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1.往直径为78 cm的圆柱形容器内装入一些水以后,截面如图所示.若水面宽AB =72 cm,则水的最大深度为(
A.36 cm
B.27 cm
C.24 cm
D.15 cm
C
)A.36 cm
B.27 cm
C.24 cm
D.15 cm
答案
1. C
解析
【分析】
要求水的最大深度，可利用垂径定理求解：首先过圆心作弦AB的垂线，结合垂径定理得到弦长的一半，再在构造出的直角三角形中用勾股定理算出圆心到弦AB的距离，最后用圆的半径减去该距离即可得到水的最大深度。
【解析】
过圆心O作OC⊥AB于点C，延长OC交劣弧AB于点D，连接OA。
∵ OC⊥AB，根据垂径定理，得 $AC = \frac{1}{2}AB = \frac{1}{2} × 72 = 36\ \mathrm{cm}$。
已知圆的直径为78 cm，
∴ 半径 $OA = OD = 78 ÷ 2 = 39\ \mathrm{cm}$。
在Rt△OAC中，由勾股定理得：
$OC = \sqrt{OA^2 - AC^2} = \sqrt{39^2 - 36^2} = \sqrt{1521 - 1296} = \sqrt{225} = 15\ \mathrm{cm}$。
则水的最大深度 $CD = OD - OC = 39 - 15 = 24\ \mathrm{cm}$。
【答案】
C
【知识点】
垂径定理，勾股定理
【点评】
本题是垂径定理在实际问题中的应用，解题关键是通过作辅助线构造直角三角形，将几何问题转化为利用勾股定理计算的问题，属于圆相关的基础常考题。
【难度系数】
0.7
要求水的最大深度，可利用垂径定理求解：首先过圆心作弦AB的垂线，结合垂径定理得到弦长的一半，再在构造出的直角三角形中用勾股定理算出圆心到弦AB的距离，最后用圆的半径减去该距离即可得到水的最大深度。
【解析】
过圆心O作OC⊥AB于点C，延长OC交劣弧AB于点D，连接OA。
∵ OC⊥AB，根据垂径定理，得 $AC = \frac{1}{2}AB = \frac{1}{2} × 72 = 36\ \mathrm{cm}$。
已知圆的直径为78 cm，
∴ 半径 $OA = OD = 78 ÷ 2 = 39\ \mathrm{cm}$。
在Rt△OAC中，由勾股定理得：
$OC = \sqrt{OA^2 - AC^2} = \sqrt{39^2 - 36^2} = \sqrt{1521 - 1296} = \sqrt{225} = 15\ \mathrm{cm}$。
则水的最大深度 $CD = OD - OC = 39 - 15 = 24\ \mathrm{cm}$。
【答案】
C
【知识点】
垂径定理，勾股定理
【点评】
本题是垂径定理在实际问题中的应用，解题关键是通过作辅助线构造直角三角形，将几何问题转化为利用勾股定理计算的问题，属于圆相关的基础常考题。
【难度系数】
0.7
2. 在圆柱形油槽内装有一些油，油槽直径MN为10 dm，截面如图所示，油面宽AB为6 dm. 如果再注入一些油，当油面宽变为8 dm时，油面AB上升(
A.1 dm
B.4 dm
C.3 dm
D.1 dm或7 dm
D
)A.1 dm
B.4 dm
C.3 dm
D.1 dm或7 dm
答案
2. D
解析
【分析】
本题可借助垂径定理和勾股定理求解，解题思路如下：首先根据油槽直径得到圆的半径，再分别计算出油面宽为6dm和8dm时对应的弦心距；需注意油面上升时存在两种位置情况：油面位于圆心下方、油面位于圆心上方，分别计算两种情况的上升高度即可。
【解析】
已知油槽直径MN=10dm，因此圆的半径$r=5dm$。
1. 计算原油面AB对应的弦心距：
过圆心O作$OC⊥ AB$于点C，连接OA，由垂径定理得$AC=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×6=3dm$。
在$Rt△ OAC$中，由勾股定理得：
$OC=\sqrt{OA^2-AC^2}=\sqrt{5^2-3^2}=\sqrt{16}=4dm$。
2. 计算油面宽为8dm时对应的弦心距：
