1. 李老师在生物实验室做实验时，将水稻种子分组进行发芽实验.第1组取3粒，第2组取5粒，第3组取7粒……即每组所取种子数目比该组前一组增加2粒，按此规律，推测第7组应取种子粒数为（）.

A.15
B.13
C.14
D.9

A

【分析】首先观察每组种子的数量：第1组3粒，第2组5粒，第3组7粒，发现后一组比前一组多2粒，属于公差为2的等差数列。我们先推导第n组种子数的表达式，再将n=7代入计算，即可得到第7组的种子数，进而选出正确选项。
【解析】观察各组种子数的规律：
第1组：$3 = 2×1 + 1$；
第2组：$5 = 2×2 + 1$；
第3组：$7 = 2×3 + 1$；
……
由此可得，第n组应取的种子粒数为：$2n + 1$。
当$n=7$时，代入表达式得：$2×7 + 1 = 15$。
因此第7组应取15粒，答案选A。
【答案】A
【知识点】数列规律探究、代数式求值
【点评】本题是基础的规律应用题目，通过观察数列的变化特征推导通项公式，代入计算即可得出结果，主要考查学生的观察归纳能力，难度较低。
【难度系数】0.8

2. 传统文化 杨辉三角 如图在我国宋朝数学家杨辉1261年的著作《详解九章算法》中提到过，因而人们把这个表叫作杨辉三角，根据杨辉三角的规律，表第四行空缺的数字是.

3

【分析】
要解决这个问题，需先明确杨辉三角的核心规律：除每行两端的数字为1外，其余每个数字都等于它上方相邻两个数字的和。我们可以利用该规律，结合第三行的数字计算第四行空缺处的数值。
【解析】
观察杨辉三角的各行数字：
第三行的数字为：1，2，1；
第四行的数字依次为：1，空缺，3，1；
根据杨辉三角的规律，第四行空缺处的数字等于第三行相邻两个数字的和，即空缺数字 = 1 + 2 = 3。
【答案】
3
【知识点】
杨辉三角规律
【点评】
本题考查杨辉三角的基础规律应用，核心是利用“每个数等于上方两数之和”的规则计算，属于基础题型，难度较低。
【难度系数】
0.2

3. (2025·连云港期中)我国民间通常用12种动物(十二生肖)来表示不同的年份.它们排列顺序如下:鼠,牛,虎,兔,龙,蛇,马,羊,猴,鸡,狗,猪,2024年是龙年,那么2049年是年.

蛇

【分析】
首先明确十二生肖以12年为一个循环周期，已知2024年是龙年，需先计算2024年到2049年经过的年数，再用经过的年数除以周期12得到余数，从龙年开始往后数对应余数的生肖，即可得出2049年的生肖。
【解析】
1. 计算间隔年数：2049 - 2024 = 25（年）；
2. 生肖周期为12年，计算25年的周期情况：25 ÷ 12 = 2（个）……1（年），即经过2个完整周期后余1年；
3. 从2024年的龙年往后数1年，对应生肖为蛇年，因此2049年是蛇年。
【答案】
蛇
【知识点】
周期问题、找规律
【点评】
本题结合十二生肖的循环规律考查周期问题，核心是通过间隔年数求余数确定对应生肖，贴近生活实际，难度适中。
【难度系数】
0.6

4. 观察下列等式：$\dfrac{3}{1×4}=1-\dfrac{1}{4}$，$\dfrac{3}{4×7}=\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{7}$，$\dfrac{3}{7×10}=\dfrac{1}{7}-\dfrac{1}{10}$，$\dfrac{3}{10×13}=\dfrac{1}{10}-\dfrac{1}{13}$，$\dots$，求$\dfrac{1}{1×4}+\dfrac{1}{4×7}+\dfrac{1}{7×10}+\dfrac{1}{10×13}+\dots+\dfrac{1}{100×103}$的值.

