8. 为了保密，许多情况下需要采用密码，破译密码有一把“钥匙”，如图(1)，“钥匙”显示 $\varOmega -3$，表示将密码中每个字母在图(2)中沿逆时针方向转动3位进行破译. 例如，破译 kdssb 得happy，继续使用此“钥匙”，破译 yhjhwdeoh得.

8. vegetable

【分析】
首先明确密码破译规则：字母环的顺时针顺序为a,b,c,d,e,f,g,h,i,j,k,l,m,n,o,p,q,r,s,t,u,v,w,x,y,z，将密码中的每个字母沿该环逆时针方向转动3位，即可得到原字母。解题时，只需依次对密码“yhjhwdeoh”的每个字母，按逆时针方向数3个位置找到对应字母，再组合即可。
【解析】
根据规则，对密码“yhjhwdeoh”的每个字母分别逆时针转动3位：
1. 字母y逆时针转3位→v；
2. 字母h逆时针转3位→e；
3. 字母j逆时针转3位→g；
4. 字母h逆时针转3位→e；
5. 字母w逆时针转3位→t；
6. 字母d逆时针转3位→a；
7. 字母e逆时针转3位→b；
8. 字母o逆时针转3位→l；
9. 字母h逆时针转3位→e；
将上述字母依次组合，得到结果为vegetable。
【答案】
vegetable
【知识点】
密码破译、字母位置变换
【点评】
本题是密码破译类基础题，核心是明确字母的转动方向和位置变换规则，按要求逐一转换字母即可，难度较低。
【难度系数】
0.3

9. 如图是一个三角形形状的地块.如果要将它平均分成4个部分，请在图上画出分割线.（至少用2种方法）

9. 答案不唯一，部分画法如图所示：

【分析】要将三角形平均分成4个部分，需保证每个部分面积相等。根据三角形面积公式（面积=1/2×底×高），等底等高的三角形面积相等，可利用这一性质进行分割。常见思路有两种：一是将三角形的一条边四等分，连接等分点与对顶点，得到4个等面积小三角形；二是先将三角形分成两个等面积三角形，再分别将这两个三角形各分成两个等面积部分，最终得到4个等面积部分。
【解析】方法1：取三角形任意一条边，将其平均分成4等份，得到3个分点，把这3个分点分别与该边所对的顶点连接，原三角形被分成4个小三角形，它们的高相同、底相等，因此面积相等，即平均分成4个部分。
方法2：先作三角形的一条中线（连接一个顶点与对边中点），将原三角形分成面积相等的2个三角形；再分别作这两个三角形的中线，每个中线将各自的三角形分成面积相等的2个部分，总共得到4个面积相等的部分，完成平均分割。
【答案】答案不唯一，部分画法如图所示：
【知识点】三角形面积，图形等积变换
【点评】本题考查三角形的等积分割，核心是利用等底等高三角形面积相等的性质，分割方法灵活，能帮助学生理解三角形面积的本质，属于基础几何应用题目。
【难度系数】0.5

10. 数形结合思想 (1)如图,两个半径为1的圆有一部分互相重叠,其重叠部分的面积是其中一个圆的面积的$\dfrac{1}{4}$,求图中阴影部分的面积.
(2)利用上述方法,解决下列新问题:
七年级(6)班有10人参加学校的新生运动会,15人参加新生足球赛,如果有7人同时参加学校的新生运动会和新生足球赛,那么只参加学校的新生运动会和新生足球赛的共有多少人?

精题详解

10.(1)阴影部分的面积为$2π-2× \frac{π}{4}=\frac{3}{2}π$.
(2)只参加学校的新生运动会和新生足球赛的共有$10+15-2×7=11$(人).
思路引导 本题主要考查阴影部分面积的求解，以及观察图形、分析问题和解决问题的能力.解决本题的关键是从图形中提炼出阴影部分的面积等于两个圆的面积分别减去重叠部分面积的和，利用第(1)问的原理易得第(2)问中参加学校的新生运动会和新生足球赛的总人数分别减去同时参加这两个项目的人数，便是只参加一个项目的学生人数.

