1. ，已知CD是直径，CD⊥AB于E，则，，。

1. AE=BE，弧AD=弧BD，弧AC=弧BC。

【分析】
本题考查垂径定理的直接应用，解题时首先观察题干条件：CD为圆的直径，且CD垂直于弦AB，完全符合垂径定理的适用前提；接下来回忆垂径定理的核心内容：垂直于弦的直径平分这条弦，同时平分弦所对的优弧和劣弧两类弧，对应定理就能直接得到三个结论。
【解析】
根据垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，且平分弦所对的两条弧。
已知CD是⊙O的直径，CD⊥AB于E：
1. 直径平分弦AB，可得AE=BE；
2. 直径平分弦AB所对的劣弧，可得弧AD=弧BD；
3. 直径平分弦AB所对的优弧，可得弧AC=弧BC。
【答案】
AE=BE，弧AD=弧BD，弧AC=弧BC
【知识点】
1.垂径定理 2.圆的对称性
【点评】
本题属于基础概念应用题，重点考查对垂径定理内容的记忆和直接应用能力，熟练掌握定理内容即可快速作答，是圆相关性质部分的常见基础题型。
【难度系数】
0.9

2. 已知CD是直径，且平分弦AB，AB不是直径，则 ， ， 。

2. CD⊥AB，弧AD=弧BD，弧AC=弧BC。

【分析】
解题时首先定位考点为垂径定理的推论，先梳理已知条件：①CD是圆的直径（即CD过圆心）；②CD平分弦AB，且AB不是直径，恰好符合垂径定理推论的前置条件。根据推论内容，满足上述条件时，首先可推出直径与被平分的弦垂直，其次可推出直径平分这条弦所对的两段弧（分别是劣弧和优弧），依次写出三个结论即可。
【解析】
根据垂径定理的推论：平分非直径弦的直径垂直于这条弦，并且平分弦所对的两条弧。
已知CD为直径，且平分非直径的弦AB，因此可得：
1. CD与AB垂直，即$CD⊥ AB$；
2. CD平分AB所对的劣弧，即$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{BD}$；
3. CD平分AB所对的优弧，即$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BC}$。
【答案】
$CD⊥ AB$，$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{BD}$，$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BC}$
【知识点】
垂径定理推论，弦弧关系，圆的基本性质
【点评】
本题属于基础概念应用题，重点考查垂径定理推论的应用，需注意推论中“被平分的弦不是直径”的限制条件，牢记定理的前提和对应结论就能快速作答。
【难度系数】
0.8

3.在垂径定理的推论中,能去掉括号中“不是直径”这四个字吗? 如图,AB,CD是$\odot O$中两条直径,AB平分弦CD,但AB与CD垂直吗?

不能去掉“不是直径”这四个字；AB与CD不一定垂直，任意两条直径都互相平分，但只有夹角为90°时才垂直。

【分析】
要解决这个问题，首先需回忆垂径定理推论的具体内容，明确“不是直径”是对被平分弦的限定条件。我们可以通过举反例的思路验证该条件能否省略：如果被平分的弦本身是直径，那么圆内任意两条直径都互相平分，但它们的夹角不一定是90°，这就会不符合推论中“直径垂直于弦”的结论，结合题图中两条直径的情况即可完成判断。
【解析】
1. 垂径定理的推论为：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。如果去掉“不是直径”四个字，当被平分的弦是直径时，圆的任意两条直径都互相平分，但二者夹角可以是任意角度，不一定为90°，不满足推论中“垂直于弦”的结论，因此“不是直径”这四个字不能去掉。
2. 题图中AB、CD均为⊙O的直径，根据直径的性质，AB和CD互相平分，但二者夹角不一定为90°，因此AB与CD不一定垂直，只有夹角为90°时才垂直。
【答案】
不能去掉“不是直径”这四个字；AB与CD不一定垂直，任意两条直径都互相平分，但只有夹角为90°时才垂直。
【知识点】
垂径定理及推论、圆的直径的性质
【点评】
本题侧重考查对垂径定理推论限定条件的理解，通过举反例的方式可快速判断结论是否成立，学习定理时要注意明确其适用的前提条件，避免因忽略限定内容出现错误。
【难度系数】
0.8

合作学习
如图,过圆心O作$OE ⊥ AB$,垂足为点E,交$\odot O$于点D.其中OE叫作弦心距(即圆心到弦的距离),ED叫作弓形高(弧的中点到弦的距离).
已知弦长$AB = a$,弓形高$ED = h$,如何求弦心距$OE(d)$?半径$r$呢?
【归纳总结】上图中的4个量中,已知其中两个,均可求出另两个.

已知弦长$a$,弓形高$h$ 可由$r^2 = (\frac{a}{2})^2 + (r-d)^2$,求得$r$ $d =$
已知弦长$a$,弦心距$d$ $r =$ $h =$
已知弦长$a$,半径$r$ $d =$ $h =$
已知半径$r$,弦心距$d$ $a =$ $h =$
... ... ...

