登录
23. (6 分)如图,在矩形$ABCD$中,$AB=6$,$AD=4$,$M$为边$DC$的中点,连接$AM$,过点$B$作$BP ⊥ AM$于点$P$,连接$CP$并延长交$AD$于点$E$.
(1)求证:$AE = EP$;
(2)求$AE$的长.
(1)求证:$AE = EP$;
(2)求$AE$的长.
答案
【点拨】本题考查矩形的性质,全等三角形的判定和性质,直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半,勾股定理.
【解析】(1)证明:如图,延长BC,AM交于点K,
∵ M是CD的中点,
∴ DM = CM.
∵ ∠D = ∠MCK = 90°,∠AMD = ∠KMC,
∴ △ADM≌△KCM(ASA),
∴ AD = CK = BC,
∴ C为BK的中点.
∵ BP⊥AM,
∴ ∠BPK = 90°,
∴ $PC = BC = CK = \dfrac{1}{2}BK = 4$,
∴ ∠K = ∠CPK.
∵ 四边形ABCD是矩形,
∴ AD//BK,
∴ ∠K = ∠EAP.
∵ ∠APE = ∠CPK,
∴ ∠APE = ∠EAP,
∴ AE = EP.
(2)设AE = x,由(1)知:AE = EP,CP = 4,
∴ EP = x,ED = 4 - x,CE = 4 + x,
在Rt△CDE中,$ED^2 + CD^2 = CE^2$,
∴ $(4 - x)^2 + 6^2 = (4 + x)^2$,解得$x = \dfrac{9}{4}$,$\therefore AE = \dfrac{9}{4}$.
解析
【分析】
要解决本题，需分两步推导：(1)证明AE=EP，核心是通过添加辅助线构造全等三角形，结合直角三角形性质推导角相等，进而得到线段相等；(2)计算AE的长度，利用勾股定理设未知数建立方程求解。具体思路：延长AM与BC交于点K，证△ADM≌△KCM得C为BK中点，再由BP⊥AM，利用直角三角形斜边中线性质得PC=BC，结合平行线性质和对顶角相等，推导出∠EAP=∠APE，从而证AE=EP；设AE=x，用x表示Rt△CDE的各边，根据勾股定理列方程求解。
【解析】
(1)证明：如图，延长BC、AM交于点K。
∵ M是CD的中点，
∴ DM=CM。
在△ADM和△KCM中：
$\{\begin{array}{l}∠D=∠MCK=90°\\ DM=CM\\ ∠AMD=∠KMC\end{array} $
∴ △ADM≌△KCM(ASA)，
∴ AD=CK。
∵ 四边形ABCD是矩形，
∴ AD=BC，
∴ CK=BC，即C为BK的中点。
∵ BP⊥AM，
∴ ∠BPK=90°，
在Rt△BPK中，PC是斜边BK的中线，
∴ $PC=\frac{1}{2}BK=BC$，
∴ ∠K=∠CPK。
∵ 四边形ABCD是矩形，
∴ AD//BC，即AD//BK，
∴ ∠K=∠EAP。
又
∵ ∠APE=∠CPK，
∴ ∠EAP=∠APE，
∴ AE=EP。
(2)设AE=x，由(1)知AE=EP，且PC=BC=AD=4，
∴ EP=x，ED=AD - AE=4 - x，CE=CP + EP=4 + x。
在Rt△CDE中，∠D=90°，根据勾股定理：
$ED^2 + CD^2 = CE^2$，
代入得：$(4 - x)^2 + 6^2 = (4 + x)^2$，
展开计算：$16 - 8x + x^2 + 36 = 16 + 8x + x^2$，
化简得：$52 - 8x = 16 + 8x$，
移项得：$16x=36$，
解得：$x=\frac{9}{4}$，
∴ $AE=\frac{9}{4}$。
【答案】
$AE=\frac{9}{4}$
【知识点】
矩形性质、全等三角形判定与性质、勾股定理
【点评】
本题是矩形背景下的几何综合题，辅助线构造是解题关键，通过全等转化线段关系，结合直角三角形性质和勾股定理完成证明与计算，考查几何逻辑推理能力和方程思想的应用，属于中等难度的几何题。