设此时油面为$A'B'$，过O作$OD⊥ A'B'$于点D，连接$OA'$，由垂径定理得$A'D=\frac{1}{2}A'B'=\frac{1}{2}×8=4dm$。
在$Rt△ OA'D$中，由勾股定理得：
$OD=\sqrt{OA'^2-A'D^2}=\sqrt{5^2-4^2}=\sqrt{9}=3dm$。
3. 分情况计算油面上升高度：
① 若新油面在圆心下方（与原AB在圆心同侧）：上升高度为$OC-OD=4-3=1dm$；
② 若新油面在圆心上方（与原AB在圆心异侧）：上升高度为$OC+OD=4+3=7dm$。
因此油面AB上升1dm或7dm。
【答案】
D
【知识点】
1. 垂径定理 2. 勾股定理 3. 分类讨论思想
【点评】
本题的易错点是容易忽略油面上升到圆心另一侧的情况，导致漏解，解题时要结合圆的对称性全面考虑所有可能的位置。
【难度系数】
0.6
本题可借助垂径定理和勾股定理求解，解题思路如下：首先根据油槽直径得到圆的半径，再分别计算出油面宽为6dm和8dm时对应的弦心距；需注意油面上升时存在两种位置情况：油面位于圆心下方、油面位于圆心上方，分别计算两种情况的上升高度即可。
【解析】
已知油槽直径MN=10dm，因此圆的半径$r=5dm$。
1. 计算原油面AB对应的弦心距：
过圆心O作$OC⊥ AB$于点C，连接OA，由垂径定理得$AC=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×6=3dm$。
在$Rt△ OAC$中，由勾股定理得：
$OC=\sqrt{OA^2-AC^2}=\sqrt{5^2-3^2}=\sqrt{16}=4dm$。
2. 计算油面宽为8dm时对应的弦心距：
设此时油面为$A'B'$，过O作$OD⊥ A'B'$于点D，连接$OA'$，由垂径定理得$A'D=\frac{1}{2}A'B'=\frac{1}{2}×8=4dm$。
在$Rt△ OA'D$中，由勾股定理得：
$OD=\sqrt{OA'^2-A'D^2}=\sqrt{5^2-4^2}=\sqrt{9}=3dm$。
3. 分情况计算油面上升高度：
① 若新油面在圆心下方（与原AB在圆心同侧）：上升高度为$OC-OD=4-3=1dm$；
② 若新油面在圆心上方（与原AB在圆心异侧）：上升高度为$OC+OD=4+3=7dm$。
因此油面AB上升1dm或7dm。
【答案】
D
【知识点】
1. 垂径定理 2. 勾股定理 3. 分类讨论思想
【点评】
本题的易错点是容易忽略油面上升到圆心另一侧的情况，导致漏解，解题时要结合圆的对称性全面考虑所有可能的位置。
【难度系数】
0.6
3. 如图，$\odot O$的直径AB垂直于弦CD，垂足为E，AE = 2，CD = 8.
（1）求$\odot O$的半径长；
（2）连接BC，作$OF ⊥ BC$于点F，求OF的长.
（1）求$\odot O$的半径长；
（2）连接BC，作$OF ⊥ BC$于点F，求OF的长.
答案
（1）设⊙O半径为R，则OE = R - 2，CE = 4，由勾股定理得$R^2 = (R-2)^2 + 4^2$，解得R=5，即半径长为5；
（2）由（1）得AB=10，BE=8，CE=4，所以BC=$\sqrt{8^2 + 4^2}=4\sqrt{5}$，OF⊥BC，由垂径定理得BF=CF=$2\sqrt{5}$，在Rt△OBF中，OF=$\sqrt{OB^2 - BF^2}=\sqrt{5^2 - (2\sqrt{5})^2}=\sqrt{5}$，即OF长为$\sqrt{5}$。
（2）由（1）得AB=10，BE=8，CE=4，所以BC=$\sqrt{8^2 + 4^2}=4\sqrt{5}$，OF⊥BC，由垂径定理得BF=CF=$2\sqrt{5}$，在Rt△OBF中，OF=$\sqrt{OB^2 - BF^2}=\sqrt{5^2 - (2\sqrt{5})^2}=\sqrt{5}$，即OF长为$\sqrt{5}$。
解析
【分析】
（1）求圆的半径时，先利用垂径定理得到CE的长度，设半径为R，可表示出OE的长度，再在Rt△OCE中借助勾股定理列方程，即可求解半径。
（2）求OF的长度时，先在Rt△BCE中用勾股定理求出BC的长度，再由垂径定理得到BF为BC的一半，最后在Rt△OBF中用勾股定理计算即可得到OF的长。
【解析】
