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24.(真题·金华兰溪)一些小麦,堆成底面周长是12.56米,高1.5米的圆锥形。每立方米的小麦重0.8吨。这些小麦大约有多重?(圆周率取3.14)(10分)
答案
24. $3.14×(12.56÷3.14÷2)^2×1.5×\frac{1}{3}=6.28$(立方米)
$6.28×0.8=5.024$(吨) 答:这些小麦大约有5.024吨重。
$6.28×0.8=5.024$(吨) 答:这些小麦大约有5.024吨重。
解析
【分析】要计算小麦的总重量，需先求出圆锥形小麦堆的体积，再结合每立方米小麦的重量计算总重量。解题步骤为：1. 根据底面周长求出圆锥底面半径；2. 计算圆锥的底面积；3. 代入圆锥体积公式算出小麦堆体积；4. 用体积乘每立方米小麦的重量，得到总重量。
【解析】解：① 求圆锥底面半径：
由圆的周长公式$C=2π r$，得$r=C÷π÷2=12.56÷3.14÷2=2$（米）
② 求圆锥底面积：
$S=π r^2=3.14×2^2=12.56$（平方米）
③ 求圆锥体积：
圆锥体积公式为$V=\frac{1}{3}Sh$，代入数据得$V=\frac{1}{3}×12.56×1.5=6.28$（立方米）
④ 求小麦总重量：
总重量$=6.28×0.8=5.024$（吨）
【答案】5.024吨
【知识点】圆锥体积计算、圆的周长计算、小数乘法
【点评】本题是圆锥体积在实际生活中的典型应用，核心是掌握圆锥体积公式，解题时需注意圆锥体积要乘$\frac{1}{3}$，属于基础应用题，难度适中。
【难度系数】0.6
【解析】解：① 求圆锥底面半径：
由圆的周长公式$C=2π r$，得$r=C÷π÷2=12.56÷3.14÷2=2$（米）
② 求圆锥底面积：
$S=π r^2=3.14×2^2=12.56$（平方米）
③ 求圆锥体积：
圆锥体积公式为$V=\frac{1}{3}Sh$，代入数据得$V=\frac{1}{3}×12.56×1.5=6.28$（立方米）
④ 求小麦总重量：
总重量$=6.28×0.8=5.024$（吨）
【答案】5.024吨
【知识点】圆锥体积计算、圆的周长计算、小数乘法
【点评】本题是圆锥体积在实际生活中的典型应用，核心是掌握圆锥体积公式，解题时需注意圆锥体积要乘$\frac{1}{3}$，属于基础应用题，难度适中。
【难度系数】0.6
25.(真题·衢州衢江、常山)学校有一个长 7.85m,宽 3m,深 40cm的跳远沙坑,里面的沙土厚 20cm。现将一堆底面直径 3m,高1.2m 的圆锥形沙土倒入跳远沙坑,铺平后沙土厚度增加了多少？(10 分)
答案
25. $3.14×(3÷2)^2×1.2×\frac{1}{3}÷(7.85×3)=0.12(\mathrm{m})$
$0.12\mathrm{m}=12\mathrm{cm}$ 答:铺平后沙土厚度增加了12cm。
$0.12\mathrm{m}=12\mathrm{cm}$ 答:铺平后沙土厚度增加了12cm。
解析
【分析】要解决这个问题，核心是利用体积的等积变形：圆锥形沙土的体积等于铺在跳远沙坑中增加部分的沙土体积。首先计算圆锥形沙土的体积，再计算跳远沙坑的底面积，最后用圆锥体积除以沙坑底面积，即可得到沙土厚度增加的数值，注意单位转换。
【解析】
1. 计算圆锥形沙土的体积：
圆锥体积公式为 $ V = \frac{1}{3}π r^2 h $，已知圆锥底面直径3m，半径 $ r = 3÷2 = 1.5m $，高 $ h = 1.2m $，代入得：
$ V = \frac{1}{3}×3.14×(1.5)^2×1.2 = 2.826 \, \mathrm{m}^3 $
2. 计算跳远沙坑的底面积：
沙坑为长方体，底面积 $ S = 长×宽 = 7.85×3 = 23.55 \, \mathrm{m}^2 $
3. 计算沙土厚度增加的数值：
增加的厚度 $ h' = V÷S = 2.826÷23.55 = 0.12 \, \mathrm{m} = 12 \, \mathrm{cm} $
【答案】铺平后沙土厚度增加了12cm。
【知识点】圆锥体积计算、长方体体积计算、体积等积变形
【点评】本题结合实际场景考查圆锥与长方体体积公式的应用，关键是理解“圆锥体积等于沙坑中增加部分的体积”这一等积关系，计算过程需注意公式的正确运用和单位转换，属于中等难度的几何应用题。
【难度系数】0.5
【解析】
1. 计算圆锥形沙土的体积：
圆锥体积公式为 $ V = \frac{1}{3}π r^2 h $，已知圆锥底面直径3m，半径 $ r = 3÷2 = 1.5m $，高 $ h = 1.2m $，代入得：
