21. 如图,点 C 为线段 AB 上一点,分别以 AC,BC 为底边,在 AB 的同侧作等腰三角形 ACD 和等腰三角形 BCE,且∠A=∠CBE.在线段 EC 上取一点 F,使 EF=AD,连接 BF,DE.

(1)如图(1),判断 DE 与 BF 的数量关系,并说明理由;
(2)如图(2),若∠A=α,延长 BF 交 DE 于点 G,探究∠BGE 与∠GBC 的关系,并说明理由.

21. (1)$DE=BF$.理由如下：
$\because △ ACD,△ BCE$分别是以AC,BC为底边的等腰三角形，
$\therefore ∠ A=∠ DCA,AD=CD,∠ ECB=∠ CBE,CE=BE.$
$\because ∠ A=∠ CBE,$
$\therefore ∠ A=∠ ECB=∠ DCA=∠ EBC,$
$\therefore AD// CE,DC// BE,$
$\therefore ∠ ADC=∠ DCE,∠ DCE=∠ CEB.$
$\because EF=AD,AD=CD,\therefore CD=EF.$
在$△ DCE$和$△ FEB$中,$\begin{cases} CD=EF,\\ ∠ DCE=∠ FEB,\\ CE=EB, \end{cases}$
$\therefore △ DCE≌△ FEB(\mathrm{SAS}),\therefore DE=BF.$
(2)$∠ BGE=2∠ GBC$.理由如下：
由(1)可知,$∠ A=∠ ECB=∠ CBE=α$,$△ DCE≌△ FEB$,
$\therefore ∠ DEC=∠ GBE.$
$\because ∠ GBE=∠ CBE-∠ GBC=α-∠ GBC,$
$\therefore ∠ DEC=α-∠ GBC.$
$\because ∠ BGE+∠ DEC+∠ EFG=180°$,$∠ ECB+∠ GBC+∠ CFB=180°$,$∠ EFG=∠ CFB$,
$\therefore ∠ BGE+∠ DEC=∠ ECB+∠ GBC,$
$\therefore ∠ BGE+α-∠ GBC=α+∠ GBC,$
$\therefore ∠ BGE=2∠ GBC.$

【分析】
(1) 要判断DE与BF的数量关系，可通过证明两条边所在的三角形全等推导。首先利用等腰三角形等边对等角的性质，结合已知∠A=∠CBE得到多组相等的角，进而推出平行线得到对应角相等；再通过等量代换得到全等需要的等边条件，用SAS判定三角形全等，即可得到两条边的数量关系。
(2) 探究∠BGE与∠GBC的关系，可直接利用(1)中全等三角形对应角相等的结论，结合三角形内角和定理、对顶角相等的性质，通过角的等量代换即可推导出两个角的数量关系。
【解析】
(1) $DE=BF$，理由如下：
$\because △ ACD,△ BCE$分别是以AC,BC为底边的等腰三角形，
$\therefore ∠ A=∠ DCA,AD=CD,∠ ECB=∠ CBE,CE=BE$。
$\because ∠ A=∠ CBE$，
$\therefore ∠ A=∠ ECB=∠ DCA=∠ EBC$，
$\therefore AD// CE,DC// BE$，
$\therefore ∠ DCE=∠ CEB$。
$\because EF=AD,AD=CD,\therefore CD=EF$。
在$△ DCE$和$△ FEB$中，$\begin{cases} CD=EF,\\ ∠ DCE=∠ FEB,\\ CE=EB, \end{cases}$
$\therefore △ DCE≌△ FEB(\mathrm{SAS}),\therefore DE=BF$。
(2) $∠ BGE=2∠ GBC$，理由如下：
由(1)可知，$∠ A=∠ ECB=∠ CBE=α$，$△ DCE≌△ FEB$，
$\therefore ∠ DEC=∠ GBE$。
$\because ∠ GBE=∠ CBE-∠ GBC=α-∠ GBC$，
$\therefore ∠ DEC=α-∠ GBC$。
$\because ∠ BGE+∠ DEC+∠ EFG=180°$，$∠ ECB+∠ GBC+∠ CFB=180°$，$∠ EFG=∠ CFB$，
$\therefore ∠ BGE+∠ DEC=∠ ECB+∠ GBC$，
$\therefore ∠ BGE+α-∠ GBC=α+∠ GBC$，
$\therefore ∠ BGE=2∠ GBC$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{DE=BF}$；(2) $\boldsymbol{∠ BGE=2∠ GBC}$
【知识点】
等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理
【点评】
本题属于三角形综合题，结合了等腰三角形、全等三角形、角的等量代换等考点，解题核心是先通过角的关系推导全等判定条件，再利用全等的结论解决角度探究问题，能有效锻炼逻辑推理能力。
【难度系数】
0.7

22. 学完“全等三角形”一章后,老师布置了一道思考题:如图,点 M,N 分别在等边三角形 ABC 的边 BC,CA 上,且 $BM=CN$,AM,BN 交于点 Q. 求证:$∠ BQM=60°$.
(1)请你完成这道思考题.
(2)做完(1)后,同学们在老师的启发下进行了反思,提出了许多问题,如:
①若将题中“$BM=CN$”与“$∠ BQM=60°$”的位置交换,得到的是否仍是真命题?
②若将题中的点 M,N 分别移动到 BC,CA 的延长线上,是否仍能得到$∠ BQM=60°$?
③若将题中的条件“点 M,N 分别在等边三角形 ABC 的边 BC,CA 上”改为“点 M,N 分别在正方形 ABCD 的边 BC,CD 上”,是否仍能得到$∠ BQM=60°$?
请你作出判断,在下列横线上填写“是”或“否”:①;②;③.
并对②和③的判断,选择一个给出证明.