（1）设$\odot O$的半径为$R$，则$OC=OA=R$。
∵直径$AB⊥$弦$CD$，$CD=8$，根据垂径定理可得：
$CE=\frac{1}{2}CD=4$，
又
∵$AE=2$，
∴$OE=OA-AE=R-2$，
在$Rt△ OCE$中，由勾股定理得$OC^2=OE^2+CE^2$，
代入得：$R^2=(R-2)^2+4^2$，
化简得$4R=20$，解得$R=5$。
（2）由（1）得$AB=2R=10$，$OB=R=5$，
∴$BE=AB-AE=10-2=8$，
在$Rt△ BCE$中，由勾股定理得：
$BC=\sqrt{BE^2+CE^2}=\sqrt{8^2+4^2}=4\sqrt{5}$，
∵$OF⊥BC$且$OF$过圆心$O$，根据垂径定理可得：
$BF=\frac{1}{2}BC=2\sqrt{5}$，
在$Rt△ OBF$中，由勾股定理得：
$OF=\sqrt{OB^2-BF^2}=\sqrt{5^2-(2\sqrt{5})^2}=\sqrt{5}$。
【答案】
（1）$\odot O$的半径长为$\boldsymbol{5}$；
（2）$OF$的长为$\boldsymbol{\sqrt{5}}$。
【知识点】
垂径定理，勾股定理，圆的基本性质
【点评】
本题属于圆的常规基础题，核心考查垂径定理与勾股定理的结合应用，解题关键是构造合适的直角三角形，也可结合方程思想求解未知线段，是圆章节的常考题型。
【难度系数】
0.7
（1）求圆的半径时，先利用垂径定理得到CE的长度，设半径为R，可表示出OE的长度，再在Rt△OCE中借助勾股定理列方程，即可求解半径。
（2）求OF的长度时，先在Rt△BCE中用勾股定理求出BC的长度，再由垂径定理得到BF为BC的一半，最后在Rt△OBF中用勾股定理计算即可得到OF的长。
【解析】
（1）设$\odot O$的半径为$R$，则$OC=OA=R$。
∵直径$AB⊥$弦$CD$，$CD=8$，根据垂径定理可得：
$CE=\frac{1}{2}CD=4$，
又
∵$AE=2$，
∴$OE=OA-AE=R-2$，
在$Rt△ OCE$中，由勾股定理得$OC^2=OE^2+CE^2$，
代入得：$R^2=(R-2)^2+4^2$，
化简得$4R=20$，解得$R=5$。
（2）由（1）得$AB=2R=10$，$OB=R=5$，
∴$BE=AB-AE=10-2=8$，
在$Rt△ BCE$中，由勾股定理得：
$BC=\sqrt{BE^2+CE^2}=\sqrt{8^2+4^2}=4\sqrt{5}$，
∵$OF⊥BC$且$OF$过圆心$O$，根据垂径定理可得：
$BF=\frac{1}{2}BC=2\sqrt{5}$，
在$Rt△ OBF$中，由勾股定理得：
$OF=\sqrt{OB^2-BF^2}=\sqrt{5^2-(2\sqrt{5})^2}=\sqrt{5}$。
【答案】
（1）$\odot O$的半径长为$\boldsymbol{5}$；
（2）$OF$的长为$\boldsymbol{\sqrt{5}}$。
【知识点】
垂径定理，勾股定理，圆的基本性质
【点评】
本题属于圆的常规基础题，核心考查垂径定理与勾股定理的结合应用，解题关键是构造合适的直角三角形，也可结合方程思想求解未知线段，是圆章节的常考题型。
【难度系数】
0.7
1. 如图，弦AB的长是24，ON⊥AB，垂足为点N，且ON=5，则OA的长为(
A.13
B.7
C.9
D.11
A
)A.13
B.7
C.9
D.11
答案
1. A
解析
【分析】
解题时先观察题干和图形，已知ON垂直于弦AB，首先联想到垂径定理，垂直于弦的半径会平分弦，因此可以先求出弦AB一半的长度；此时△OAN为直角三角形，已知两条直角边的长度，再用勾股定理即可求出斜边OA的长度。
【解析】
解：
∵ON⊥AB，O为圆心
∴根据垂径定理可得：$AN=\frac{1}{2}AB$
已知$AB=24$，代入得$AN=\frac{1}{2}×24=12$
在$Rt△ OAN$中，$∠ ONA=90°$，$ON=5$，$AN=12$
由勾股定理得：$OA=\sqrt{AN^2+ON^2}=\sqrt{12^2+5^2}=\sqrt{144+25}=\sqrt{169}=13$
【答案】
A
【知识点】
