登录
18. 因式分解：
(1)$4x^2 - 9$.
(2)$4ab + 4a^2b + b$.
(1)$4x^2 - 9$.
(2)$4ab + 4a^2b + b$.
答案
18.(1)解:原式$=(2x+3)(2x-3)$.
(2)解:原式$=b(4a+4a^2+1)$
$=b(2a+1)^2$.
(2)解:原式$=b(4a+4a^2+1)$
$=b(2a+1)^2$.
解析
【分析】因式分解的基本思路是先提取公因式，再运用公式法分解。第(1)题是两项式，符合平方差公式的结构特征；第(2)题先提取公因式，剩余多项式符合完全平方公式的结构特征，再用公式分解即可。
【解析】
(1) 原式$=(2x)^2 - 3^2$，根据平方差公式$a^2 - b^2=(a+b)(a-b)$，可得原式$=(2x+3)(2x-3)$；
(2) 先提取公因式$b$，原式$=b(4a^2 + 4a + 1)$，剩余多项式$4a^2 +4a +1=(2a)^2 + 2×2a×1 +1^2$，根据完全平方公式$a^2 +2ab +b^2=(a+b)^2$，可得$4a^2 +4a +1=(2a+1)^2$，因此原式$=b(2a+1)^2$。
【答案】(1)$(2x+3)(2x-3)$；(2)$b(2a+1)^2$
【知识点】因式分解、平方差公式、完全平方公式
【点评】本题考查因式分解的基本方法，属于基础题型，需熟练掌握提公因式法和公式法，是初中代数的核心基础内容，难度较低。
【难度系数】0.8
【解析】
(1) 原式$=(2x)^2 - 3^2$，根据平方差公式$a^2 - b^2=(a+b)(a-b)$，可得原式$=(2x+3)(2x-3)$；
(2) 先提取公因式$b$，原式$=b(4a^2 + 4a + 1)$，剩余多项式$4a^2 +4a +1=(2a)^2 + 2×2a×1 +1^2$，根据完全平方公式$a^2 +2ab +b^2=(a+b)^2$，可得$4a^2 +4a +1=(2a+1)^2$，因此原式$=b(2a+1)^2$。
【答案】(1)$(2x+3)(2x-3)$；(2)$b(2a+1)^2$
【知识点】因式分解、平方差公式、完全平方公式
【点评】本题考查因式分解的基本方法，属于基础题型，需熟练掌握提公因式法和公式法，是初中代数的核心基础内容，难度较低。
【难度系数】0.8
19. 解方程(组):
(1)$\begin{cases}x = y + 1, \\3x - 2y = 6.\end{cases}$
(2)$\dfrac{2 - x}{x - 4} = \dfrac{1}{4 - x} - 2.$
(1)$\begin{cases}x = y + 1, \\3x - 2y = 6.\end{cases}$
(2)$\dfrac{2 - x}{x - 4} = \dfrac{1}{4 - x} - 2.$
答案
19.(1)解:$\begin{cases}x=y+1,①\\3x-2y=6.②\end{cases}$
将①代入②,得$3(y+1)-2y=6$,
解得$y=3$.
将$y=3$代入①,得$x=4$.
$\therefore$ 原方程组的解是$\begin{cases}x=4,\\y=3.\end{cases}$
(2)解:原方程可转化为$\frac{2-x}{x-4}+\frac{1}{x-4}=-2$,
去分母,得$2-x+1=-2(x-4)$.
解得$x=5$.
经检验:$x=5$是原方程的解.
$\therefore$ 原方程的解是$x=5$.
将①代入②,得$3(y+1)-2y=6$,
解得$y=3$.
将$y=3$代入①,得$x=4$.
$\therefore$ 原方程组的解是$\begin{cases}x=4,\\y=3.\end{cases}$
(2)解:原方程可转化为$\frac{2-x}{x-4}+\frac{1}{x-4}=-2$,
去分母,得$2-x+1=-2(x-4)$.
解得$x=5$.
经检验:$x=5$是原方程的解.
$\therefore$ 原方程的解是$x=5$.
