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(真题·绍兴柯桥)将一个底面半径为5厘米，深16厘米的圆柱形容器，倒入适量的水，水深为11厘米。再将一个底面半径为3厘米，高为h厘米的铁制圆锥垂直放入容器中。
(1)当$h=10$厘米时，容器的水深变为( )厘米。(4分)
(2)当$h$为多少时，铁制圆锥恰好与水面平齐？(请写出解答过程)(6分)
(1)当$h=10$厘米时，容器的水深变为( )厘米。(4分)
(2)当$h$为多少时，铁制圆锥恰好与水面平齐？(请写出解答过程)(6分)
答案
(1)12.2 解析:现水深为水和圆锥的体积和除以容器底面积，$(3.14×5^2×11+3.14×3^2×10×\frac{1}{3})÷(3.14×5^2)=12.2$(厘米)。
(2)$3.14×3×3× h×\frac{1}{3}=3.14×5^2×(h-11)$ $h=12.5$
答:当$h$为12.5厘米时,铁制圆锥恰好与水面齐平。 解析:齐平状态下,水面高度等于圆锥的高,根据进入水中物体的体积等于水上升的体积列方程解答。
(2)$3.14×3×3× h×\frac{1}{3}=3.14×5^2×(h-11)$ $h=12.5$
答:当$h$为12.5厘米时,铁制圆锥恰好与水面齐平。 解析:齐平状态下,水面高度等于圆锥的高,根据进入水中物体的体积等于水上升的体积列方程解答。
解析
【分析】
解决本题的核心是理解放入圆锥后体积的变化关系：(1)当圆锥放入圆柱容器且完全浸没时，容器内水和圆锥的总体积等于原来水的体积加圆锥体积，用总体积除以圆柱底面积可求新水深；(2)当圆锥与水面平齐时，圆锥完全浸没，圆锥体积等于水上升部分的体积，据此建立等量关系列方程求解。
【解析】
(1) 先计算原来水的体积和圆锥体积，再求总体积除以圆柱底面积得新水深：
原来水的体积：$V_{水}=3.14×5^2×11$
圆锥体积：$V_{锥}=\frac{1}{3}×3.14×3^2×10$
新水深：$(3.14×5^2×11 + \frac{1}{3}×3.14×3^2×10)÷(3.14×5^2)$
$=(3.14×275 + 3.14×30)÷(3.14×25)$
$=3.14×305÷(3.14×25)=12.2$（厘米）
(2) 设圆锥高为$h$厘米，圆锥与水面平齐时，圆锥体积等于水上升的体积，列方程：
$\frac{1}{3}×3.14×3^2×h = 3.14×5^2×(h - 11)$
两边约去$3.14$得：$3h = 25(h - 11)$
化简：$3h=25h-275$，解得$h=12.5$
【答案】
(1)12.2；(2)12.5
【知识点】
圆柱体积、圆锥体积、体积等积变形
【点评】
本题结合圆柱、圆锥体积公式考查实际应用，第一问为基础计算，第二问需建立等量关系列方程，能较好检验学生对体积变形的理解，难度适中。
【难度系数】
0.6
解决本题的核心是理解放入圆锥后体积的变化关系：(1)当圆锥放入圆柱容器且完全浸没时，容器内水和圆锥的总体积等于原来水的体积加圆锥体积，用总体积除以圆柱底面积可求新水深；(2)当圆锥与水面平齐时，圆锥完全浸没，圆锥体积等于水上升部分的体积，据此建立等量关系列方程求解。
【解析】
(1) 先计算原来水的体积和圆锥体积，再求总体积除以圆柱底面积得新水深：
原来水的体积：$V_{水}=3.14×5^2×11$
圆锥体积：$V_{锥}=\frac{1}{3}×3.14×3^2×10$
新水深：$(3.14×5^2×11 + \frac{1}{3}×3.14×3^2×10)÷(3.14×5^2)$
$=(3.14×275 + 3.14×30)÷(3.14×25)$
$=3.14×305÷(3.14×25)=12.2$（厘米）
(2) 设圆锥高为$h$厘米，圆锥与水面平齐时，圆锥体积等于水上升的体积，列方程：
$\frac{1}{3}×3.14×3^2×h = 3.14×5^2×(h - 11)$
两边约去$3.14$得：$3h = 25(h - 11)$
化简：$3h=25h-275$，解得$h=12.5$
【答案】
(1)12.2；(2)12.5
【知识点】
圆柱体积、圆锥体积、体积等积变形
【点评】
本题结合圆柱、圆锥体积公式考查实际应用，第一问为基础计算，第二问需建立等量关系列方程，能较好检验学生对体积变形的理解，难度适中。
【难度系数】
0.6
