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4.已知∠α为$x°$,∠β为$y°$,若$2x+y=180$,称∠β为∠α的“二倍补角”.
(1)若∠α为$40°$,∠β为∠α的“二倍补角”,求∠β的度数.
(2)若一个角与它的“二倍补角”度数相等,求这个角的度数.
(3)∠A与∠B互余,∠C为∠B的“二倍补角”,∠C与∠D互补,∠D是否是∠A的“二倍补角”?请说明理由.
(1)若∠α为$40°$,∠β为∠α的“二倍补角”,求∠β的度数.
(2)若一个角与它的“二倍补角”度数相等,求这个角的度数.
(3)∠A与∠B互余,∠C为∠B的“二倍补角”,∠C与∠D互补,∠D是否是∠A的“二倍补角”?请说明理由.
答案
解：
(1) 已知∠α=40°，即x=40，代入2x+y=180，
得2×40 + y = 180，
解得y=100。
所以∠β的度数为100°。
(2) 设这个角的度数为x°，由题意它的“二倍补角”也为x°，
代入定义式得2x + x = 180，
即3x=180，
解得x=60。
所以这个角的度数为60°。
(3) ∠D是∠A的“二倍补角”，理由如下：
设∠A=a°，∠B=b°，
因为∠A与∠B互余，所以a + b = 90，即b=90 - a。
因为∠C为∠B的“二倍补角”，所以2b + ∠C = 180，
将b=90 - a代入得：2(90 - a) + ∠C = 180，
整理得∠C=2a。
又因为∠C与∠D互补，所以∠C + ∠D = 180，
将∠C=2a代入得：2a + ∠D = 180，
符合“二倍补角”的定义，因此∠D是∠A的“二倍补角”。
(1) 已知∠α=40°，即x=40，代入2x+y=180，
得2×40 + y = 180，
解得y=100。
所以∠β的度数为100°。
(2) 设这个角的度数为x°，由题意它的“二倍补角”也为x°，
代入定义式得2x + x = 180，
即3x=180，
解得x=60。
所以这个角的度数为60°。
(3) ∠D是∠A的“二倍补角”，理由如下：
设∠A=a°，∠B=b°，
因为∠A与∠B互余，所以a + b = 90，即b=90 - a。
因为∠C为∠B的“二倍补角”，所以2b + ∠C = 180，
将b=90 - a代入得：2(90 - a) + ∠C = 180，
整理得∠C=2a。
又因为∠C与∠D互补，所以∠C + ∠D = 180，
将∠C=2a代入得：2a + ∠D = 180，
符合“二倍补角”的定义，因此∠D是∠A的“二倍补角”。
解析
【分析】
本题是结合新定义的角度运算题，解题核心是准确理解“二倍补角”的定义：若∠α为x°，∠β为y°，满足$2x+y=180$则∠β是∠α的二倍补角。
(1) 第一问已知∠α的度数，直接将x=40代入定义式$2x+y=180$，解关于y的一元一次方程即可得到∠β的度数；
(2) 第二问可设这个角为x°，它的二倍补角也为x°，代入定义式得到关于x的方程，解方程即可；
(3) 第三问先设∠A、∠B的度数为参数，先利用互余的定义得到∠A和∠B的关系，再结合“二倍补角”的定义得到∠C和∠B的关系，替换参数得到∠C和∠A的关系，最后利用互补的定义得到∠C和∠D的关系，推导后验证是否满足∠D是∠A的二倍补角的定义即可。
【解析】
(1) 已知∠α=40°，即x=40，代入$2x+y=180$，
得$2×40 + y = 180$，
解得$y=100$。
所以∠β的度数为$100°$。
(2) 设这个角的度数为x°，由题意它的“二倍补角”也为x°，
代入定义式得$2x + x = 180$，
即$3x=180$，
解得$x=60$。
所以这个角的度数为$60°$。
(3) ∠D是∠A的“二倍补角”，理由如下：
设∠A=a°，∠B=b°，
因为∠A与∠B互余，所以$a + b = 90$，即$b=90 - a$。
因为∠C为∠B的“二倍补角”，所以$2b + ∠C = 180$，
将$b=90 - a$代入得：$2(90 - a) + ∠C = 180$，
整理得$∠C=2a$。
又因为∠C与∠D互补，所以$∠C + ∠D = 180$，
将$∠C=2a$代入得：$2a + ∠D = 180$，
符合“二倍补角”的定义，因此∠D是∠A的“二倍补角”。
【答案】
(1) $100°$；(2) $60°$；(3) ∠D是∠A的“二倍补角”，理由见解析
【知识点】