22. (1)$\because BM=CN,∠ ABM=∠ BCN=60°,AB=BC,$
$\therefore △ ABM≌△ BCN(\mathrm{SAS}).$
$\therefore ∠ BAM=∠ CBN.$
$\therefore ∠ BQM=∠ BAQ+∠ ABQ=∠ MBQ+∠ ABQ=∠ ABM=60°.$
(2)①是 ②是 ③否
②的证明如下：

如图(1),$\because BM=CN,BC=AC,$
$\therefore CM=AN.$
又$∠ ACM=∠ BAN=120°,AC=BA,$
$\therefore △ ACM≌△ BAN(\mathrm{SAS}).$
$\therefore ∠ AMC=∠ BNA.$
$\therefore ∠ BQM=∠ BNA+∠ NAQ=∠ AMC+∠ CAM=∠ ACB=60°.$
③的证明如下：
如图(2),$\because BM=CN,∠ ABM=∠ BCN=90°,AB=BC,\therefore \mathrm{Rt}△ ABM≌\mathrm{Rt}△ BCN(\mathrm{SAS}).$
$\therefore ∠ AMB=∠ BNC.$
又$∠ NBM+∠ BNC=90°,$
$\therefore ∠ QBM+∠ QMB=90°.$
$\therefore ∠ BQM=90°$,即$∠ BQM≠60°.$

【分析】
(1)要证∠BQM=60°，首先利用等边三角形三边相等、内角为60°的性质，结合已知BM=CN，可先证明△ABM≌△BCN，得到对应角∠BAM=∠CBN；再根据三角形外角的性质，将∠BQM转化为∠ABM即可得出结论。
(2)①交换条件后，可由∠BQM=60°反推得到角相等，进而证明△ABM≌△BCN，推出BM=CN，故为真命题；②当点在延长线上时，先推导得到CM=AN，结合120°的夹角证明△ACM≌△BAN，再通过角的等量代换可证∠BQM=60°，故成立；③换成正方形背景时，证全等后可推导得到∠BQM=90°，不等于60°，故不成立。
【解析】
(1)证明：
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC，∠ABM=∠BCN=60°，
在△ABM和△BCN中，
$\begin{cases} AB=BC \\ ∠ ABM=∠ BCN \\ BM=CN \end{cases}$
∴△ABM≌△BCN（SAS），
∴∠BAM=∠CBN。
∵∠BQM是△ABQ的外角，
∴∠BQM=∠BAQ+∠ABQ=∠CBN+∠ABQ=∠ABM=60°。
(2)判断：①是；②是；③否。
选②证明：
如图(1)，
∵△ABC是等边三角形，
∴BC=AC，∠ACB=∠BAC=60°，
∴∠ACM=∠BAN=180°-60°=120°，
∵BM=CN，
∴BM-BC=CN-AC，即CM=AN，
在△ACM和△BAN中，
$\begin{cases} AC=BA \\ ∠ ACM=∠ BAN \\ CM=AN \end{cases}$
∴△ACM≌△BAN（SAS），
∴∠AMC=∠BNA，
∴∠BQM=∠BNA+∠NAQ=∠AMC+∠CAM=∠ACB=60°。
（若选③证明：
如图(2)，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC，∠ABM=∠BCN=90°，
在△ABM和△BCN中，
$\begin{cases} AB=BC \\ ∠ ABM=∠ BCN \\ BM=CN \end{cases}$
∴Rt△ABM≌Rt△BCN（SAS），
∴∠AMB=∠BNC，
∵∠NBM+∠BNC=90°，
∴∠QBM+∠QMB=90°，
∴∠BQM=90°≠60°。）
【答案】
(1)$\because BM=CN,∠ ABM=∠ BCN=60°,AB=BC,$
$\therefore △ ABM≌△ BCN(\mathrm{SAS}).$
$\therefore ∠ BAM=∠ CBN.$
$\therefore ∠ BQM=∠ BAQ+∠ ABQ=∠ MBQ+∠ ABQ=∠ ABM=60°.$
(2)①是 ②是 ③否
②的证明如下：

如图(1),$\because BM=CN,BC=AC,$
$\therefore CM=AN.$
又$∠ ACM=∠ BAN=120°,AC=BA,$
$\therefore △ ACM≌△ BAN(\mathrm{SAS}).$
$\therefore ∠ AMC=∠ BNA.$
$\therefore ∠ BQM=∠ BNA+∠ NAQ=∠ AMC+∠ CAM=∠ ACB=60°.$
③的证明如下：
如图(2),$\because BM=CN,∠ ABM=∠ BCN=90°,AB=BC,\therefore \mathrm{Rt}△ ABM≌\mathrm{Rt}△ BCN(\mathrm{SAS}).$
$\therefore ∠ AMB=∠ BNC.$
又$∠ NBM+∠ BNC=90°,$
$\therefore ∠ QBM+∠ QMB=90°.$
$\therefore ∠ BQM=90°$,即$∠ BQM≠60°.$
【知识点】
全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质；三角形外角的性质
【点评】
本题是典型的几何探究题，通过改变条件位置、变换图形背景的形式，考查全等三角形的证明、角的等量代换能力，需要熟练掌握特殊三角形、特殊四边形的性质，灵活运用三角形外角性质进行角度转化，对逻辑推理能力有一定要求。
【难度系数】
0.6