20. (6分)某市对一大型超市销售的甲、乙、丙3种大米进行质量检测,共抽查大米200袋,质量评定分为A,B两个等级(A级优于B级),相应数据的统计图如图所示.
根据所给信息,解决下列问题:
(1)$a=$,$b=$;
(2)已知该超市现有乙种大米750袋,根据检测结果,请你估计该超市乙种大米中有多少袋B级大米；
(3)对于该超市的甲种和丙种大米,你会选择购买哪一种?运用统计知识简述理由.

【点拨】本题考查条形统计图和扇形统计图.
【解析】(1)$\dfrac{108}{360} × 100\% = 30\%$,
∴ 抽查甲种大米的袋数是$200 × 30\% = 60$(袋),
∴ $a = 60 - 5 = 55$,
∴ $b = 200 - 60 - 65 - 10 - 60 = 5$.
故答案为55,5.
(2)$750 × \dfrac{10}{75} = 100$(袋).
答:估计该超市乙种大米中有100袋B级大米.
(3)选择购买丙种大米. 理由:
∵ 该超市的甲种大米中A级大米所占的百分比是$\dfrac{55}{60} × 100\% \approx 91.7\%$,丙种大米中A级大米所占的百分比是$\dfrac{60}{65} × 100\% \approx 92.3\%$,
∴ 应选择购买丙种大米.

【分析】本题需结合条形统计图和扇形统计图的关联信息解题：首先通过扇形图中甲的圆心角占比算出甲种大米的总袋数，结合条形图中甲的B级袋数求出a；再利用总抽查袋数200，减去已知各部分袋数求出b；接着计算乙种大米中B级的占比，用样本估计总体得到超市乙种大米中B级的数量；最后分别计算甲、丙两种大米的A级占比，比较后选择A级占比更高的品种。
【解析】(1) 扇形图中甲的圆心角为108°，则甲种大米占抽查总袋数的比例为：$\frac{108}{360}×100\% = 30\%$，抽查甲种大米的总袋数为：$200×30\% = 60$（袋）。
甲种大米中B级有5袋，故A级袋数$a = 60 - 5 = 55$。
三种大米总袋数为200袋，因此$b = 200 - (55 + 5) - (65 + 10) - 60 = 5$。
(2) 抽查的乙种大米总袋数为$65 + 10 = 75$（袋），其中B级大米占比为$\frac{10}{75}$。
超市现有乙种大米750袋，估计B级大米数量为：$750×\frac{10}{75}=100$（袋）。
(3) 甲种大米中A级占比：$\frac{55}{60}×100\%≈91.7\%$；
丙种大米总袋数为$60 + 5 = 65$（袋），A级占比：$\frac{60}{65}×100\%≈92.3\%$；
因为$92.3\%＞91.7\%$，丙种大米A级占比更高，故选择购买丙种大米。
【答案】55，5；100袋；选择购买丙种大米
【知识点】条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体
【点评】本题结合两种统计图的信息考查统计应用，需理解统计图间的数量关系，利用样本特征估计总体，难度适中。
【难度系数】0.6

21. (6分)(1)请用直尺(不带刻度)和圆规在图中作菱形BDEF,要求点D,E,F分别在边BC,AC和AB上(不写作法,保留作图痕迹);
(2)若$∠ ABC = 60°$,$∠ BAC = 75°$,$AB = 6\sqrt{3}$,则菱形BDEF的边长为.

【点拨】本题考查尺规作图,菱形的判定和性质.
【解析】(1)如图,菱形BDEF即为所求.
(2)设BE与DF相交于点O,如图.
∵ ∠ABC = 60°,
∴ ∠EBF = 30°.
∵ ∠BAC = 75°,
∴ ∠BEA = 75°,
∴ ∠BAC = ∠BEA,
∴ $BE = BA = 6\sqrt{3}$.
∵ 四边形BDEF为菱形,
∴ $DF ⊥ BE$,$OB = \dfrac{1}{2}BE = 3\sqrt{3}$. 在Rt△BOF中,由勾股定理,易得OF = 3,
∴ BF = 2OF = 6,即菱形BDEF的边长为6. 故答案为6.