新定义问题，余角的定义，补角的定义
【点评】
本题结合新定义考查角度的基础运算，核心是准确理解“二倍补角”的等量关系，再结合余角、互补的性质逐步推导角之间的关系，解题时注意理清各个角的逻辑关联即可顺利求解。
【难度系数】
0.7
本题是结合新定义的角度运算题，解题核心是准确理解“二倍补角”的定义：若∠α为x°，∠β为y°，满足$2x+y=180$则∠β是∠α的二倍补角。
(1) 第一问已知∠α的度数，直接将x=40代入定义式$2x+y=180$，解关于y的一元一次方程即可得到∠β的度数；
(2) 第二问可设这个角为x°，它的二倍补角也为x°，代入定义式得到关于x的方程，解方程即可；
(3) 第三问先设∠A、∠B的度数为参数，先利用互余的定义得到∠A和∠B的关系，再结合“二倍补角”的定义得到∠C和∠B的关系，替换参数得到∠C和∠A的关系，最后利用互补的定义得到∠C和∠D的关系，推导后验证是否满足∠D是∠A的二倍补角的定义即可。
【解析】
(1) 已知∠α=40°，即x=40，代入$2x+y=180$，
得$2×40 + y = 180$，
解得$y=100$。
所以∠β的度数为$100°$。
(2) 设这个角的度数为x°，由题意它的“二倍补角”也为x°，
代入定义式得$2x + x = 180$，
即$3x=180$，
解得$x=60$。
所以这个角的度数为$60°$。
(3) ∠D是∠A的“二倍补角”，理由如下：
设∠A=a°，∠B=b°，
因为∠A与∠B互余，所以$a + b = 90$，即$b=90 - a$。
因为∠C为∠B的“二倍补角”，所以$2b + ∠C = 180$，
将$b=90 - a$代入得：$2(90 - a) + ∠C = 180$，
整理得$∠C=2a$。
又因为∠C与∠D互补，所以$∠C + ∠D = 180$，
将$∠C=2a$代入得：$2a + ∠D = 180$，
符合“二倍补角”的定义，因此∠D是∠A的“二倍补角”。
【答案】
(1) $100°$；(2) $60°$；(3) ∠D是∠A的“二倍补角”，理由见解析
【知识点】
新定义问题，余角的定义，补角的定义
【点评】
本题结合新定义考查角度的基础运算，核心是准确理解“二倍补角”的等量关系，再结合余角、互补的性质逐步推导角之间的关系，解题时注意理清各个角的逻辑关联即可顺利求解。
【难度系数】
0.7
1. 如图18，在边长相等的正方形网格中，∠1与∠2的大小关系为（）
A.$∠1＞∠2$
B.$∠1=∠2$
C.$∠1＜∠2$
D.无法确定
A.$∠1＞∠2$
B.$∠1=∠2$
C.$∠1＜∠2$
D.无法确定
答案
A
解析
【分析】
要比较∠1和∠2的大小，我们可以借助网格的特点，观察两个角所在的直角三角形：两个角均为直角三角形的锐角，且它们的水平邻边长度相等，此时只需要比较竖直对边的长度即可，对边越长，说明角的开口越大，角度就越大。
【解析】
假设每个小正方形的边长为1。
观察∠1：它所在的直角三角形中，水平方向的直角边长为2，竖直方向的直角边长为5；
观察∠2：它所在的直角三角形中，水平方向的直角边长同样为2，竖直方向的直角边长为3。
对于锐角来说，当邻边长度相等时，对边越长，角度越大。因为5＞3，所以∠1＞∠2。
【答案】
A
【知识点】
角的大小比较，网格图形的认识
【点评】
本题考查角的大小比较，解题的关键是结合网格的特征，通过对比角所在直角三角形的边长关系判断角度大小，方法直观，是角度比较类的典型基础题。
【难度系数】
0.8
要比较∠1和∠2的大小，我们可以借助网格的特点，观察两个角所在的直角三角形：两个角均为直角三角形的锐角，且它们的水平邻边长度相等，此时只需要比较竖直对边的长度即可，对边越长，说明角的开口越大，角度就越大。
【解析】
假设每个小正方形的边长为1。
观察∠1：它所在的直角三角形中，水平方向的直角边长为2，竖直方向的直角边长为5；
观察∠2：它所在的直角三角形中，水平方向的直角边长同样为2，竖直方向的直角边长为3。
对于锐角来说，当邻边长度相等时，对边越长，角度越大。因为5＞3，所以∠1＞∠2。
【答案】
A
【知识点】
角的大小比较，网格图形的认识
【点评】
本题考查角的大小比较，解题的关键是结合网格的特征，通过对比角所在直角三角形的边长关系判断角度大小，方法直观，是角度比较类的典型基础题。
【难度系数】
0.8
2. 比较两个角的大小,有以下两种方法(规则):
①用量角器度量两个角的大小,用度数表示,则角度大的角大.