$ V = \frac{1}{3}×3.14×(1.5)^2×1.2 = 2.826 \, \mathrm{m}^3 $
2. 计算跳远沙坑的底面积：
沙坑为长方体，底面积 $ S = 长×宽 = 7.85×3 = 23.55 \, \mathrm{m}^2 $
3. 计算沙土厚度增加的数值：
增加的厚度 $ h' = V÷S = 2.826÷23.55 = 0.12 \, \mathrm{m} = 12 \, \mathrm{cm} $
【答案】铺平后沙土厚度增加了12cm。
【知识点】圆锥体积计算、长方体体积计算、体积等积变形
【点评】本题结合实际场景考查圆锥与长方体体积公式的应用，关键是理解“圆锥体积等于沙坑中增加部分的体积”这一等积关系，计算过程需注意公式的正确运用和单位转换，属于中等难度的几何应用题。
【难度系数】0.5
26.(真题·丽水龙泉)下图是生活中常用的卷筒卫生纸,从卫生纸的包装纸上得到以下信息:两层280段,每段13cm×10cm(长×宽),若整卷卫生纸的内外半径分别为3cm和6cm。
(1)请你计算整卷卫生纸的体积。(9分)
(2)如果将整卷卫生纸一段段撕开,堆成一个长方体,这个长方体的高是多少厘米?(结果保留一位小数)(10分)
(1)请你计算整卷卫生纸的体积。(9分)
(2)如果将整卷卫生纸一段段撕开,堆成一个长方体,这个长方体的高是多少厘米?(结果保留一位小数)(10分)
答案
26. (1)$3.14×(6^2-3^2)×10=847.8(\mathrm{cm}^3)$ 答:整卷卫生纸的体积是$847.8\mathrm{cm}^3$。
(2)$847.8÷(13×10)\approx6.5(\mathrm{cm})$ 答这个长方体的高约是6.5cm。
(2)$847.8÷(13×10)\approx6.5(\mathrm{cm})$ 答这个长方体的高约是6.5cm。
解析
【分析】
第(1)问：整卷卫生纸的形状是空心圆柱，其体积等于外圆柱体积减去内部空心圆柱的体积，圆柱体积公式为$V=π R^2 h$，这里的$h$是卫生纸的宽度10cm，代入外半径6cm、内半径3cm即可计算。
第(2)问：将整卷卫生纸撕开堆成长方体时，体积保持不变，长方体体积公式为$V=长×宽×高$，已知长方体的长、宽对应每段卫生纸的长13cm、宽10cm，因此用整卷卫生纸的体积除以$13×10$就能得到长方体的高。
【解析】
(1) 整卷卫生纸的体积为外圆柱体积减去内圆柱体积：
$\begin{aligned}V&=3.14×(6^2 - 3^2)×10\\&=3.14×(36 - 9)×10\\&=3.14×27×10\\&=847.8(\mathrm{cm}^3)\end{aligned}$
(2) 由于体积不变，长方体的高为：
$847.8÷(13×10)=847.8÷130≈6.5(\mathrm{cm})$
【答案】
(1) 整卷卫生纸的体积是$847.8\mathrm{cm}^3$；(2) 这个长方体的高约是$6.5\mathrm{cm}$。
【知识点】
圆柱体积、长方体体积
【点评】
本题结合生活实际考查圆柱和长方体体积的应用，核心是理解“整卷卫生纸体积等于空心圆柱体积，撕开后体积不变”，利用体积不变的性质求解，难度适中。
【难度系数】
0.4
第(1)问：整卷卫生纸的形状是空心圆柱，其体积等于外圆柱体积减去内部空心圆柱的体积，圆柱体积公式为$V=π R^2 h$，这里的$h$是卫生纸的宽度10cm，代入外半径6cm、内半径3cm即可计算。
第(2)问：将整卷卫生纸撕开堆成长方体时，体积保持不变，长方体体积公式为$V=长×宽×高$，已知长方体的长、宽对应每段卫生纸的长13cm、宽10cm，因此用整卷卫生纸的体积除以$13×10$就能得到长方体的高。
【解析】
(1) 整卷卫生纸的体积为外圆柱体积减去内圆柱体积：
$\begin{aligned}V&=3.14×(6^2 - 3^2)×10\\&=3.14×(36 - 9)×10\\&=3.14×27×10\\&=847.8(\mathrm{cm}^3)\end{aligned}$
(2) 由于体积不变，长方体的高为：
$847.8÷(13×10)=847.8÷130≈6.5(\mathrm{cm})$
【答案】
(1) 整卷卫生纸的体积是$847.8\mathrm{cm}^3$；(2) 这个长方体的高约是$6.5\mathrm{cm}$。
【知识点】
圆柱体积、长方体体积
【点评】
本题结合生活实际考查圆柱和长方体体积的应用，核心是理解“整卷卫生纸体积等于空心圆柱体积，撕开后体积不变”，利用体积不变的性质求解，难度适中。
【难度系数】
0.4
