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20.随着科技的发展,新能源汽车正逐渐成为人们喜欢的交通工具,其需求量快速增长.为满足客户需求,现某汽车销售公司计划购进一批新能源汽车尝试进行销售,据了解,1辆A型汽车和1辆B型汽车的进价共计37万元;单次购买A型汽车超过15辆每辆车进价会打九五折,单次购买B型汽车超过15辆每辆车进价优惠5000元;当购买A型和B型车各20辆时,共需支付进价715万元.
(1)求该汽车销售公司购进A,B型汽车各一辆的进价分别为多少万元?
(2)因资金紧张,该公司计划以不超过260万元购进以上两种型号的新能源汽车共15辆,每辆A型汽车在进价的基础上提高7000元销售,每辆B型汽车在进价的基础上提高6%销售.假如这些新能源汽车全部售出,至少要获利12.5万元,该公司有哪几种购进方案?哪种方案获得的利润最多,最多利润是多少?
(1)求该汽车销售公司购进A,B型汽车各一辆的进价分别为多少万元?
(2)因资金紧张,该公司计划以不超过260万元购进以上两种型号的新能源汽车共15辆,每辆A型汽车在进价的基础上提高7000元销售,每辆B型汽车在进价的基础上提高6%销售.假如这些新能源汽车全部售出,至少要获利12.5万元,该公司有哪几种购进方案?哪种方案获得的利润最多,最多利润是多少?
答案
(1)设购进A,B型汽车各一辆的进价分别为$x$万元,$y$万元,根据题意可知
$\begin{cases} x+y=37, \\ 20×0.95x+20×(y-0.5)=715, \end{cases}$
解得$\begin{cases} x=15, \\ y=22. \end{cases}$
答:购进A,B型汽车各一辆的进价分别为15万元,22万元。
(2)设购进A型汽车$m$辆,则购进B型汽车$(15-m)$辆,根据题意可得
$\begin{cases} 15m+22(15-m)≤260, \\ 0.7m+22×0.06×(15-m)≥12.5, \end{cases}$
解得$10≤ m≤11\dfrac{24}{31}$。
$\because m$为正整数,$\therefore m=10$或$m=11$,
当$m=10$时,购进B型汽车为5辆,
此时利润为$0.7×10+22×0.06×5=13.6$(万元);
当$m=11$时,购进B型汽车为4辆,
此时利润为$0.7×11+22×0.06×4=12.98$(万元)。
综上,该公司有2种购进方案,分别是购进A型汽车10辆,B型汽车5辆或购进A型汽车11辆,B型汽车4辆。购进A型汽车10辆,B型汽车5辆的方案获得的利润最多,最多利润是13.6万元。
$\begin{cases} x+y=37, \\ 20×0.95x+20×(y-0.5)=715, \end{cases}$
解得$\begin{cases} x=15, \\ y=22. \end{cases}$
答:购进A,B型汽车各一辆的进价分别为15万元,22万元。
(2)设购进A型汽车$m$辆,则购进B型汽车$(15-m)$辆,根据题意可得
$\begin{cases} 15m+22(15-m)≤260, \\ 0.7m+22×0.06×(15-m)≥12.5, \end{cases}$
解得$10≤ m≤11\dfrac{24}{31}$。
$\because m$为正整数,$\therefore m=10$或$m=11$,
当$m=10$时,购进B型汽车为5辆,
此时利润为$0.7×10+22×0.06×5=13.6$(万元);
当$m=11$时,购进B型汽车为4辆,
此时利润为$0.7×11+22×0.06×4=12.98$(万元)。
综上,该公司有2种购进方案,分别是购进A型汽车10辆,B型汽车5辆或购进A型汽车11辆,B型汽车4辆。购进A型汽车10辆,B型汽车5辆的方案获得的利润最多,最多利润是13.6万元。
解析
【分析】
(1) 第一问需求两种车型的单辆进价，属于含两个未知量的实际问题，可通过列二元一次方程组求解。首先提取两个核心等量关系：①1辆A型汽车进价+1辆B型汽车进价=37万元；②购买20辆A型汽车（超过15辆，享受九五折优惠）的总费用+购买20辆B型汽车（超过15辆，每辆优惠0.5万元）的总费用=715万元，设未知数列方程组求解即可。
(2) 第二问为方案设计与利润最优问题，已知共购进15辆汽车，可设购进A型汽车m辆，则B型汽车为(15-m)辆，提取两个不等关系：①购进两种车型的总费用不超过260万元；②全部售出后的总利润不低于12.5万元，据此列一元一次不等式组，求出m的取值范围，结合m为正整数得到所有可行方案，再分别计算各方案利润，比较得出最大利润即可。
