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9. 数学文化 高斯速算法 阅读高斯速算法：
计算:$1+2+3+\dots+98+99+100$.
方法:设 $a = 1 + 2 + 3 + \dots + 98 + 99 + 100$（“顺加”）,则 $a = 100 + 99 + 98 + \dots + 3 + 2 + 1$（“逆加”）,
所以 $2a = (1 + 100) + (2 + 99) + (3 + 98) + \dots + (98 + 3) + (99 + 2) + (100 + 1)$.
所以 $2a = 101 + 101 + 101 + \dots + 101 + 101 + 101$(注意个数).
所以 $2a = 101 × 100$.
所以 $a = \dfrac{101 × 100}{2} = 5050$.
精题详解
解答下列问题：
(1)计算 $1+2+3+\dots+2\ 021+2\ 022+2\ 023$；
(2)计算 $1+3+5+\dots+2\ 019+2\ 021+2\ 023$；
(3)计算 $2+4+6+\dots+2\ 020+2\ 022+2\ 024$；
(4)计算 $1+4+7+\dots+2\ 017+2\ 020+2\ 023$.
计算:$1+2+3+\dots+98+99+100$.
方法:设 $a = 1 + 2 + 3 + \dots + 98 + 99 + 100$（“顺加”）,则 $a = 100 + 99 + 98 + \dots + 3 + 2 + 1$（“逆加”）,
所以 $2a = (1 + 100) + (2 + 99) + (3 + 98) + \dots + (98 + 3) + (99 + 2) + (100 + 1)$.
所以 $2a = 101 + 101 + 101 + \dots + 101 + 101 + 101$(注意个数).
所以 $2a = 101 × 100$.
所以 $a = \dfrac{101 × 100}{2} = 5050$.
精题详解
解答下列问题：
(1)计算 $1+2+3+\dots+2\ 021+2\ 022+2\ 023$；
(2)计算 $1+3+5+\dots+2\ 019+2\ 021+2\ 023$；
(3)计算 $2+4+6+\dots+2\ 020+2\ 022+2\ 024$；
(4)计算 $1+4+7+\dots+2\ 017+2\ 020+2\ 023$.
答案
(1)2 047 276
(2)1 024 144
(3)1 025 156
(4)683 100
(2)1 024 144
(3)1 025 156
(4)683 100
解析
【分析】
这几道题均为等差数列求和问题，核心思路是运用高斯速算法（倒序相加法）或等差数列求和公式：和=（首项+末项）×项数÷2。解题时需先确定每个数列的首项、末项、公差，再通过公式“项数=（末项-首项）÷公差 +1”计算项数，最后代入求和公式计算结果。
【解析】
（1）数列1+2+3+…+2023，首项a₁=1，末项aₙ=2023，公差d=1，项数n=(2023-1)÷1 +1=2023。
和=(1+2023)×2023÷2=2024×2023÷2=1012×2023=2047276。
（2）数列1+3+5+…+2023，首项a₁=1，末项aₙ=2023，公差d=2，项数n=(2023-1)÷2 +1=1012。
和=(1+2023)×1012÷2=2024×1012÷2=1012×1012=1024144。
（3）数列2+4+6+…+2024，首项a₁=2，末项aₙ=2024，公差d=2，项数n=(2024-2)÷2 +1=1012。
和=(2+2024)×1012÷2=2026×1012÷2=1013×1012=1025156。
（4）数列1+4+7+…+2023，首项a₁=1，末项aₙ=2023，公差d=3，项数n=(2023-1)÷3 +1=675。
