【点评】
本题为初中代数基础计算题，主要考查零指数幂、乘方运算及整式的乘法公式与加减运算，需熟练掌握基本运算法则和公式，属于核心基础题型，难度较低。
【难度系数】
0.8
本题包含两小问，第(1)问考查有理数的乘方与零指数幂的运算，需先分别计算乘方和零指数幂，再求和；第(2)问考查整式的运算，需运用完全平方公式和平方差公式展开式子，再去括号合并同类项。
【解析】
(1) 计算乘方与零指数幂：
$(-2)^2 = 4$，根据零指数幂的定义，非零数的零次幂为1，故$(π - \sqrt{2})^0 = 1$，
因此原式$= 4 + 1 = 5$。
(2) 利用公式展开并化简：
根据完全平方公式$(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$，得$(x+1)^2 = x^2 + 2x + 1$；
根据平方差公式$(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$，得$(x-1)(x+1) = x^2 - 1$；
去括号合并同类项：
原式$= x^2 + 2x + 1 - (x^2 - 1) = x^2 + 2x + 1 - x^2 + 1 = 2x + 2$。
【答案】
(1) $5$；(2) $2x + 2$
【知识点】
零指数幂、完全平方公式、平方差公式
【点评】
本题为初中代数基础计算题，主要考查零指数幂、乘方运算及整式的乘法公式与加减运算，需熟练掌握基本运算法则和公式，属于核心基础题型，难度较低。
【难度系数】
0.8