②构造图形,如果一个角包含(或覆盖)另一个角,则这个角大.对于如图19给定的∠ABC与∠DEF,用以上两种方法分别比较它们的大小.注:构造图形时,作示意图(草图)即可.
①用量角器度量两个角的大小,用度数表示,则角度大的角大.
②构造图形,如果一个角包含(或覆盖)另一个角,则这个角大.对于如图19给定的∠ABC与∠DEF,用以上两种方法分别比较它们的大小.注:构造图形时,作示意图(草图)即可.
答案
解：
① 度量法：
用量角器分别度量两个角的度数，可得∠ABC≈45°，∠DEF≈60°，
因为45°＜60°，所以∠DEF ＞ ∠ABC。
② 构造图形法：
作草图：将∠ABC的顶点B与∠DEF的顶点E重合，使边BC与边EF重合，让两个角的另一边都落在EF所在直线的同侧，此时边BA落在∠DEF的内部，说明∠DEF包含∠ABC，因此∠DEF ＞ ∠ABC。
① 度量法：
用量角器分别度量两个角的度数，可得∠ABC≈45°，∠DEF≈60°，
因为45°＜60°，所以∠DEF ＞ ∠ABC。
② 构造图形法：
作草图：将∠ABC的顶点B与∠DEF的顶点E重合，使边BC与边EF重合，让两个角的另一边都落在EF所在直线的同侧，此时边BA落在∠DEF的内部，说明∠DEF包含∠ABC，因此∠DEF ＞ ∠ABC。
解析
【分析】
本题要求用指定的两种方法比较两个角的大小，我们可分别对应两种方法的操作规则解题：①度量法的核心是测量角的度数，通过比较度数大小判断角的大小；②构造图形法即叠合法，核心是将两个角顶点、一条边分别重合，观察另一条边的位置判断大小，若一个角的另一边落在另一个角内部，则该角更小。
【解析】
① 度量法：
用量角器分别度量∠ABC和∠DEF的度数，测得∠ABC≈45°，∠DEF≈60°，
因为45°＜60°，所以∠DEF ＞ ∠ABC。
② 构造图形法：
将∠ABC的顶点B与∠DEF的顶点E重合，使边BC与边EF重合，让两个角的另一边BA、ED都落在EF所在直线的同侧，可观察到边BA落在∠DEF的内部，即∠DEF包含∠ABC，因此∠DEF ＞ ∠ABC。
【答案】
∠DEF＞∠ABC
【知识点】
角的大小比较，度量法，叠合法
【点评】
本题侧重考查角的大小比较的两种基础方法，操作难度低，只要熟练掌握两种方法的操作规则即可顺利解答，同时考查了动手操作能力。
【难度系数】
0.9
本题要求用指定的两种方法比较两个角的大小，我们可分别对应两种方法的操作规则解题：①度量法的核心是测量角的度数，通过比较度数大小判断角的大小；②构造图形法即叠合法，核心是将两个角顶点、一条边分别重合，观察另一条边的位置判断大小，若一个角的另一边落在另一个角内部，则该角更小。
【解析】
① 度量法：
用量角器分别度量∠ABC和∠DEF的度数，测得∠ABC≈45°，∠DEF≈60°，
因为45°＜60°，所以∠DEF ＞ ∠ABC。
② 构造图形法：
将∠ABC的顶点B与∠DEF的顶点E重合，使边BC与边EF重合，让两个角的另一边BA、ED都落在EF所在直线的同侧，可观察到边BA落在∠DEF的内部，即∠DEF包含∠ABC，因此∠DEF ＞ ∠ABC。
【答案】
∠DEF＞∠ABC
【知识点】
角的大小比较，度量法，叠合法
【点评】
本题侧重考查角的大小比较的两种基础方法，操作难度低，只要熟练掌握两种方法的操作规则即可顺利解答，同时考查了动手操作能力。
【难度系数】
0.9