【难度系数】
0.5
要解决本题，需分两步推导：(1)证明AE=EP，核心是通过添加辅助线构造全等三角形，结合直角三角形性质推导角相等，进而得到线段相等；(2)计算AE的长度，利用勾股定理设未知数建立方程求解。具体思路：延长AM与BC交于点K，证△ADM≌△KCM得C为BK中点，再由BP⊥AM，利用直角三角形斜边中线性质得PC=BC，结合平行线性质和对顶角相等，推导出∠EAP=∠APE，从而证AE=EP；设AE=x，用x表示Rt△CDE的各边，根据勾股定理列方程求解。
【解析】
(1)证明：如图，延长BC、AM交于点K。
∵ M是CD的中点，
∴ DM=CM。
在△ADM和△KCM中：
$\{\begin{array}{l}∠D=∠MCK=90°\\ DM=CM\\ ∠AMD=∠KMC\end{array} $
∴ △ADM≌△KCM(ASA)，
∴ AD=CK。
∵ 四边形ABCD是矩形，
∴ AD=BC，
∴ CK=BC，即C为BK的中点。
∵ BP⊥AM，
∴ ∠BPK=90°，
在Rt△BPK中，PC是斜边BK的中线，
∴ $PC=\frac{1}{2}BK=BC$，
∴ ∠K=∠CPK。
∵ 四边形ABCD是矩形，
∴ AD//BC，即AD//BK，
∴ ∠K=∠EAP。
又
∵ ∠APE=∠CPK，
∴ ∠EAP=∠APE，
∴ AE=EP。
(2)设AE=x，由(1)知AE=EP，且PC=BC=AD=4，
∴ EP=x，ED=AD - AE=4 - x，CE=CP + EP=4 + x。
在Rt△CDE中，∠D=90°，根据勾股定理：
$ED^2 + CD^2 = CE^2$，
代入得：$(4 - x)^2 + 6^2 = (4 + x)^2$，
展开计算：$16 - 8x + x^2 + 36 = 16 + 8x + x^2$，
化简得：$52 - 8x = 16 + 8x$，
移项得：$16x=36$，
解得：$x=\frac{9}{4}$，
∴ $AE=\frac{9}{4}$。
【答案】
$AE=\frac{9}{4}$
【知识点】
矩形性质、全等三角形判定与性质、勾股定理
【点评】
本题是矩形背景下的几何综合题，辅助线构造是解题关键，通过全等转化线段关系，结合直角三角形性质和勾股定理完成证明与计算，考查几何逻辑推理能力和方程思想的应用，属于中等难度的几何题。
【难度系数】
0.5
24. (7分)如图1,在四边形ABCD中,AB = CD,E,F分别是BC,AD的中点,连接EF并延长,分别与BA,CD的延长线交于点M,N.
(1)求证:∠BME = ∠CNE;
(2)如图2,在四边形ADBC中,AB与CD相交于点O,AB = CD,E,F分别是BC,AD的中点,连接EF,分别交DC,AB于点M,N,判断△OMN的形状.
(1)求证:∠BME = ∠CNE;
(2)如图2,在四边形ADBC中,AB与CD相交于点O,AB = CD,E,F分别是BC,AD的中点,连接EF,分别交DC,AB于点M,N,判断△OMN的形状.
答案
【点拨】本题考查三角形中位线定理,平行线的性质,等腰三角形的判定.
【解析】(1)证明:如图1,连接BD,取BD的中点H,连接HE,HF.
∵ E,F分别是BC,AD的中点,
∴ $FH // BM$,$FH = \dfrac{1}{2}AB$,
$EH // CN$,$EH = \dfrac{1}{2}CD$,
∴ ∠BME = ∠HFE,∠CNE = ∠HEF.
∵ AB = CD,
∴ FH = EH,
∴ ∠HFE = ∠HEF,
∴ ∠BME = ∠CNE.
(2)如图2,取BD的中点P,连接PE,PF.
∵ 点E,F,P分别是BC,AD,BD的中点,
∴ $PE // CD$,$PE = \dfrac{1}{2}CD$,$PF // AB$,
$PF = \dfrac{1}{2}AB$,
∴ ∠PEF = ∠OMN,∠PFE = ∠ONM.