原式=$\dfrac{1}{3}×(1-\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{7}+\dfrac{1}{7}-\dfrac{1}{10}+\dfrac{1}{10}-\dfrac{1}{13}+\dots+\dfrac{1}{100}-\dfrac{1}{103})=\dfrac{1}{3}×(1-\dfrac{1}{103})=\dfrac{1}{3}×\dfrac{102}{103}=\dfrac{34}{103}.$

【分析】
首先观察题目给出的等式，发现规律：对于形如$\frac{3}{a×b}$（$b-a=3$）的式子，可拆分为$\frac{1}{a}-\frac{1}{b}$。由此推导出，形如$\frac{1}{a×b}$（$b-a=3$）的式子，可变形为$\frac{1}{3}×(\frac{1}{a}-\frac{1}{b})$，这是裂项相消的核心思路。接下来将所求式子的每一项按此规律拆分，中间项会相互抵消，仅保留首尾两项，进而简化计算。
【解析】
原式的每一项按规律拆分：
$\frac{1}{1×4}=\frac{1}{3}×(1-\frac{1}{4})$，
$\frac{1}{4×7}=\frac{1}{3}×(\frac{1}{4}-\frac{1}{7})$，
$\frac{1}{7×10}=\frac{1}{3}×(\frac{1}{7}-\frac{1}{10})$，
……
$\frac{1}{100×103}=\frac{1}{3}×(\frac{1}{100}-\frac{1}{103})$。
代入原式得：
原式$=\frac{1}{3}×(1-\frac{1}{4}+\frac{1}{4}-\frac{1}{7}+\frac{1}{7}-\frac{1}{10}+…+\frac{1}{100}-\frac{1}{103})$。
中间项抵消后计算：
原式$=\frac{1}{3}×(1-\frac{1}{103})=\frac{1}{3}×\frac{102}{103}=\frac{34}{103}$。
【答案】
$\frac{34}{103}$
【知识点】
分式裂项、有理数混合运算
【点评】
本题考查分式求和的裂项相消法，关键是通过观察已知等式归纳裂项规律，将复杂求和转化为首尾项计算，体现数学简化思想，需具备观察归纳能力。
【难度系数】
0.5

5. 数学文化 “正方形数” 古希腊著名的毕达哥拉斯学派把$1,3,6,10,···,$这样的数称为“三角形数”，而把$1,4,9,16,···,$这样的数称为“正方形数”.从图中可以发现，任何一个大于1的“正方形数”都可以看作两个相邻“三角形数”之和.下列等式中，符合这一规律的是().


A.$20=4+16$
B.$25=9+16$
C.$36=15+21$
D.$40=12+28$

C

【分析】首先明确“正方形数”是正整数的平方（即$n^2$，$n≥2$），“三角形数”的规律是第$k$个三角形数为$T_k=\frac{k(k+1)}{2}$。通过观察示例：$4=2^2=1+3$（1是第1个三角形数，3是第2个三角形数，二者相邻）、$9=3^2=3+6$（3是第2个，6是第3个，相邻）、$16=4^2=6+10$（6是第3个，10是第4个，相邻），可总结规律：正方形数$n^2$等于第$(n-1)$个三角形数与第$n$个三角形数之和，即$n^2=T_{n-1}+T_n$。接下来结合选项逐一验证即可。
【解析】
1. 先排除非平方数的选项：正方形数是完全平方数，选项A的20、选项D的40都不是平方数，直接排除。
2. 验证剩余选项：
选项B：25是$5^2$，对应$n=5$，计算相邻三角形数：$T_4=\frac{4×5}{2}=10$，$T_5=\frac{5×6}{2}=15$，$10+15=25≠9+16$，不符合规律。
选项C：36是$6^2$，对应$n=6$，计算相邻三角形数：$T_5=\frac{5×6}{2}=15$，$T_6=\frac{6×7}{2}=21$，$15+21=36$，符合“正方形数等于两个相邻三角形数之和”的规律。
【答案】C
【知识点】三角形数、正方形数、规律探究
【点评】本题是规律探究类题目，核心是先明确三角形数和正方形数的定义，再通过示例推导两者的关系，最后验证选项，难度适中，适合初中学生掌握。
【难度系数】0.5

6. 实验班原创 观察并找规律：$2^{1}=2,2^{2}=4,2^{3}=8,$
$2^{4}=16,2^{5}=32,2^{6}=64,2^{7}=128,2^{8}=256,$那么$2^{2025}$的个位数是().