1. 已知弦长a，弓形高h：d = r - h
2. 已知弦长a，弦心距d：r = $\sqrt{d^2 + (\frac{a}{2})^2}$，h = r - d
3. 已知弦长a，半径r：d = $\sqrt{r^2 - (\frac{a}{2})^2}$，h = $r - \sqrt{r^2 - (\frac{a}{2})^2}$
4. 已知半径r，弦心距d：a = $2\sqrt{r^2 - d^2}$，h = r - d

【分析】
本题考查垂径定理与勾股定理的结合应用，解题核心是抓住三个基本关系：①由垂径定理可得，垂直于弦的直径平分弦，因此半弦长为$\frac{a}{2}$；②半径$r$、弦心距$d$、弓形高$h$满足$r=d+h$；③半径、半弦长、弦心距构成直角三角形，满足勾股定理$r^2=d^2+(\frac{a}{2})^2$。已知四个量中的任意两个，通过联立上述关系变形即可求出剩余两个量。
【解析】
先明确基础关系：
由垂径定理，$OE⊥ AB$，故$AE=\frac{1}{2}AB=\frac{a}{2}$；
$OD$为圆的半径，故$OD=OE+ED$，即$r=d+h$；
在$Rt△ OAE$中，由勾股定理得$OA^2=OE^2+AE^2$，即$r^2=d^2+(\frac{a}{2})^2$。
1. 已知弦长$a$，弓形高$h$：
由$r=d+h$，移项得$d=r-h$。
2. 已知弦长$a$，弦心距$d$：
将$d$、$\frac{a}{2}$代入勾股定理，得$r=\sqrt{d^2+(\frac{a}{2})^2}$；结合$r=d+h$，得$h=r-d$。
3. 已知弦长$a$，半径$r$：
将$r$、$\frac{a}{2}$代入勾股定理变形，得$d=\sqrt{r^2-(\frac{a}{2})^2}$；代入$h=r-d$，得$h=r-\sqrt{r^2-(\frac{a}{2})^2}$。
4. 已知半径$r$，弦心距$d$：
由勾股定理变形得$\frac{a}{2}=\sqrt{r^2-d^2}$，故$a=2\sqrt{r^2-d^2}$；弓形高$h=r-d$。
【答案】
1. 已知弦长$a$，弓形高$h$：$\boldsymbol{d = r - h}$
2. 已知弦长$a$，弦心距$d$：$\boldsymbol{r = \sqrt{d^2 + (\frac{a}{2})^2}}$，$\boldsymbol{h = r - d}$
3. 已知弦长$a$，半径$r$：$\boldsymbol{d = \sqrt{r^2 - (\frac{a}{2})^2}}$，$\boldsymbol{h = r - \sqrt{r^2 - (\frac{a}{2})^2}}$
4. 已知半径$r$，弦心距$d$：$\boldsymbol{a = 2\sqrt{r^2 - d^2}}$，$\boldsymbol{h = r - d}$
【知识点】
垂径定理；勾股定理；代数式变形
【点评】
本题是圆中弦长相关计算的基础题型，核心是构造“半径、半弦长、弦心距”组成的直角三角形，结合半径、弦心距、弓形高的数量关系，即可实现四个量之间的互推，是解决圆内线段计算问题的常用模型。
【难度系数】
0.8

阅读教科书第124页的例1,求出赵州桥主桥拱的半径.
思考并填空:
(1)在圆中,解决有关弦的问题,常常需要作什么辅助线?
(2)把垂径定理和勾股定理结合起来,容易得到圆的半径$ R $,圆心到弦的距离$ d $,弦长$ a $之间的解析式是.
【归纳总结】在圆中求半径(或弦长,弦心距),通常要构造直角三角形,垂径定理常伴随着勾股定理一起出现.

(1) 过圆心作弦的垂线（即弦心距），连接圆心与弦的两个端点，构造直角三角形；
(2) $R^2 = d^2 + (\frac{a}{2})^2$

【分析】
对于问题(1)，结合垂径定理的应用场景思考：解决弦的相关问题的核心是将圆的问题转化为三角形问题求解，垂径定理的核心是垂直于弦的直径平分弦，因此首先要作过圆心垂直于弦的线段（弦心距），再连接圆心和弦的端点（半径），即可构造直角三角形方便计算。对于问题(2)，明确构造出的直角三角形的三边对应量：半径R是斜边，弦心距d、半弦长$\frac{a}{2}$是两条直角边，结合勾股定理即可推导三者关系式。
【解析】
(1) 解决圆中有关弦的问题时，根据垂径定理的应用要求，先过圆心作弦的垂线（即弦心距），此时该垂线会平分弦，再连接圆心与弦的两个端点（即圆的半径），即可得到由半径、弦心距、半弦长构成的直角三角形，将圆的计算问题转化为直角三角形的计算问题。
(2) 在构造的直角三角形中，斜边为圆的半径$R$，两条直角边分别为圆心到弦的距离$d$、弦长的一半$\frac{a}{2}$，根据勾股定理“直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方”，可得三者的关系式为$R^2 = d^2 + (\frac{a}{2})^2$。
【答案】
(1) 过圆心作弦的垂线（即弦心距），连接圆心与弦的两个端点，构造直角三角形；
(2) $R^2 = d^2 + (\frac{a}{2})^2$
【知识点】
垂径定理、勾股定理、弦长计算
【点评】
本题是圆内线段计算的基础题，重点考查垂径定理的辅助线作法以及和勾股定理的结合使用，掌握这一常规解题思路，可快速解决圆内半径、弦长、弦心距的求解问题。
【难度系数】
0.8