∵ AB = CD,
∴ PF = PE,
∴ ∠PEF = ∠PFE,
∴ ∠OMN = ∠ONM,
∴ OM = ON,
∴ △OMN是等腰三角形.
解析
【分析】
本题需利用三角形中位线定理构造辅助线，将已知的AB=CD转化为等长线段，结合平行线性质推导角的关系。第(1)问通过连接BD取中点，构造△ABD和△BCD的中位线，利用中位线的平行性和线段等量关系，结合等腰三角形性质得到角相等；第(2)问同理构造中位线，通过线段相等推导角相等，进而判断三角形形状。
【解析】
(1) 证明：如图1，连接BD，取BD的中点H，连接HE、HF。
∵ E、F分别是BC、AD的中点，H为BD中点，
∴ FH是△ABD的中位线，EH是△BCD的中位线。
根据三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半，
∴ $FH // BM$，$FH = \frac{1}{2}AB$；$EH // CN$，$EH = \frac{1}{2}CD$。
由平行线的同位角相等，得$∠ BME = ∠ HFE$，$∠ CNE = ∠ HEF$。
又
∵ $AB = CD$，
∴ $FH = EH$，
根据等腰三角形等边对等角，得$∠ HFE = ∠ HEF$，
因此$∠ BME = ∠ CNE$。
(2) △OMN是等腰三角形，理由如下：
如图2，取BD的中点P，连接PE、PF。
∵ E、F分别是BC、AD的中点，P为BD中点，
∴ PF是△ABD的中位线，PE是△BCD的中位线。
根据三角形中位线定理，得$PF // AB$，$PF = \frac{1}{2}AB$；$PE // CD$，$PE = \frac{1}{2}CD$。
由平行线的内错角相等，得$∠ PEF = ∠ OMN$，$∠ PFE = ∠ ONM$。
又
∵ $AB = CD$，
∴ $PF = PE$，
根据等腰三角形等边对等角，得$∠ PEF = ∠ PFE$，
因此$∠ OMN = ∠ ONM$，
根据等腰三角形等角对等边，得$OM = ON$，
故△OMN是等腰三角形。
【答案】
(1) 证明成立；(2) △OMN是等腰三角形。
【知识点】
三角形中位线定理、平行线性质、等腰三角形判定
【点评】
本题通过构造中位线将分散的线段关系转化为可利用的等量关系，核心考查中位线定理的应用，辅助线构造是解题关键，属于中等难度的几何证明题，能有效考察学生的几何逻辑推理能力。
【难度系数】
0.5
本题需利用三角形中位线定理构造辅助线，将已知的AB=CD转化为等长线段，结合平行线性质推导角的关系。第(1)问通过连接BD取中点，构造△ABD和△BCD的中位线，利用中位线的平行性和线段等量关系，结合等腰三角形性质得到角相等；第(2)问同理构造中位线，通过线段相等推导角相等，进而判断三角形形状。
【解析】
(1) 证明：如图1，连接BD，取BD的中点H，连接HE、HF。
∵ E、F分别是BC、AD的中点，H为BD中点，
∴ FH是△ABD的中位线，EH是△BCD的中位线。
根据三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半，
∴ $FH // BM$，$FH = \frac{1}{2}AB$；$EH // CN$，$EH = \frac{1}{2}CD$。
由平行线的同位角相等，得$∠ BME = ∠ HFE$，$∠ CNE = ∠ HEF$。
又
∵ $AB = CD$，
∴ $FH = EH$，
根据等腰三角形等边对等角，得$∠ HFE = ∠ HEF$，
因此$∠ BME = ∠ CNE$。
(2) △OMN是等腰三角形，理由如下：
如图2，取BD的中点P，连接PE、PF。
∵ E、F分别是BC、AD的中点，P为BD中点，
∴ PF是△ABD的中位线，PE是△BCD的中位线。
根据三角形中位线定理，得$PF // AB$，$PF = \frac{1}{2}AB$；$PE // CD$，$PE = \frac{1}{2}CD$。
由平行线的内错角相等，得$∠ PEF = ∠ OMN$，$∠ PFE = ∠ ONM$。
又
∵ $AB = CD$，
∴ $PF = PE$，
根据等腰三角形等边对等角，得$∠ PEF = ∠ PFE$，
因此$∠ OMN = ∠ ONM$，
根据等腰三角形等角对等边，得$OM = ON$，
故△OMN是等腰三角形。
【答案】
(1) 证明成立；(2) △OMN是等腰三角形。
【知识点】
三角形中位线定理、平行线性质、等腰三角形判定
【点评】
本题通过构造中位线将分散的线段关系转化为可利用的等量关系，核心考查中位线定理的应用，辅助线构造是解题关键，属于中等难度的几何证明题，能有效考察学生的几何逻辑推理能力。
【难度系数】
0.5
25. (8分)如图,正方形ABCD中,AB=4,E是对角线AC上的一点,连接DE,过点E作EF⊥ED,交AB于点F,以DE,EF为邻边作矩形DEFG,连接AG.
