登录
26. (10分)我们知道,四边形有两组对边,两组对角,两条对角线.已经知道:如果四边形满足下列条件之一:①两组对边分别平行;②两组对边分别相等;③一组对边平行且相等;④对角线互相平分,那么这个四边形是平行四边形.由此,进一步探究……
(1)如图1,在四边形ABCD中,∠A = ∠C,∠B = ∠D.求证:四边形ABCD是平行四边形;
(2)命题:如果四边形满足一组对边平行且另一组对边相等,那么这个四边形是平行四边形.如果这个命题是真命题,请证明;否则,请画出一个反例示意图,并标明所满足的条件;
(3)命题:如果四边形满足一组对边相等且一条对角线平分另一条对角线,那么这个四边形是平行四边形.
①小明认为这是假命题,尝试画出反例.如图2,他先画出四边形ABCD的一条边AB、一条对角线BD.请你利用无刻度直尺和圆规在图2中画出反例;(保留作图痕迹,不写作法)
②小明进一步探索发现,在四边形ABCD中,AB = CD,对角线AC,BD相交于点O,且OB = OD,BD = 8,∠AOB = 60°,对于满足条件的平行四边形ABCD的个数随着AB长度的变化而变化,直接写出平行四边形ABCD的个数及对应的AB的长的取值范围.
(1)如图1,在四边形ABCD中,∠A = ∠C,∠B = ∠D.求证:四边形ABCD是平行四边形;
(2)命题:如果四边形满足一组对边平行且另一组对边相等,那么这个四边形是平行四边形.如果这个命题是真命题,请证明;否则,请画出一个反例示意图,并标明所满足的条件;
(3)命题:如果四边形满足一组对边相等且一条对角线平分另一条对角线,那么这个四边形是平行四边形.
①小明认为这是假命题,尝试画出反例.如图2,他先画出四边形ABCD的一条边AB、一条对角线BD.请你利用无刻度直尺和圆规在图2中画出反例;(保留作图痕迹,不写作法)
②小明进一步探索发现,在四边形ABCD中,AB = CD,对角线AC,BD相交于点O,且OB = OD,BD = 8,∠AOB = 60°,对于满足条件的平行四边形ABCD的个数随着AB长度的变化而变化,直接写出平行四边形ABCD的个数及对应的AB的长的取值范围.
答案
【点拨】本题考查平行四边形的判定和性质,命题.
【解析】(1)证明:
∵ ∠A + ∠B + ∠C + ∠D = 360°,∠A = ∠C,∠B = ∠D,
∴ 2∠A + 2∠B = 360°,
∴ ∠A + ∠B = 180°,
∴ AD//BC,
同理可得AB//CD,
∴ 四边形ABCD是平行四边形.
(2)命题:如果四边形满足一组对边平行且另一组对边相等,那么这个四边形是平行四边形.这个命题是假命题,画出反例示意图如图1所示,在等腰梯形ABCD中,AD//BC,AB = CD,满足条件,但不是平行四边形.(画法不唯一)
(3)①如图2,四边形ABCD即为所求.
②如图3,当BA⊥AC时,
∵ OB = OD = 4,∠AOB = 60°,易得$AB = 2\sqrt{3}$. 当$AB = 2\sqrt{3}$时,存在一个平行四边形ABCD;
当$AB \ge 4$时,任意AB的值对应一个平行四边形ABCD;
当$2\sqrt{3} ＜ AB ＜ 4$时,任意AB的值对应两个平行四边形ABCD;
当$0 ＜ AB ＜ 2\sqrt{3}$时,不存在满足条件的平行四边形ABCD.