和=(1+2023)×675÷2=2024×675÷2=1012×675=683100。
【答案】
(1)2047276；(2)1024144；(3)1025156；(4)683100
【知识点】
等差数列求和、高斯速算法
【点评】
本题是高斯速算法的典型应用，考查等差数列求和的基本方法，关键在于准确计算等差数列的项数，属于基础运算题，需注意计算时的准确性。
【难度系数】
0.8
这几道题均为等差数列求和问题，核心思路是运用高斯速算法（倒序相加法）或等差数列求和公式：和=（首项+末项）×项数÷2。解题时需先确定每个数列的首项、末项、公差，再通过公式“项数=（末项-首项）÷公差 +1”计算项数，最后代入求和公式计算结果。
【解析】
（1）数列1+2+3+…+2023，首项a₁=1，末项aₙ=2023，公差d=1，项数n=(2023-1)÷1 +1=2023。
和=(1+2023)×2023÷2=2024×2023÷2=1012×2023=2047276。
（2）数列1+3+5+…+2023，首项a₁=1，末项aₙ=2023，公差d=2，项数n=(2023-1)÷2 +1=1012。
和=(1+2023)×1012÷2=2024×1012÷2=1012×1012=1024144。
（3）数列2+4+6+…+2024，首项a₁=2，末项aₙ=2024，公差d=2，项数n=(2024-2)÷2 +1=1012。
和=(2+2024)×1012÷2=2026×1012÷2=1013×1012=1025156。
（4）数列1+4+7+…+2023，首项a₁=1，末项aₙ=2023，公差d=3，项数n=(2023-1)÷3 +1=675。
和=(1+2023)×675÷2=2024×675÷2=1012×675=683100。
【答案】
(1)2047276；(2)1024144；(3)1025156；(4)683100
【知识点】
等差数列求和、高斯速算法
【点评】
本题是高斯速算法的典型应用，考查等差数列求和的基本方法，关键在于准确计算等差数列的项数，属于基础运算题，需注意计算时的准确性。
【难度系数】
0.8
10. 中考新考法 综合与实践 2024 年春节联欢晚会有一个“魔术”，“魔术”步骤如下：
步骤1：将准备好的4张扑克牌平均撕成两份，并叠在一起；
步骤2：将牌堆顶数量为“名字字数”的牌移至牌堆底；
步骤3：将前三张牌放在牌堆中间并取出牌堆顶的牌，放置在一旁；
步骤4：取出牌堆顶的若干张牌插入牌堆中间，此处选择的牌数为南方人取1张，北方人取2张，若不确定是南方人还是北方人取3张；
步骤5：男生扔掉牌堆顶1张，女生扔掉牌堆顶2张；
步骤6：执行“见证奇迹的时刻”循环，每说一个字，就取出牌堆顶一张牌放置在牌堆底；
步骤7：从牌堆顶开始，每次先说一句“好运留下来”，同时将牌堆顶的一张牌放在牌堆底，然后说一句“烦恼丢出去”，同时扔掉牌堆顶的一张牌，重复以上操作直到只剩一张牌，检查此牌和放置在一旁的牌是否吻合？若吻合，则魔术成功.
［做一做］
(1)找4张扑克牌，试着按上述操作，看能不能“见证奇迹”.
［综合探究］
(2)请你试着揭示该“魔术”的原理.（注意材料中“牌堆中间”“牌堆顶”“牌堆底”）
[二维码]
精题详解
步骤1：将准备好的4张扑克牌平均撕成两份，并叠在一起；
步骤2：将牌堆顶数量为“名字字数”的牌移至牌堆底；
步骤3：将前三张牌放在牌堆中间并取出牌堆顶的牌，放置在一旁；
步骤4：取出牌堆顶的若干张牌插入牌堆中间，此处选择的牌数为南方人取1张，北方人取2张，若不确定是南方人还是北方人取3张；
步骤5：男生扔掉牌堆顶1张，女生扔掉牌堆顶2张；
步骤6：执行“见证奇迹的时刻”循环，每说一个字，就取出牌堆顶一张牌放置在牌堆底；
步骤7：从牌堆顶开始，每次先说一句“好运留下来”，同时将牌堆顶的一张牌放在牌堆底，然后说一句“烦恼丢出去”，同时扔掉牌堆顶的一张牌，重复以上操作直到只剩一张牌，检查此牌和放置在一旁的牌是否吻合？若吻合，则魔术成功.
［做一做］
(1)找4张扑克牌，试着按上述操作，看能不能“见证奇迹”.