(1)求证:四边形DEFG是正方形;
(2)求AE + AG的长;
(3)当$CE=\sqrt{2}$时,求DE的长.
(1)求证:四边形DEFG是正方形;
(2)求AE + AG的长;
(3)当$CE=\sqrt{2}$时,求DE的长.
答案
【点拨】本题考查正方形的判定和性质,全等三角形的判定和性质,矩形的性质.
【解析】(1)证明:如图,过点E分别作EM⊥AD于点M,EN⊥AB于点N.
∵ 四边形ABCD是正方形,
∴ ∠EAD = ∠EAB.
∵ EM⊥AD,EN⊥AB,
∴ EM = EN.
∵ ∠EMA = ∠ENA = ∠DAB = 90°,
∴ 四边形ANEM是矩形.
∵ EF⊥DE,
∴ ∠MEN = ∠DEF = 90°,
∴ ∠DEM = ∠FEN.
∴ △EDM≌△ENF(ASA),
∴ ED = EF.
∵ 四边形DEFG是矩形,
∴ 四边形DEFG是正方形.
(2)
∵ 四边形DEFG是正方形,四边形ABCD是正方形,
∴ DG = DE,DC = DA = AB = 4,∠GDE = ∠ADC = 90°,
∴ ∠ADG = ∠CDE,$AC = \sqrt{AD^2 + CD^2} = 4\sqrt{2}$,
∴ △ADG≌△CDE(SAS),
∴ AG = CE,
∴ AE + AG = AE + EC = AC = $4\sqrt{2}$.
(3)如题图,过点E作EH⊥CD于点H,
∵ ∠HCE = 45°,
∴ △HCE是等腰直角三角形.
∵ $CE = \sqrt{2}$,
∴ HE = CH = 1,
∴ DH = 3,
∴ $DE = \sqrt{3^2 + 1^2} = \sqrt{10}$.
解析
【分析】
本题是正方形的综合题，解题思路如下：
(1) 要证矩形DEFG是正方形，需证明一组邻边相等。利用正方形对角线平分内角的性质，作辅助线EM⊥AD、EN⊥AB，结合角平分线性质得EM=EN，再通过角的关系证明△EDM≌△ENF，从而得到DE=EF，结合矩形条件即可判定为正方形；
(2) 要求AE+AG，通过证明△ADG≌△CDE（SAS），将AG转化为CE，因此AE+AG=AE+CE=AC，利用正方形边长计算AC长度即可；
(3) 求DE的长，过E作EH⊥CD，利用正方形对角线与边的夹角为45°，得△HCE是等腰直角三角形，算出EH和CH，再用勾股定理计算DE。
【解析】
(1) 证明：如图，过点E分别作EM⊥AD于点M，EN⊥AB于点N。
∵ 四边形ABCD是正方形，
∴ ∠EAD = ∠EAB。
∵ EM⊥AD，EN⊥AB，
∴ EM = EN。
∵ ∠EMA = ∠ENA = ∠DAB = 90°，
∴ 四边形ANEM是矩形。
∵ EF⊥DE，
∴ ∠MEN = ∠DEF = 90°，
∴ ∠DEM = ∠FEN。
∴ △EDM≌△ENF(ASA)，
∴ ED = EF。
∵ 四边形DEFG是矩形，
∴ 四边形DEFG是正方形。
(2)
∵ 四边形DEFG是正方形，四边形ABCD是正方形，
∴ DG = DE，DC = DA = AB = 4，∠GDE = ∠ADC = 90°，
∴ ∠ADG = ∠CDE，$AC = \sqrt{AD^2 + CD^2} = \sqrt{4^2 + 4^2} = 4\sqrt{2}$，
∴ △ADG≌△CDE(SAS)，
∴ AG = CE，
∴ AE + AG = AE + EC = AC = $4\sqrt{2}$。
(3) 过点E作EH⊥CD于点H，
