18. 如图，点A，D，C，F在同一直线上，$△ ABC ≌ △ DEF$，AC和DF是对应边，$∠ A$与$∠ EDC$是对应角，$∠ A=80°$，$∠ ACB=50°$，求$∠ F$，$∠ E$的度数.

18. $\because △ ABC≌△ DEF,\therefore ∠ F=∠ ACB=50°,$
$\therefore ∠ E=∠ B=180°-∠ A-∠ ACB=180°-80°-50°=50°.$

【分析】
解题时先从已知的三角形全等条件入手，回忆全等三角形的性质：全等三角形的对应角相等。首先求∠F：∠F和∠ACB是全等三角形的对应角，可直接利用对应角相等得到∠F的度数；再求∠E：∠E的对应角是△ABC中的∠B，因此先利用三角形内角和为180°，在△ABC中计算出∠B的度数，再根据对应角相等就能得到∠E的度数。
【解析】
$\because △ ABC≌△ DEF$，根据全等三角形对应角相等的性质，
$\therefore ∠ F=∠ ACB=50°$，且$∠ E=∠ B$。
在$△ ABC$中，由三角形内角和为$180°$可得：
$∠ B=180°-∠ A-∠ ACB=180°-80°-50°=50°$，
$\therefore ∠ E=∠ B=50°$。
【答案】
$∠ F=50°$，$∠ E=50°$
【知识点】
全等三角形的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题属于基础类题目，解题的关键是准确找到全等三角形的对应角，结合三角形内角和定理即可快速求解，解题时注意不要混淆对应角的对应关系即可。
【难度系数】
0.8

19.如图，P是∠AOB外的一点，点Q与P关于OA对称，点R与P关于OB对称，直线QR分别交OA，OB于点M，N，若PM=PN=4，MN=5.
(1)求线段QM，QN的长；
(2)求线段QR的长.

19. (1)$\because P,Q$关于OA对称，
$\therefore OA$垂直平分线段$PQ$,$QM=PM=4.$
$\because MN=5,\therefore QN=MN-MQ=5-4=1.$
(2)$\because P,R$关于OB对称，
$\therefore OB$垂直平分线段$PR$,$\therefore NR=PN=4,$
$\therefore QR=QN+NR=1+4=5.$

【分析】
解决本题的核心是运用轴对称的性质分析线段关系：若两个点关于某条直线对称，那么这条直线是两点连线的垂直平分线，垂直平分线上的点到两个对应点的距离相等。
对于(1)，M在OA上，OA是P、Q的对称轴，因此QM和PM长度相等，代入已知PM的长度即可求出QM；再观察线段MN由QM和QN组成，用MN的长度减去QM的长度就能得到QN的长。
对于(2)，N在OB上，OB是P、R的对称轴，因此NR和PN长度相等，而QR由QN和NR组成，将两段长度相加即可求出QR的长。
【解析】
(1)
∵点Q与P关于OA对称，
∴OA垂直平分线段PQ，
∵点M在OA上，
∴$QM=PM=4$，
又
∵$MN=5$，
∴$QN=MN-QM=5-4=1$。
(2)
∵点R与P关于OB对称，
∴OB垂直平分线段PR，
∵点N在OB上，
∴$NR=PN=4$，
∴$QR=QN+NR=1+4=5$。
【答案】
(1) $QM=4$，$QN=1$；(2) $QR=5$
【知识点】
轴对称的性质；线段垂直平分线的性质；线段和差计算
【点评】
本题属于几何基础应用题，解题关键是利用轴对称的性质转化相等线段，再结合线段的和差关系求解，能够有效考查学生对基础几何性质的应用能力。
【难度系数】
0.8

20. 在一个支架的横杆点O处用一根绳悬挂一个小球A，小球A可以摆动，如图(1)，OA表示小球静止时的位置.当小球从OA摆到OB的位置时，如图(2)，过点B作BD⊥OA于点D，当小球摆到OC的位置时，OB与OC恰好垂直，过点C作CE⊥OA于点E，测得CE=24 cm，OA=OB=OC=30 cm.
(1)试说明OE=BD；
(2)求AD的长.

20. (1)$\because OB⊥ OC,\therefore ∠ BOD+∠ COE=90°.$
又$CE⊥ OA,BD⊥ OA,$
$\therefore ∠ CEO=∠ ODB=90°,$
$\therefore ∠ BOD+∠ B=90°,$
$\therefore ∠ COE=∠ B.$
在$△ COE$和$△ OBD$中,$\begin{cases} ∠ CEO=∠ ODB,\\ ∠ COE=∠ B,\\ CO=OB, \end{cases}$
$\therefore △ COE≌△ OBD(\mathrm{AAS}),\therefore OE=BD.$
(2)由(1),得$△ COE≌△ OBD,$
$\therefore CE=OD=24\ \mathrm{cm}.$
$\because OA=30\ \mathrm{cm},$
$\therefore AD=OA-OD=30-24=6(\mathrm{cm}).$

【分析】
(1) 要证明线段OE=BD，可通过证明两条线段所在的三角形全等求解。已知OB与OC垂直，BD、CE都垂直于OA，可得两个直角相等，再利用同角的余角相等推出一组对应角相等，结合已知OC=OB的条件，即可用AAS判定△COE和△OBD全等，进而得到OE=BD。
(2) 由(1)的全等结论可得对应边CE=OD，已知OA和CE的长度，用OA的长度减去OD的长度即可求出AD的长。
【解析】
(1) $\because OB⊥OC,\therefore ∠BOD+∠COE=90°.$
又$\because CE⊥OA,BD⊥OA,$
$\therefore ∠CEO=∠ODB=90°,$
$\therefore ∠BOD+∠B=90°,$
$\therefore ∠COE=∠B.$
在$△ COE$和$△ OBD$中,
$\begin{cases} ∠CEO=∠ODB,\\ ∠COE=∠B,\\ CO=OB, \end{cases}$
$\therefore △ COE≌△ OBD(\mathrm{AAS}),\therefore OE=BD.$
(2) 由(1)得$△ COE≌△ OBD,$
$\therefore CE=OD=24\ \mathrm{cm}.$
$\because OA=30\ \mathrm{cm},$
$\therefore AD=OA-OD=30-24=6(\mathrm{cm}).$
【答案】
(1) 证明如上，OE=BD成立；
(2) $AD=6\ \mathrm{cm}$
【知识点】
全等三角形的判定与性质，余角的性质，垂直的定义
【点评】
本题结合生活中小球摆动的实际场景，考查全等三角形的判定及性质的应用，解题关键是从实际图形中提取全等三角形模型，利用对应边相等求解线段长度，是几何知识解决实际问题的典型题型。
【难度系数】
0.75