［综合探究］
(2)请你试着揭示该“魔术”的原理.（注意材料中“牌堆中间”“牌堆顶”“牌堆底”）
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精题详解
答案
(1)略
(2)“魔术”步骤揭秘：
按步骤1,我们令选择的四张扑克牌分别为abcd,将他们分别撕开后,产生了标号分别为abcd的两套(半张)扑克牌,叠在一起后形成了从上至下标号分别为abcdabcd的扑克牌堆.
按步骤2,无论我们将牌堆顶的多少张牌移到堆底,得到的扑克牌堆编号都只会有下列几种结果:abcdabcd,bcdabcda,cdabcdab,dabcdabc.
观察以上可能的牌堆,我们可以发现产生的牌堆都具有以下性质:
1.前四张牌和后四张牌的顺序完全一样;
2.前四张牌和后四张牌分别是abcd的一个轮换.
从步骤3开始,我们只考虑当前牌堆中排在第四及第八的两张牌,记为X,其他牌记为0.那么根据步骤2的讨论,可以得到当前的牌堆形如000X000X.
将前三张放在牌堆中间后,无论这三张放在什么位置,最终产生的牌堆都将是X000000X.
于是乎,被选择的用于配对的牌就将是X,而另一张与之配对的牌(称为目标牌)将位于牌堆底此时,牌堆的编号为000000X.
按步骤4,无论本轮中选择牌堆顶多少张牌插入牌堆中,都不会影响目标牌的位置,仍然处于牌堆底部.
按步骤5,此时男生的牌堆为00000X.女生的牌堆为0000X.
在经过步骤6后,男生的牌堆为0000X0;女生的牌堆为00X00.
最后按步骤7,以先将牌堆顶的一张牌放在牌堆底,再扔掉牌堆顶的一张牌为一次操作.以男生的牌堆为例,第一次操作后,结果为000X00(跟女生牌堆一样);第二次操作后,结果为X000;第三次操作后,结果为00X;第四次操作后,结果为X0,第五次操作后,结果为X,刚好和放置在一旁的牌吻合.
(2)“魔术”步骤揭秘：
按步骤1,我们令选择的四张扑克牌分别为abcd,将他们分别撕开后,产生了标号分别为abcd的两套(半张)扑克牌,叠在一起后形成了从上至下标号分别为abcdabcd的扑克牌堆.
按步骤2,无论我们将牌堆顶的多少张牌移到堆底,得到的扑克牌堆编号都只会有下列几种结果:abcdabcd,bcdabcda,cdabcdab,dabcdabc.
观察以上可能的牌堆,我们可以发现产生的牌堆都具有以下性质:
1.前四张牌和后四张牌的顺序完全一样;
2.前四张牌和后四张牌分别是abcd的一个轮换.
从步骤3开始,我们只考虑当前牌堆中排在第四及第八的两张牌,记为X,其他牌记为0.那么根据步骤2的讨论,可以得到当前的牌堆形如000X000X.
将前三张放在牌堆中间后,无论这三张放在什么位置,最终产生的牌堆都将是X000000X.
于是乎,被选择的用于配对的牌就将是X,而另一张与之配对的牌(称为目标牌)将位于牌堆底此时,牌堆的编号为000000X.
按步骤4,无论本轮中选择牌堆顶多少张牌插入牌堆中,都不会影响目标牌的位置,仍然处于牌堆底部.
按步骤5,此时男生的牌堆为00000X.女生的牌堆为0000X.
在经过步骤6后,男生的牌堆为0000X0;女生的牌堆为00X00.
最后按步骤7,以先将牌堆顶的一张牌放在牌堆底,再扔掉牌堆顶的一张牌为一次操作.以男生的牌堆为例,第一次操作后,结果为000X00(跟女生牌堆一样);第二次操作后,结果为X000;第三次操作后,结果为00X;第四次操作后,结果为X0,第五次操作后,结果为X,刚好和放置在一旁的牌吻合.