解析
【分析】
本题围绕平行四边形的判定、命题真假判断及几何作图展开，分三小问逐步突破：
(1) 要证明四边形是平行四边形，已知两组对角相等，利用四边形内角和定理推导同旁内角互补，进而得到两组对边平行，即可完成证明；
(2) 判断命题真假时，需构造反例：等腰梯形满足“一组对边平行且另一组对边相等”，但不是平行四边形，因此命题为假；
(3) ① 需用无刻度直尺和圆规构造满足AB=CD、对角线互相平分但非平行四边形的反例；② 结合平行四边形对角线互相平分的性质，分情况讨论AB长度对平行四边形存在个数的影响，需结合直角三角形、等边三角形的性质分析。
【解析】
(1) 证明：
∵ 任意四边形内角和为360°，即∠A + ∠B + ∠C + ∠D = 360°，
又已知∠A = ∠C，∠B = ∠D，
∴ 2∠A + 2∠B = 360°，化简得∠A + ∠B = 180°，
根据“同旁内角互补，两直线平行”，可得AD // BC；
同理，∠B + ∠C = 180°，故AB // CD；
根据平行四边形的定义，两组对边分别平行的四边形是平行四边形，因此四边形ABCD是平行四边形。
(2) 该命题是假命题，反例如下：
如图1，等腰梯形ABCD中，AD // BC，AB = CD，满足“一组对边平行且另一组对边相等”，但等腰梯形不是平行四边形，故命题为假。
(3) ① 反例作图：（保留作图痕迹，构造点O为BD中点，使AB=CD且四边形ABCD非平行四边形，如图2所示）
② 分析：
平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于O，故OB=OD=BD/2=4，∠AOB=60°，结合AB=CD，分情况讨论：
当AB=2√3时，存在1个平行四边形；
当AB≥4时，存在1个平行四边形；
当2√3 ＜ AB ＜ 4时，存在2个平行四边形；
当0 ＜ AB ＜ 2√3时，不存在满足条件的平行四边形。
【答案】
(1) 四边形ABCD是平行四边形，证明成立；
(2) 该命题是假命题，反例为等腰梯形（AD//BC，AB=CD）；
(3) ① 反例图如图2；② 当AB=2√3时，平行四边形个数为1；当AB≥4时，个数为1；当2√3＜AB＜4时，个数为2；当0＜AB＜2√3时，个数为0。
【知识点】
平行四边形的判定、命题与定理、等腰梯形的性质
【点评】
本题综合考查平行四边形的判定与性质，命题真假的判断，几何作图及分类讨论思想，需学生熟练掌握平行四边形的判定定理，能构造反例，具备分类分析的能力，是一道综合性较强的几何题。
【难度系数】
0.4
本题围绕平行四边形的判定、命题真假判断及几何作图展开，分三小问逐步突破：
(1) 要证明四边形是平行四边形，已知两组对角相等，利用四边形内角和定理推导同旁内角互补，进而得到两组对边平行，即可完成证明；
(2) 判断命题真假时，需构造反例：等腰梯形满足“一组对边平行且另一组对边相等”，但不是平行四边形，因此命题为假；
(3) ① 需用无刻度直尺和圆规构造满足AB=CD、对角线互相平分但非平行四边形的反例；② 结合平行四边形对角线互相平分的性质，分情况讨论AB长度对平行四边形存在个数的影响，需结合直角三角形、等边三角形的性质分析。
【解析】
(1) 证明：
∵ 任意四边形内角和为360°，即∠A + ∠B + ∠C + ∠D = 360°，
又已知∠A = ∠C，∠B = ∠D，
∴ 2∠A + 2∠B = 360°，化简得∠A + ∠B = 180°，
根据“同旁内角互补，两直线平行”，可得AD // BC；
同理，∠B + ∠C = 180°，故AB // CD；
根据平行四边形的定义，两组对边分别平行的四边形是平行四边形，因此四边形ABCD是平行四边形。
(2) 该命题是假命题，反例如下：
如图1，等腰梯形ABCD中，AD // BC，AB = CD，满足“一组对边平行且另一组对边相等”，但等腰梯形不是平行四边形，故命题为假。
(3) ① 反例作图：（保留作图痕迹，构造点O为BD中点，使AB=CD且四边形ABCD非平行四边形，如图2所示）
② 分析：
平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于O，故OB=OD=BD/2=4，∠AOB=60°，结合AB=CD，分情况讨论：
当AB=2√3时，存在1个平行四边形；
当AB≥4时，存在1个平行四边形；
当2√3 ＜ AB ＜ 4时，存在2个平行四边形；
当0 ＜ AB ＜ 2√3时，不存在满足条件的平行四边形。
【答案】
(1) 四边形ABCD是平行四边形，证明成立；
(2) 该命题是假命题，反例为等腰梯形（AD//BC，AB=CD）；
(3) ① 反例图如图2；② 当AB=2√3时，平行四边形个数为1；当AB≥4时，个数为1；当2√3＜AB＜4时，个数为2；当0＜AB＜2√3时，个数为0。
【知识点】
平行四边形的判定、命题与定理、等腰梯形的性质
【点评】
本题综合考查平行四边形的判定与性质，命题真假的判断，几何作图及分类讨论思想，需学生熟练掌握平行四边形的判定定理，能构造反例，具备分类分析的能力，是一道综合性较强的几何题。
【难度系数】
0.4