∵ ∠HCE = 45°，
∴ △HCE是等腰直角三角形。
∵ $CE = \sqrt{2}$，
∴ HE = CH = 1，
∴ DH = CD - CH = 4 - 1 = 3，
∴ $DE = \sqrt{DH^2 + HE^2} = \sqrt{3^2 + 1^2} = \sqrt{10}$。
【答案】
(1) 四边形DEFG是正方形；
(2) $4\sqrt{2}$；
(3) $\sqrt{10}$
【知识点】
正方形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理
【点评】
本题综合考查正方形的性质与判定、全等三角形的应用及勾股定理，需通过作辅助线构造全等三角形，将线段转化简化计算，是正方形综合题的典型题型，对学生的逻辑推理能力要求较高。
【难度系数】
0.5
本题是正方形的综合题，解题思路如下：
(1) 要证矩形DEFG是正方形，需证明一组邻边相等。利用正方形对角线平分内角的性质，作辅助线EM⊥AD、EN⊥AB，结合角平分线性质得EM=EN，再通过角的关系证明△EDM≌△ENF，从而得到DE=EF，结合矩形条件即可判定为正方形；
(2) 要求AE+AG，通过证明△ADG≌△CDE（SAS），将AG转化为CE，因此AE+AG=AE+CE=AC，利用正方形边长计算AC长度即可；
(3) 求DE的长，过E作EH⊥CD，利用正方形对角线与边的夹角为45°，得△HCE是等腰直角三角形，算出EH和CH，再用勾股定理计算DE。
【解析】
(1) 证明：如图，过点E分别作EM⊥AD于点M，EN⊥AB于点N。
∵ 四边形ABCD是正方形，
∴ ∠EAD = ∠EAB。
∵ EM⊥AD，EN⊥AB，
∴ EM = EN。
∵ ∠EMA = ∠ENA = ∠DAB = 90°，
∴ 四边形ANEM是矩形。
∵ EF⊥DE，
∴ ∠MEN = ∠DEF = 90°，
∴ ∠DEM = ∠FEN。
∴ △EDM≌△ENF(ASA)，
∴ ED = EF。
∵ 四边形DEFG是矩形，
∴ 四边形DEFG是正方形。
(2)
∵ 四边形DEFG是正方形，四边形ABCD是正方形，
∴ DG = DE，DC = DA = AB = 4，∠GDE = ∠ADC = 90°，
∴ ∠ADG = ∠CDE，$AC = \sqrt{AD^2 + CD^2} = \sqrt{4^2 + 4^2} = 4\sqrt{2}$，
∴ △ADG≌△CDE(SAS)，
∴ AG = CE，
∴ AE + AG = AE + EC = AC = $4\sqrt{2}$。
(3) 过点E作EH⊥CD于点H，
∵ ∠HCE = 45°，
∴ △HCE是等腰直角三角形。
∵ $CE = \sqrt{2}$，
∴ HE = CH = 1，
∴ DH = CD - CH = 4 - 1 = 3，
∴ $DE = \sqrt{DH^2 + HE^2} = \sqrt{3^2 + 1^2} = \sqrt{10}$。
【答案】
(1) 四边形DEFG是正方形；
(2) $4\sqrt{2}$；
(3) $\sqrt{10}$
【知识点】
正方形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理
【点评】
本题综合考查正方形的性质与判定、全等三角形的应用及勾股定理，需通过作辅助线构造全等三角形，将线段转化简化计算，是正方形综合题的典型题型，对学生的逻辑推理能力要求较高。
【难度系数】
0.5