解析
【分析】
要揭示该魔术的原理，需逐步拆解每一步操作对牌堆结构的影响：先明确步骤1形成的牌堆初始结构，步骤2的移动操作仅改变牌堆起始位置，不改变牌的轮换性质；步骤3取出一张牌后，剩余牌堆中存在与取出牌配对的另一张牌；后续步骤的操作均围绕保持这两张配对牌的位置关系，最终步骤7操作后剩余的牌恰好是取出的那张，因此魔术成功。
【解析】
(1) 略；
(2) 魔术原理揭秘：
① 步骤1：设4张扑克牌为a、b、c、d，撕成两套后叠放，形成从上到下为a、b、c、d、a、b、c、d的牌堆；
② 步骤2：将牌堆顶任意数量的牌移至牌堆底，牌堆始终为abcd的轮换形式（如移1张得bcdabcda，移2张得cdabcdab等），且前4张与后4张的顺序完全一致；
③ 步骤3：取出牌堆顶的1张牌（记为X），剩余牌堆中另一张X位于第8位，此时牌堆可表示为000X000X（0代表非X的牌）；将前三张插入牌堆中间后，牌堆变为X000000X，目标配对的另一张X处于牌堆底部；
④ 步骤4：无论选择1、2或3张牌插入中间，均不改变目标X的位置，其仍在牌堆底部；
⑤ 步骤5：男生扔掉牌堆顶1张后，牌堆为00000X；女生扔掉牌堆顶2张后，牌堆为0000X；
⑥ 步骤6：按“每说一个字，将牌堆顶一张牌移至牌堆底”操作后，男生牌堆变为0000X0，女生牌堆变为00X00；
⑦ 步骤7：每次操作是“将牌堆顶一张牌移至牌堆底→扔掉牌堆顶一张牌”，男生牌堆经5次操作后剩余X，女生牌堆经4次操作后剩余X，恰好与步骤3取出的X吻合，因此魔术成功。
【答案】
(1) 略；
(2) 魔术原理：步骤1将4张牌撕成两套后叠放为abcdabcd的牌堆；步骤2移动顶牌到底后，牌堆为abcd的轮换形式，前4张与后4张顺序一致；步骤3取出1张牌X后，剩余牌堆中另一张X在牌堆底；后续步骤（4-6）不改变目标X的位置；步骤7操作后，剩余牌恰好为取出的X，魔术成功。
【知识点】
逻辑推理、排列轮换
【点评】
本题为结合实际操作的逻辑推理题，需通过拆解每一步牌堆的变化，发现配对牌的位置规律，揭示魔术背后的数学逻辑，锻炼逻辑分析能力。
【难度系数】
0.4
要揭示该魔术的原理，需逐步拆解每一步操作对牌堆结构的影响：先明确步骤1形成的牌堆初始结构，步骤2的移动操作仅改变牌堆起始位置，不改变牌的轮换性质；步骤3取出一张牌后，剩余牌堆中存在与取出牌配对的另一张牌；后续步骤的操作均围绕保持这两张配对牌的位置关系，最终步骤7操作后剩余的牌恰好是取出的那张，因此魔术成功。
【解析】
(1) 略；
(2) 魔术原理揭秘：
① 步骤1：设4张扑克牌为a、b、c、d，撕成两套后叠放，形成从上到下为a、b、c、d、a、b、c、d的牌堆；
② 步骤2：将牌堆顶任意数量的牌移至牌堆底，牌堆始终为abcd的轮换形式（如移1张得bcdabcda，移2张得cdabcdab等），且前4张与后4张的顺序完全一致；
③ 步骤3：取出牌堆顶的1张牌（记为X），剩余牌堆中另一张X位于第8位，此时牌堆可表示为000X000X（0代表非X的牌）；将前三张插入牌堆中间后，牌堆变为X000000X，目标配对的另一张X处于牌堆底部；
④ 步骤4：无论选择1、2或3张牌插入中间，均不改变目标X的位置，其仍在牌堆底部；
⑤ 步骤5：男生扔掉牌堆顶1张后，牌堆为00000X；女生扔掉牌堆顶2张后，牌堆为0000X；
⑥ 步骤6：按“每说一个字，将牌堆顶一张牌移至牌堆底”操作后，男生牌堆变为0000X0，女生牌堆变为00X00；
⑦ 步骤7：每次操作是“将牌堆顶一张牌移至牌堆底→扔掉牌堆顶一张牌”，男生牌堆经5次操作后剩余X，女生牌堆经4次操作后剩余X，恰好与步骤3取出的X吻合，因此魔术成功。
【答案】
(1) 略；
