5.【阅读理解】如图15①,小明把一副三角板直角顶点O重叠在一起.如图15②固定三角板AOB,将三角板COD绕点O以每秒15°的速度顺时针旋转,旋转时间为t秒,当OD边与OB边重合时停止转动.

【解决问题】
(1)在旋转过程中,请填出∠AOC,∠BOD之间的数量关系:.
(2)当运动时间为9秒时,图中有角平分线吗?找出并说明理由.
(3)当∠AOC,∠BOD中一个角的度数是另一个角的两倍时,则称射线OC是∠AOB的“优线”,请直接写出所有满足条件的t值.

解：
(1) $∠ AOC + ∠ BOD = 180°$
(2) 图中有角平分线，分别是$OD$平分$∠ AOB$，$OB$平分$∠ COD$，理由如下：
当$t=9$时，三角板$COD$绕点$O$顺时针旋转的角度为$15° × 9 = 135°$。
由题意得$∠ AOB=90°$，$∠ COD=90°$，
因此$∠ BOD = 180° - 135° = 45°$，$∠ BOC = 135° - 90° = 45°$，
可得$∠ AOD = ∠ AOB - ∠ BOD = 90° - 45° = 45°$，
即$∠ AOD = ∠ BOD = 45°$，$∠ BOD = ∠ BOC = 45°$，
所以$OD$平分$∠ AOB$，$OB$平分$∠ COD$。
(3) 满足条件的$t$值为$4$或$8$。

【分析】
(1) 要求∠AOC和∠BOD的数量关系，结合三角板的直角特征，∠AOB=∠COD=90°，将两个角用含公共角∠BOC的式子表示，相加后消去公共角即可得到关系；
(2) 先根据旋转速度和时间计算出旋转的总角度，再结合已知的直角度数，分别计算出图中相关角的度数，若存在两个相邻角度数相等，即可得到角平分线；
(3) 根据“优线”的定义，分两种情况讨论：①∠BOD=2∠AOC，②∠AOC=2∠BOD，结合(1)中的数量关系列方程求解，注意验证t的取值范围符合旋转停止的条件。
【解析】
(1)
∵ ∠AOB=∠COD=90°，
∴ ∠AOC = 90° + ∠BOC，∠BOD = 90° - ∠BOC，
两式相加可得∠AOC + ∠BOD = 90° + ∠BOC + 90° - ∠BOC = 180°。
(2) 图中有角平分线，分别是$OD$平分$∠AOB$，$OB$平分$∠COD$，理由如下：
当$t=9$时，三角板$COD$绕点$O$顺时针旋转的角度为$15° × 9 = 135°$。
由题意得$∠AOB=90°$，$∠COD=90°$，
因此$∠BOD = 180° - 135° = 45°$，$∠BOC = 135° - 90° = 45°$，
可得$∠AOD = ∠AOB - ∠BOD = 90° - 45° = 45°$，
即$∠AOD = ∠BOD = 45°$，$∠BOD = ∠BOC = 45°$，
所以$OD$平分$∠AOB$，$OB$平分$∠COD$。
(3) 旋转t秒时，∠BOD=180°-15t°，结合(1)的结论得∠AOC=15t°，且t≤180÷15=12。
分两种情况：
① 当∠BOD=2∠AOC时，$180-15t=2×15t$，解得t=4；
② 当∠AOC=2∠BOD时，$15t=2×(180-15t)$，解得t=8。
两个解均符合t的取值范围，故满足条件。
【答案】
(1) $\boldsymbol{∠AOC + ∠BOD = 180°}$
(2) 有角平分线，$OD$平分$∠AOB$，$OB$平分$∠COD$，理由见解析
(3) $\boldsymbol{4}$或$\boldsymbol{8}$
【知识点】
角的和差运算；角平分线的定义；旋转的性质
【点评】
本题以三角板旋转为背景考查角的相关运算，解题时要结合图形理清角之间的数量关系，涉及倍数关系时注意分类讨论，避免漏解。
【难度系数】
0.6