解析
【分析】
第(1)问是二元一次方程组，观察到第一个方程已将x用含y的式子表示，适合用代入消元法，将x=y+1代入第二个方程求出y，再回代求x；第(2)问是分式方程，先利用分式性质将分母化为同分母，再去分母转化为整式方程求解，最后必须检验解是否使原分母不为0，排除增根。
【解析】
(1) 解方程组：
$\begin{cases}x=y+1,①\\3x-2y=6.②\end{cases}$
将①代入②，得$3(y+1)-2y=6$，
解得$y=3$。
把$y=3$代入①，得$x=3+1=4$。
∴ 原方程组的解是$\begin{cases}x=4\\y=3\end{cases}$。
(2) 解分式方程：
原方程$\dfrac{2 - x}{x - 4} = \dfrac{1}{4 - x} - 2$，
转化为同分母形式：$\dfrac{2 - x}{x - 4} + \dfrac{1}{x - 4} = -2$，
去分母得：$2 - x + 1 = -2(x - 4)$，
解得$x=5$。
经检验：当$x=5$时，$x-4=1≠0$，所以$x=5$是原方程的解。
∴ 原方程的解是$x=5$。
【答案】
(1) $\begin{cases}x=4\\y=3\end{cases}$；(2) $x=5$
【知识点】
二元一次方程组解法、分式方程解法、增根检验
【点评】
本题考查初中数学基础的解方程（组），代入消元法是解二元一次方程组的常用方法，分式方程需注意转化分母和检验增根，属于核心基础题型，难度适中。
【难度系数】
0.6
第(1)问是二元一次方程组，观察到第一个方程已将x用含y的式子表示，适合用代入消元法，将x=y+1代入第二个方程求出y，再回代求x；第(2)问是分式方程，先利用分式性质将分母化为同分母，再去分母转化为整式方程求解，最后必须检验解是否使原分母不为0，排除增根。
【解析】
(1) 解方程组：
$\begin{cases}x=y+1,①\\3x-2y=6.②\end{cases}$
将①代入②，得$3(y+1)-2y=6$，
解得$y=3$。
把$y=3$代入①，得$x=3+1=4$。
∴ 原方程组的解是$\begin{cases}x=4\\y=3\end{cases}$。
(2) 解分式方程：
原方程$\dfrac{2 - x}{x - 4} = \dfrac{1}{4 - x} - 2$，
转化为同分母形式：$\dfrac{2 - x}{x - 4} + \dfrac{1}{x - 4} = -2$，
去分母得：$2 - x + 1 = -2(x - 4)$，
解得$x=5$。
经检验：当$x=5$时，$x-4=1≠0$，所以$x=5$是原方程的解。
∴ 原方程的解是$x=5$。
【答案】
(1) $\begin{cases}x=4\\y=3\end{cases}$；(2) $x=5$
【知识点】
二元一次方程组解法、分式方程解法、增根检验
【点评】
本题考查初中数学基础的解方程（组），代入消元法是解二元一次方程组的常用方法，分式方程需注意转化分母和检验增根，属于核心基础题型，难度适中。
【难度系数】
0.6
20. 先化简：$\frac{x}{x+1} - \frac{2x+6}{x^2 - 1} ÷ \frac{x+3}{x^2 - 2x + 1}$，并在$x=-3,-1,1,2$中选择一个合适的值代入求值.
答案
20.解:原式$=\frac{x}{x+1}-\frac{2(x+3)}{(x+1)(x-1)}×\frac{(x-1)^2}{x+3}$
$=\frac{x}{x+1}-\frac{2(x-1)}{x+1}$
$=\frac{2-x}{x+1}$.
$\because x≠\pm1$且$x≠-3$,
$\therefore$ 当$x=2$时,原式$=\frac{2-2}{2+1}=0$.
$=\frac{x}{x+1}-\frac{2(x-1)}{x+1}$
$=\frac{2-x}{x+1}$.
$\because x≠\pm1$且$x≠-3$,
$\therefore$ 当$x=2$时,原式$=\frac{2-2}{2+1}=0$.
解析
【分析】
本题为分式的化简求值题，解题思路如下：①遵循分式混合运算顺序，先算除法，将除法转化为乘法；②对各分式的分子、分母因式分解，通过约分简化运算；③计算减法，通分后合并同类项得到最简结果；④根据分式有意义的条件（分母不为0、除式分子不为0），从给定的x值中选取合适的数代入最简式求值。
【解析】
原式$=\frac{x}{x+1}-\frac{2(x+3)}{(x+1)(x-1)}×\frac{(x-1)^2}{x+3}$（除法转乘法，因式分解）
$=\frac{x}{x+1}-\frac{2(x-1)}{x+1}$（约分：约去$x+3$和$x-1$）
$=\frac{x - 2(x - 1)}{x+1}$（通分，分母统一为$x+1$）
$=\frac{x - 2x + 2}{x+1}$
$=\frac{2 - x}{x+1}$
要使原式有意义，需满足$x≠±1$且$x≠-3$，因此只能选$x=2$。
当$x=2$时，原式$=\frac{2 - 2}{2 + 1}=0$
【答案】
化简结果为$\frac{2 - x}{x+1}$；当$x=2$时，值为0
【知识点】
分式混合运算；分式化简求值
【点评】
本题考查分式的化简求值，核心是掌握分式运算法则，运算中需先因式分解再约分，同时要注意根据分式有意义的条件选取合适的x值，避免出现分母为0的错误。
【难度系数】
0.6
本题为分式的化简求值题，解题思路如下：①遵循分式混合运算顺序，先算除法，将除法转化为乘法；②对各分式的分子、分母因式分解，通过约分简化运算；③计算减法，通分后合并同类项得到最简结果；④根据分式有意义的条件（分母不为0、除式分子不为0），从给定的x值中选取合适的数代入最简式求值。
【解析】
原式$=\frac{x}{x+1}-\frac{2(x+3)}{(x+1)(x-1)}×\frac{(x-1)^2}{x+3}$（除法转乘法，因式分解）
$=\frac{x}{x+1}-\frac{2(x-1)}{x+1}$（约分：约去$x+3$和$x-1$）
$=\frac{x - 2(x - 1)}{x+1}$（通分，分母统一为$x+1$）
$=\frac{x - 2x + 2}{x+1}$
$=\frac{2 - x}{x+1}$
要使原式有意义，需满足$x≠±1$且$x≠-3$，因此只能选$x=2$。
当$x=2$时，原式$=\frac{2 - 2}{2 + 1}=0$
【答案】
化简结果为$\frac{2 - x}{x+1}$；当$x=2$时，值为0
【知识点】
分式混合运算；分式化简求值
【点评】
本题考查分式的化简求值，核心是掌握分式运算法则，运算中需先因式分解再约分，同时要注意根据分式有意义的条件选取合适的x值，避免出现分母为0的错误。
【难度系数】
0.6