【分析】
首先，尺规作菱形BDEF需依据菱形“四条边相等”或“对角线互相垂直平分”的性质，结合直尺和圆规的作图方法，在BC、AC、AB上确定对应点；求菱形边长时，需先利用三角形内角和推导角度关系，得出关键线段BE的长度，再结合菱形对角线垂直的性质，在直角三角形中运用三角函数计算边长。
【解析】
(1) 尺规作图：根据菱形判定，作BD=BF，再分别作EF//BC、DE//AB，即可得到菱形BDEF，作图痕迹保留（如图）。
(2) 设BE与DF相交于点O：
① 菱形对角线平分内角，由∠ABC=60°得∠EBF=30°；
② 在△ABE中，∠BAC=75°，∠ABE=∠ABC - ∠EBF=60°-30°=30°，故∠BEA=180°-75°-30°=75°，因此∠BAC=∠BEA，得BE=BA=6√3；
③ 菱形对角线互相垂直平分，故DF⊥BE，OB=1/2 BE=3√3；
④ 在Rt△BOF中，∠OBF=30°，则OF=OB·tan30°=3√3×(1/√3)=3，故BF=2OF=6，即菱形BDEF的边长为6。
【答案】6
【知识点】尺规作图、菱形的性质、直角三角形性质
【点评】本题综合考查尺规作图与菱形的性质，需结合三角形内角和、等腰三角形判定及直角三角形三角函数知识解题，逻辑连贯性较强，是中等难度的几何题。
【难度系数】0.6

22. (8分)一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方,如$3+2\sqrt{2}=(1+\sqrt{2})^2$.设$a + b\sqrt{2}=(m + n\sqrt{2})^2$（其中$a,b,m,n$均为正整数）,则有$a + b\sqrt{2}=m^2 + 2n^2 + 2mn\sqrt{2}$,$\therefore a=m^2 + 2n^2,b=2mn$,这样可以把部分$a + b\sqrt{2}$的式子化为平方式.
请你仿照上述的方法探索并解决下列问题:
(1)当$a,b,m,n$均为正整数时,若$a + b\sqrt{3}=(m + n\sqrt{3})^2$,用含$m,n$的式子分别表示$a,b$,得$a=\_\_\_\_\_\_,b=\_\_\_\_\_\_$;
(2)找一组正整数$a,b,m,n$填空:$\_\_\_\_\_\_+\_\_\_\_\_\_\sqrt{5}=(\_\_\_\_\_\_+\_\_\_\_\_\_\sqrt{5})^2$;
(3)化简:$\frac{1}{\sqrt{16 - 6\sqrt{7}}}-\frac{1}{\sqrt{11 + 4\sqrt{7}}}$.

【点拨】本题考查分母有理化,完全平方公式,二次根式的化简.
【解析】(1)$\because a + b\sqrt{3} = (m + n\sqrt{3})^2$,
$(m + n\sqrt{3})^2 = m^2 + 2mn\sqrt{3} + 3n^2$,
$\therefore a = m^2 + 3n^2,b = 2mn$,故答案为$m^2 + 3n^2,2mn$.
(2)设$a + b\sqrt{5} = (m + n\sqrt{5})^2$,$\therefore a = m^2 + 5n^2,b = 2mn$,
若令m = 1,n = 2,则a = 21,b = 4.
故答案为21,4,1,2(答案不唯一).
(3) $\dfrac{1}{\sqrt{16 - 6\sqrt{7}}} - \dfrac{1}{\sqrt{11 + 4\sqrt{7}}}$
$= \dfrac{1}{\sqrt{(3 - \sqrt{7})^2}} - \dfrac{1}{\sqrt{(\sqrt{7} + 2)^2}}$
$= \dfrac{1}{3 - \sqrt{7}} - \dfrac{1}{\sqrt{7} + 2}$
$= \dfrac{3 + \sqrt{7}}{(3 - \sqrt{7})(3 + \sqrt{7})} - \dfrac{\sqrt{7} - 2}{(\sqrt{7} + 2)(\sqrt{7} - 2)}$
$= \dfrac{3 + \sqrt{7}}{2} - \dfrac{\sqrt{7} - 2}{3}$
$= \dfrac{3}{2} + \dfrac{2}{3} + \dfrac{\sqrt{7}}{2} - \dfrac{\sqrt{7}}{3}$
$= \dfrac{13}{6} + \dfrac{\sqrt{7}}{6}$
$= \dfrac{13 + \sqrt{7}}{6}.$