垂径定理、勾股定理
【点评】
本题属于圆中线段计算的基础题，解题核心是通过垂径定理将已知弦长转化为直角三角形的直角边，再结合勾股定理求解半径，掌握两个基础知识点即可快速解题。
【难度系数】
0.8
解题时先观察题干和图形，已知ON垂直于弦AB，首先联想到垂径定理，垂直于弦的半径会平分弦，因此可以先求出弦AB一半的长度；此时△OAN为直角三角形，已知两条直角边的长度，再用勾股定理即可求出斜边OA的长度。
【解析】
解：
∵ON⊥AB，O为圆心
∴根据垂径定理可得：$AN=\frac{1}{2}AB$
已知$AB=24$，代入得$AN=\frac{1}{2}×24=12$
在$Rt△ OAN$中，$∠ ONA=90°$，$ON=5$，$AN=12$
由勾股定理得：$OA=\sqrt{AN^2+ON^2}=\sqrt{12^2+5^2}=\sqrt{144+25}=\sqrt{169}=13$
【答案】
A
【知识点】
垂径定理、勾股定理
【点评】
本题属于圆中线段计算的基础题，解题核心是通过垂径定理将已知弦长转化为直角三角形的直角边，再结合勾股定理求解半径，掌握两个基础知识点即可快速解题。
【难度系数】
0.8
2. 如图，AB是$\odot O$的弦，当半径$OA = 4$，$∠ AOB = 120°$时，弦$AB$的长为(
A.2
B.4
C.$2\sqrt{3}$
D.$4\sqrt{3}$
D
)A.2
B.4
C.$2\sqrt{3}$
D.$4\sqrt{3}$
答案
2. D
解析
【分析】
要求弦AB的长，首先观察△OAB，OA、OB都是⊙O的半径，故OA=OB，△OAB是顶角为120°的等腰三角形。对于等腰三角形求底边长度，我们可以过圆心作AB的垂线，既可以利用垂径定理得到AB被垂足平分，又可以利用等腰三角形三线合一的性质将120°的顶角拆分为两个60°的角，把问题转化为解直角三角形，先求出AB的一半长度，再乘2即可得到AB的总长。
【解析】
解：过点O作OC⊥AB于点C，
根据垂径定理可得：$AC=BC=\frac{1}{2}AB$，
∵OA=OB，OC⊥AB，$∠ AOB=120°$，
∴$∠ AOC=\frac{1}{2}∠ AOB=60°$（等腰三角形三线合一），
在Rt△AOC中，OA=4，$∠ AOC=60°$，
∴$AC=OA·\sin60°=4×\frac{\sqrt{3}}{2}=2\sqrt{3}$，
∴$AB=2AC=4\sqrt{3}$。
【答案】
D
【知识点】
垂径定理、等腰三角形性质、解直角三角形
【点评】
本题是圆中弦长计算的典型基础题，解题关键是作弦的垂线构造直角三角形，结合垂径定理和等腰三角形性质将未知弦长转化为直角三角形的边长求解，这种作辅助线的方法是圆相关计算的常用技巧，需要熟练掌握。
【难度系数】
0.7
要求弦AB的长，首先观察△OAB，OA、OB都是⊙O的半径，故OA=OB，△OAB是顶角为120°的等腰三角形。对于等腰三角形求底边长度，我们可以过圆心作AB的垂线，既可以利用垂径定理得到AB被垂足平分，又可以利用等腰三角形三线合一的性质将120°的顶角拆分为两个60°的角，把问题转化为解直角三角形，先求出AB的一半长度，再乘2即可得到AB的总长。
【解析】
解：过点O作OC⊥AB于点C，
根据垂径定理可得：$AC=BC=\frac{1}{2}AB$，
∵OA=OB，OC⊥AB，$∠ AOB=120°$，
∴$∠ AOC=\frac{1}{2}∠ AOB=60°$（等腰三角形三线合一），
在Rt△AOC中，OA=4，$∠ AOC=60°$，
∴$AC=OA·\sin60°=4×\frac{\sqrt{3}}{2}=2\sqrt{3}$，
∴$AB=2AC=4\sqrt{3}$。
【答案】
D
【知识点】
垂径定理、等腰三角形性质、解直角三角形
【点评】
本题是圆中弦长计算的典型基础题，解题关键是作弦的垂线构造直角三角形，结合垂径定理和等腰三角形性质将未知弦长转化为直角三角形的边长求解，这种作辅助线的方法是圆相关计算的常用技巧，需要熟练掌握。
【难度系数】
0.7
3. 在半径为3的圆中，一条弦长为4，则圆心到这条弦的距离是(
A.3
B.4
C.$\sqrt{5}$
D.$\sqrt{7}$
C
)A.3
B.4
C.$\sqrt{5}$