1.如果∠1与∠2互补,∠2与∠3互余,则∠1与∠3的关系是
（）

A.∠1=∠3
B.∠1=180°−∠3
C.∠1=90°+∠3
D.以上都不对

C

【分析】
解题时先回忆余角和补角的定义，先把题目中“互补”“互余”的文字描述转化为对应的数量关系等式，两个等式中都含有∠2，我们可以通过代入消去∠2，就能整理得到∠1和∠3的数量关系，再对应选项判断即可。
【解析】
根据补角的定义，两个角互补则和为180°，
∵ ∠1与∠2互补，
∴ ∠1 + ∠2 = 180°，即∠2 = 180° - ∠1 ①；
根据余角的定义，两个角互余则和为90°，
∵ ∠2与∠3互余，
∴ ∠2 + ∠3 = 90° ②；
将①代入②得：180° - ∠1 + ∠3 = 90°，
移项整理可得：∠1 = 90° + ∠3。
因此答案选C。
【答案】
C
【知识点】
补角的定义，余角的定义，等式的性质
【点评】
本题考查余角、补角定义的应用，解题的核心是将角的位置关系转化为数量关系，通过代入消元推导未知角的关系，掌握基础定义即可顺利解题。
【难度系数】
0.8

2. (2023·北京)如图16，$∠ AOC = ∠ BOD = 90°$，$∠ AOD = 126°$，则$∠ BOC$的大小为 ()


A.$36°$
B.$44°$
C.$54°$
D.$63°$

C

【分析】
解题时先梳理图中各角的数量关系：首先已知∠AOC和∠BOD都是90°，∠AOD=126°，我们可以先通过∠AOD与∠AOC的差求出∠COD的度数，再结合∠BOD是直角，用∠BOD减去∠COD就能得到∠BOC的度数；也可以利用两个直角的和等于∠AOD加∠BOC的关系直接推导计算，两种方法都符合角的和差运算规则。
【解析】
解：方法1：
∵ ∠AOC = 90°，∠AOD = 126°
∴ ∠COD = ∠AOD - ∠AOC = 126° - 90° = 36°
又
∵ ∠BOD = 90°
∴ ∠BOC = ∠BOD - ∠COD = 90° - 36° = 54°
方法2：
∵ ∠AOC = ∠BOD = 90°
∴ ∠AOC + ∠BOD = 180°
又
∵ ∠AOC + ∠BOD = ∠AOD + ∠BOC（两角重叠部分为∠BOC，相加后重叠部分被计数2次，拆分后可合并为∠AOD+∠BOC）
将∠AOD=126°代入得：180° = 126° + ∠BOC
∴ ∠BOC = 180° - 126° = 54°
【答案】
C
【知识点】
1. 角的和差计算
2. 直角的定义
【点评】
本题属于角的计算类基础题，核心是准确识别图形中各角的和差关系，选择简便的运算路径即可快速得到结果，也可借助余角的相关性质验证答案的正确性。
【难度系数】
0.8

3. 小明为探究光的折射规律设计了如图17所示实验装置，若∠AOE=30°,则∠CON的大小为.

$\boldsymbol{60°}$

【分析】
解题时首先要明确光的折射实验装置的几何特点：界面和法线互相垂直，二者夹角为90°。已知∠AOE是入射光线与界面的夹角，大小为30°，我们可以利用“互余的两个角和为90°”的性质，先算出入射光线与法线的夹角，再结合图形的角的对应关系，就能求出∠CON的度数。
【解析】
解：由光的折射实验装置的结构特点可知，界面与法线互相垂直，夹角为90°。
已知∠AOE=30°，该角是入射光线与界面的夹角，它和入射光线与法线的夹角互余，因此入射光线和法线的夹角为：$90° - 30° = 60°$。
结合图形的角的对应关系，可得$∠ CON = 60°$。
【答案】
$\boldsymbol{60°}$
【知识点】
余角的计算；垂直的定义
【点评】
本题结合物理实验情境考查角度计算，解题关键是抓住实验装置中界面与法线垂直的特点，灵活运用互余角的性质求解角度。
【难度系数】
0.8