【分析】
本题的解题思路是：首先利用完全平方公式展开等式右边的式子，根据等式两边有理部分、无理部分的系数对应相等，求解含m、n的表达式；对于找正整数的问题，只需代入合适的正整数m、n即可得到一组解；化简部分需先将根号内的式子转化为完全平方形式，再开方后进行分母有理化，最后计算结果。
【解析】
(1) 因为 $a + b\sqrt{3} = (m + n\sqrt{3})^2$，根据完全平方公式展开右边得：$(m + n\sqrt{3})^2 = m^2 + 2mn\sqrt{3} + 3n^2$，等式两边对应项系数相等，因此 $a = m^2 + 3n^2$，$b = 2mn$。
(2) 由(1)的结论，$a = m^2 +5n^2$，$b=2mn$，取正整数$m=1$，$n=2$，则$a=1^2 +5×2^2=21$，$b=2×1×2=4$，因此一组解为 $21 +4\sqrt{5}=(1 +2\sqrt{5})^2$（答案不唯一）。
(3) 化简 $\frac{1}{\sqrt{16 - 6\sqrt{7}}}-\frac{1}{\sqrt{11 + 4\sqrt{7}}}$：
先将根号内的式子转化为完全平方：
$16 -6\sqrt{7}=9 -6\sqrt{7} +7=(3 - \sqrt{7})^2$，
$11 +4\sqrt{7}=7 +4\sqrt{7} +4=(\sqrt{7} +2)^2$，
则原式变为 $\frac{1}{\sqrt{(3 - \sqrt{7})^2}} - \frac{1}{\sqrt{(\sqrt{7} +2)^2}}$，
因根号开方结果非负，且$3＞\sqrt{7}$，故$\sqrt{(3 - \sqrt{7})^2}=3 - \sqrt{7}$，$\sqrt{(\sqrt{7} +2)^2}=\sqrt{7} +2$，
原式=$\frac{1}{3 - \sqrt{7}} - \frac{1}{\sqrt{7} +2}$，
分母有理化：
$\frac{1}{3 - \sqrt{7}}=\frac{3 + \sqrt{7}}{(3 - \sqrt{7})(3 + \sqrt{7})}=\frac{3 + \sqrt{7}}{2}$，
$\frac{1}{\sqrt{7} +2}=\frac{\sqrt{7} -2}{(\sqrt{7} +2)(\sqrt{7} -2)}=\frac{\sqrt{7} -2}{3}$，
则原式=$\frac{3 + \sqrt{7}}{2} - \frac{\sqrt{7} -2}{3}$，
通分计算：
=$\frac{3(3 + \sqrt{7}) -2(\sqrt{7} -2)}{6}=\frac{9 +3\sqrt{7} -2\sqrt{7} +4}{6}=\frac{13 + \sqrt{7}}{6}$。
【答案】
(1) $m^2 +3n^2$，$2mn$；
(2) $21$，$4$，$1$，$2$（答案不唯一）；
(3) $\frac{13 + \sqrt{7}}{6}$。
【知识点】
完全平方公式，二次根式化简，分母有理化。
【点评】
本题考查利用完全平方公式处理含根号的式子，以及二次根式的化简与分母有理化，解题核心是掌握对应项系数相等的方法，能将根号内的式子转化为完全平方形式，再进行运算，需注意开方结果的非负性。
【难度系数】
0.6