A.2
B.4
C.6
D.8

∵$2^1,2^2,2^3,2^4,\dots,2^{2025}$个位数字是2,4,8,6四个一循环，
又2025÷4=506……1，
∴$2^{2025}$的个位数字应该是2.
故选A.

【分析】
要解决这个问题，需先观察2的正整数次幂的个位数字，发现其存在循环规律，再通过计算指数除以循环周期的余数，确定对应循环中的数字，即可得到答案。
【解析】
首先观察2的幂次的个位数字：
$2^1$的个位是2，$2^2$的个位是4，$2^3$的个位是8，$2^4$的个位是6，$2^5$的个位是32，个位回到2，由此可知2的幂次的个位数字按“2,4,8,6”每4个为一个循环，周期为4。
接下来计算2025除以4的余数：$2025÷4=506······1$，余数为1，对应循环中的第1个数字，即2，因此$2^{2025}$的个位数字是2。
【答案】
A
【知识点】
数字规律探究、有理数的乘方
【点评】
本题为典型的规律探究题，核心是发现乘方结果的个位循环规律，通过余数定位对应数字，解题方法常规，能有效考查学生的观察与归纳能力。
【难度系数】
0.7

7. 教材 P9 练习·变式 观察如图所示的图形：

它们是按一定规律排列的，依照此规律，第2025个图形中共有个.

6 076

【分析】
先数出前几个图形中星星的数量，发现第1个图形有4个，第2个有7个，第3个有10个，第4个有13个，相邻两个图形的星星数相差3，构成首项为4、公差为3的等差数列，由此归纳出第n个图形星星数的通项公式，再代入n=2025计算即可。
【解析】
步骤1：数出前4个图形的星星数量：
第1个图形：4个；
第2个图形：7个；
第3个图形：10个；
第4个图形：13个。
步骤2：分析规律：相邻两个图形的星星数差为3，属于等差数列，首项$a_1=4$，公差$d=3$，根据等差数列通项公式$a_n=a_1+(n-1)d$，可得第$n$个图形的星星数为：$4 + 3(n-1)=3n+1$。
步骤3：代入$n=2025$，计算得：$3×2025 +1=6075+1=6076$。
【答案】
6076
【知识点】
图形规律探究，等差数列
【点评】
本题为图形规律类题目，需要学生通过观察、数出前几个图形的数量，归纳出数列的规律，进而求解，重点考查观察归纳能力，难度适中。
【难度系数】
0.5

8. 如图，按照图(1)、图(2)、图(3)的数字规律，则图(4)的括号中应填数字为.

由题意,得两个圆圈中的数之和的2倍等于左、右两个数的乘积,所以题图(4)的括号中应填数字为(15+15)×2÷6=10.

【分析】首先观察前三个图的数字关系，总结出规律：每个图中两个圆圈内数字之和的2倍，等于该图左右两侧数字的乘积。通过验证前三个图确认规律后，再应用规律计算图(4)的括号内数字。
【解析】先验证前三个图的规律：
图(1)：两个圆圈数为8和7，和的2倍是$(8+7)×2=30$；左右数为3和10，乘积是$3×10=30$，两者相等。
图(2)：两个圆圈数为9和9，和的2倍是$(9+9)×2=36$；左右数为6和6，乘积是$6×6=36$，两者相等。
图(3)：两个圆圈数为4和16，和的2倍是$(4+16)×2=40$；左右数为8和5，乘积是$8×5=40$，两者相等。
由此确定规律：两个圆圈内数字之和的2倍 = 左右两侧数字的乘积。
设图(4)括号内数字为$x$，代入规律得：$(15+15)×2=6×x$，计算得$60=6x$，解得$x=10$。
【答案】10
【知识点】数字规律探索，有理数运算
【点评】本题是数字规律探索题，核心是通过观察已知图形的数字关系推导运算规律，再利用规律求解，考查观察能力与逻辑推理能力，属于基础规律应用类题目。
【难度系数】0.5