D.$\sqrt{7}$
答案
3. C
解析
【分析】
解决本题的核心是利用垂径定理构造直角三角形，再结合勾股定理计算。首先我们需要明确：圆中求圆心到弦的距离时，通常过圆心作弦的垂线，根据垂径定理，垂线会平分弦，此时半径、半弦长、圆心到弦的距离恰好构成直角三角形，三边满足勾股定理，代入已知数值即可求出距离。
【解析】
设该圆的圆心为O，弦为AB，AB=4，过点O作OC⊥AB于点C。
根据垂径定理，垂直于弦的直径平分弦，因此AC=BC=½AB=½×4=2。
已知圆的半径OA=3，在Rt△OAC中，由勾股定理可得：
OC² + AC² = OA²
将OA=3，AC=2代入得：
OC = √(OA² - AC²) = √(3² - 2²) = √(9-4) = √5
即圆心到这条弦的距离是√5，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
垂径定理；勾股定理
【点评】
本题是圆相关的基础常考题，解题关键是掌握“过圆心作弦的垂线构造直角三角形”的常用辅助线作法，结合勾股定理即可快速求解。
【难度系数】
0.8
解决本题的核心是利用垂径定理构造直角三角形，再结合勾股定理计算。首先我们需要明确：圆中求圆心到弦的距离时，通常过圆心作弦的垂线，根据垂径定理，垂线会平分弦，此时半径、半弦长、圆心到弦的距离恰好构成直角三角形，三边满足勾股定理，代入已知数值即可求出距离。
【解析】
设该圆的圆心为O，弦为AB，AB=4，过点O作OC⊥AB于点C。
根据垂径定理，垂直于弦的直径平分弦，因此AC=BC=½AB=½×4=2。
已知圆的半径OA=3，在Rt△OAC中，由勾股定理可得：
OC² + AC² = OA²
将OA=3，AC=2代入得：
OC = √(OA² - AC²) = √(3² - 2²) = √(9-4) = √5
即圆心到这条弦的距离是√5，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
垂径定理；勾股定理
【点评】
本题是圆相关的基础常考题，解题关键是掌握“过圆心作弦的垂线构造直角三角形”的常用辅助线作法，结合勾股定理即可快速求解。
【难度系数】
0.8
4. 如图，AB是$\odot O$的弦，AB的长为8，P是$\odot O$上一个动点(不与点A，B重合)，过点O作$OC ⊥ AP$于点C，$OD ⊥ PB$于点D，则CD的长为
4
。答案
4. 4
解析
【分析】
解题时首先观察已知条件：OC⊥AP、OD⊥PB，结合圆的垂径定理，可推出C、D分别是弦AP、PB的中点；此时CD是△APB两条边中点的连线，符合三角形中位线的定义，再利用中位线等于第三边一半的性质，结合已知AB的长度即可求出CD的长。
【解析】
解：
∵OC⊥AP，且O为⊙O的圆心，
∴根据垂径定理，C是AP的中点，
同理，
∵OD⊥PB，
∴D是PB的中点，
∴CD是△APB的中位线，
根据三角形中位线定理：三角形的中位线等于第三边的一半，
∴$CD = \frac{1}{2}AB$，
∵AB=8，
∴$CD = \frac{1}{2}×8 = 4$。
【答案】
4
【知识点】
垂径定理；三角形中位线定理
【点评】
本题是圆与三角形结合的基础题型，解题的核心是通过垂径定理得到线段中点，进而识别出三角形中位线，熟练掌握相关定理即可快速解题。
【难度系数】
0.8
解题时首先观察已知条件：OC⊥AP、OD⊥PB，结合圆的垂径定理，可推出C、D分别是弦AP、PB的中点；此时CD是△APB两条边中点的连线，符合三角形中位线的定义，再利用中位线等于第三边一半的性质，结合已知AB的长度即可求出CD的长。
【解析】
解：
∵OC⊥AP，且O为⊙O的圆心，
∴根据垂径定理，C是AP的中点，
同理，
∵OD⊥PB，
∴D是PB的中点，
∴CD是△APB的中位线，
根据三角形中位线定理：三角形的中位线等于第三边的一半，
∴$CD = \frac{1}{2}AB$，
∵AB=8，
∴$CD = \frac{1}{2}×8 = 4$。
【答案】
4
【知识点】
垂径定理；三角形中位线定理
【点评】
本题是圆与三角形结合的基础题型，解题的核心是通过垂径定理得到线段中点，进而识别出三角形中位线，熟练掌握相关定理即可快速解题。
【难度系数】
0.8