【分析】
第(1)问：阴影部分是两个圆中不重叠的部分，每个圆的阴影面积等于该圆面积减去重叠部分面积，总阴影面积为两个圆的面积和减去2倍的重叠部分面积。已知圆半径为1，先计算单个圆的面积，再结合重叠部分与圆面积的关系求解。
第(2)问：类比第(1)问的数形结合思想，将参加运动会的人数、参加足球赛的人数看作两个集合，同时参加两项的人数是两集合的重叠部分，只参加一个项目的人数等于两集合总人数减去2倍的重叠人数（重叠部分被重复计算两次，需减去两次）。
【解析】
(1) 圆的半径为1，根据圆的面积公式$S=π r^2$，单个圆的面积为$π × 1^2 = π$。
重叠部分面积为一个圆面积的$\frac{1}{4}$，即$\frac{1}{4}π$。
阴影部分面积 = 两个圆的面积和 - 2×重叠部分面积 = $2π - 2×\frac{1}{4}π = \frac{3}{2}π$。
(2) 只参加运动会的人数为$10 - 7$，只参加足球赛的人数为$15 - 7$，总人数为$(10 - 7)+(15 - 7) = 10 + 15 - 2×7 = 11$（人）。
【答案】
(1) $\frac{3}{2}π$；(2) 11人
【知识点】
圆的面积计算，容斥原理，数形结合思想
【点评】
本题通过几何图形与实际人数问题的类比，考查数形结合思想的应用，将抽象的数量关系转化为直观的图形关系，帮助学生理解容斥原理的基础应用，属于基础类数形结合题目。
【难度系数】
0.5

11. 新情境 密码破译 为确保信息安全，信息需加密传输，发送方由明文⇒密文（加密），接收方由密文⇒明文（解密），已知有一种密码，将英文26个小写字母a，b，c，…，z依次对应0，1，2，…，25这26个自然数（见表格），当明文中的字母对应的序号为$β$时，将$β+10$除以26后所得的余数作为密文中的字母对应的序号，例如明文s对应密文c.

按上述规定，将明文“maths”译成密文后是().

A.wkdrc
B.wkhtc
C.eqdjc
D.eqhjc
精题详解

11.A [解析]m,a,t,h,s分别对应的数字为12,0,19,7,18，它们分别加10除以26所得的余数为22,10,3,17,2，所对应的密文为wkdrc.故选A.

【分析】
要破译明文“maths”，需遵循两个关键步骤：①根据表格明确每个明文字母对应的序号（a对应0，b对应1，…，z对应25）；②按照规则：明文序号为β时，密文序号为(β+10)除以26的余数，再将密文序号转换为对应字母。依次对“maths”的每个字母完成上述转换，即可得到密文。
【解析】
1. 确定明文“maths”各字母对应的序号：
m对应12，a对应0，t对应19，h对应7，s对应18；
2. 按规则计算密文序号并对应字母：
m：(12+10)÷26的余数为22，对应字母w；
a：(0+10)÷26的余数为10，对应字母k；
t：(19+10)÷26的余数为3，对应字母d；
h：(7+10)÷26的余数为17，对应字母r；
s：(18+10)÷26的余数为2，对应字母c；
3. 组合得到密文为wkdrc，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
字母与数字对应、余数运算
【点评】
本题是密码破译类基础题，核心是掌握字母与序号的对应关系及余数计算规则，步骤清晰，细心即可正确解答，属于常见的数学应用题型。
【难度系数】
0.5

12. 用标有1克、2克、6克的砝码各一个，在一架无刻度的天平上称量重物. 如果天平两端均可放置砝码，那么可以称出的不同克数的重量共有多少种？
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精题详解

12. ①当天平的一端放1个砝码，另一端不放砝码时，可以称量重物的克数有1克、2克、6克；
②当天平的一端放2个砝码，另一端不放砝码时，可以称量重物的克数有3克、7克、8克；
③当天平的一端放3个砝码时，可以称量重物的克数有9克；
④当天平的一端放1个砝码，另一端也放1个砝码时，可以称量重物的克数有1克、4克、5克；
⑤当天平的一端放1个砝码，另一端放2个砝码时，可以称量重物的克数有3克、5克、7克. 去掉重复的克数后，可称重物的克数共有9种.

【分析】
要解决该问题，需利用天平两端均可放砝码的特点，分类讨论砝码的所有放置方式，分别计算每种方式下可称量的重物克数，再去除重复克数，统计不同克数的总种数。具体分为两类情况：仅在天平一端放砝码（1个、2个、3个砝码），以及天平两端都放砝码（1个对1个、1个对2个砝码），逐一列举后去重即可。
【解析】
分情况讨论砝码放置方式，计算对应可称量克数：
1. 仅天平一端放砝码，另一端不放：
放1个砝码：可称出1克、2克、6克；
放2个砝码：可称出1+2=3克、1+6=7克、2+6=8克；
放3个砝码：可称出1+2+6=9克；
2. 天平两端都放砝码：
一端1个、另一端1个砝码：用大砝码重量减小砝码重量，可称出2-1=1克、6-1=5克、6-2=4克；
一端1个、另一端2个砝码：用两端砝码总重量的差计算，可称出6-(1+2)=3克、(1+6)-2=5克、(2+6)-1=7克；
汇总所有克数后去除重复，得到不同克数共9种。
【答案】
9种
【知识点】
组合计数、分类讨论、天平称重
【点评】
本题通过分类讨论砝码放置情况，考查学生的逻辑分类能力与天平称重原理的应用，需注意避免重复计数，是典型的计数类应用问题。
【难度系数】
0.5