【解析】
(1) 设购进A、B型汽车各一辆的进价分别为$x$万元，$y$万元，根据题意可得：
$\begin{cases} x+y=37, \\ 20×0.95x+20×(y-0.5)=715, \end{cases}$
化简第二个方程得$19x+20y=725$，将$y=37-x$代入得$19x+20(37-x)=725$，解得$x=15$，代入得$y=22$。
(2) 设购进A型汽车$m$辆，则购进B型汽车$(15-m)$辆，根据题意列不等式组：
$\begin{cases} 15m+22(15-m)≤260, \\ 0.7m+22×0.06×(15-m)≥12.5, \end{cases}$
解第一个不等式得$m≥10$，解第二个不等式得$m≤11\dfrac{24}{31}$。
$\because m$为正整数，$\therefore m=10$或$m=11$：
当$m=10$时，购进B型汽车5辆，利润为$0.7×10+22×0.06×5=13.6$万元；
当$m=11$时，购进B型汽车4辆，利润为$0.7×11+22×0.06×4=12.98$万元。
比较可知$13.6＞12.98$，即购进10辆A型车、5辆B型车的方案利润更高。
【答案】
(1) 购进A,B型汽车各一辆的进价分别为15万元，22万元。
(2) 共有2种购进方案：方案一：购进A型汽车10辆，B型汽车5辆；方案二：购进A型汽车11辆，B型汽车4辆。其中购进A型汽车10辆、B型汽车5辆的方案获利最多，最多利润是13.6万元。
【知识点】
二元一次方程组应用，一元一次不等式组应用，方案最优选择
【点评】
本题结合新能源汽车销售的实际场景命题，考查学生提取题干信息、转化为数学关系的能力，需要学生熟练掌握方程组和不等式组的求解方法，同时结合实际情况对解进行取舍，体现了数学的实际应用价值。
【难度系数】
0.6
(1) 第一问需求两种车型的单辆进价，属于含两个未知量的实际问题，可通过列二元一次方程组求解。首先提取两个核心等量关系：①1辆A型汽车进价+1辆B型汽车进价=37万元；②购买20辆A型汽车（超过15辆，享受九五折优惠）的总费用+购买20辆B型汽车（超过15辆，每辆优惠0.5万元）的总费用=715万元，设未知数列方程组求解即可。
(2) 第二问为方案设计与利润最优问题，已知共购进15辆汽车，可设购进A型汽车m辆，则B型汽车为(15-m)辆，提取两个不等关系：①购进两种车型的总费用不超过260万元；②全部售出后的总利润不低于12.5万元，据此列一元一次不等式组，求出m的取值范围，结合m为正整数得到所有可行方案，再分别计算各方案利润，比较得出最大利润即可。
【解析】
(1) 设购进A、B型汽车各一辆的进价分别为$x$万元，$y$万元，根据题意可得：
$\begin{cases} x+y=37, \\ 20×0.95x+20×(y-0.5)=715, \end{cases}$
化简第二个方程得$19x+20y=725$，将$y=37-x$代入得$19x+20(37-x)=725$，解得$x=15$，代入得$y=22$。
(2) 设购进A型汽车$m$辆，则购进B型汽车$(15-m)$辆，根据题意列不等式组：
$\begin{cases} 15m+22(15-m)≤260, \\ 0.7m+22×0.06×(15-m)≥12.5, \end{cases}$
解第一个不等式得$m≥10$，解第二个不等式得$m≤11\dfrac{24}{31}$。
$\because m$为正整数，$\therefore m=10$或$m=11$：
当$m=10$时，购进B型汽车5辆，利润为$0.7×10+22×0.06×5=13.6$万元；
当$m=11$时，购进B型汽车4辆，利润为$0.7×11+22×0.06×4=12.98$万元。
比较可知$13.6＞12.98$，即购进10辆A型车、5辆B型车的方案利润更高。
【答案】
(1) 购进A,B型汽车各一辆的进价分别为15万元，22万元。
(2) 共有2种购进方案：方案一：购进A型汽车10辆，B型汽车5辆；方案二：购进A型汽车11辆，B型汽车4辆。其中购进A型汽车10辆、B型汽车5辆的方案获利最多，最多利润是13.6万元。
【知识点】
二元一次方程组应用，一元一次不等式组应用，方案最优选择
【点评】
本题结合新能源汽车销售的实际场景命题，考查学生提取题干信息、转化为数学关系的能力，需要学生熟练掌握方程组和不等式组的求解方法，同时结合实际情况对解进行取舍，体现了数学的实际应用价值。
【难度系数】
0.6