(2) 魔术原理：步骤1将4张牌撕成两套后叠放为abcdabcd的牌堆；步骤2移动顶牌到底后，牌堆为abcd的轮换形式，前4张与后4张顺序一致；步骤3取出1张牌X后，剩余牌堆中另一张X在牌堆底；后续步骤（4-6）不改变目标X的位置；步骤7操作后，剩余牌恰好为取出的X，魔术成功。
【知识点】
逻辑推理、排列轮换
【点评】
本题为结合实际操作的逻辑推理题，需通过拆解每一步牌堆的变化，发现配对牌的位置规律，揭示魔术背后的数学逻辑，锻炼逻辑分析能力。
【难度系数】
0.4
11. 数学抽象思维 传统文化 杨辉三角 （2023·广元中考）
在我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》(1261 年)一书中,用如图的三角形解释二项和的乘方规律,因此我们称这个三角形为“杨辉三角”,根据规律第八行从左到右第三个数为
在我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》(1261 年)一书中,用如图的三角形解释二项和的乘方规律,因此我们称这个三角形为“杨辉三角”,根据规律第八行从左到右第三个数为
21
.答案
根据规律可得第七行的规律为1,6,15,20,15,6,1,第八行的规律为1,7,21,35,35,21,7,1,
∴根据规律第八行从左到右第三个数为21.
∴根据规律第八行从左到右第三个数为21.
解析
【分析】
要解决这个问题，需先明确杨辉三角的构造规律：每行的首尾数字均为1，从第3行开始，中间的每个数字等于它上方相邻两个数字的和。根据该规律依次推导前几行的数字，进而推出第八行的数字，即可找到第八行从左到右的第三个数。
【解析】
根据杨辉三角的构造规律：
第1行：1
第2行：1，1
第3行：1，2，1（2=1+1）
第4行：1，3，3，1（3=1+2，3=2+1）
第5行：1，4，6，4，1（4=1+3，6=3+3，4=3+1）
第6行：1，5，10，10，5，1（5=1+4，10=4+6，10=6+4，5=4+1）
第7行：1，6，15，20，15，6，1（6=1+5，15=5+10，20=10+10，15=10+5，6=5+1）
第8行：1，7，21，35，35，21，7，1（7=1+6，21=6+15，……）
因此，第八行从左到右第三个数为21。
【答案】
21
【知识点】
杨辉三角、数字规律
【点评】
本题结合传统文化考查杨辉三角的规律，核心是掌握杨辉三角的构造方法，属于基础题型，需要学生准确推导每行数字，体现了数学规律的应用价值。
【难度系数】
0.5
要解决这个问题，需先明确杨辉三角的构造规律：每行的首尾数字均为1，从第3行开始，中间的每个数字等于它上方相邻两个数字的和。根据该规律依次推导前几行的数字，进而推出第八行的数字，即可找到第八行从左到右的第三个数。
【解析】
根据杨辉三角的构造规律：
第1行：1
第2行：1，1
第3行：1，2，1（2=1+1）
第4行：1，3，3，1（3=1+2，3=2+1）
第5行：1，4，6，4，1（4=1+3，6=3+3，4=3+1）
第6行：1，5，10，10，5，1（5=1+4，10=4+6，10=6+4，5=4+1）
第7行：1，6，15，20，15，6，1（6=1+5，15=5+10，20=10+10，15=10+5，6=5+1）
第8行：1，7，21，35，35，21，7，1（7=1+6，21=6+15，……）
因此，第八行从左到右第三个数为21。
【答案】
21
【知识点】
杨辉三角、数字规律
【点评】
本题结合传统文化考查杨辉三角的规律，核心是掌握杨辉三角的构造方法，属于基础题型，需要学生准确推导每行数字，体现了数学规律的应用价值。
【难度系数】
0.5
