14.《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表，其中第一章“方田”给出计算弧田面积所用公式：弧田面积$=\frac{1}{2}(弦×矢+矢^{2})$，弧田(如图)是由圆弧和其所对的弦所围成的，公式中“弦”指圆弧所对弦长AB，“矢”等于半径长与圆心O到弦的距离之差，在如图所示的弧田中，“弦”为8，“矢”为3，则$\cos∠OAB=(\quad)$

A.$\frac{3}{5}$
B.$\frac{12}{25}$
C.$\frac{4}{5}$
D.$\frac{24}{25}$

D

15. 如图，菱形 $ABCD$ 的对角线 $AC$，$BD$ 交于点 $O$，$E$ 为 $AD$ 的中点，$AC=8$，$OE=6$，那么 $\sin∠ EOD=(\ )$

A.$\frac{1}{3}$
B.$\frac{2}{5}$
C.$\frac{3}{4}$
D.$\frac{2\sqrt{2}}{3}$

15. A 解析 $\because$ 菱形 ABCD 的对角线 AC,BD 相交于点 O,E 为 AD 的中点,$AC=8$,$OE=6$,$\therefore ∠AOD=90°$,$AO=\frac{1}{2}AC=4$,$OE=\frac{1}{2}AD=ED$,$\therefore ∠EOD=∠EDO$,$AD=2×6=12$. 在$\mathrm{Rt}△AOD$中,$\sin∠EOD=\sin∠EDO=\frac{AO}{AD}=\frac{4}{12}=\frac{1}{3}$,故选 A.

16. 如图,在矩形$ABCD$中,$AB=2$,$BC=2\sqrt{5}$,$E$是$BC$的中点,将$△ ABE$沿直线$AE$翻折,点$B$落在点$F$处,连接$CF$,则$\cos∠ ECF$的值为()

A.$\dfrac{2}{3}$
B.$\dfrac{\sqrt{10}}{4}$
C.$\dfrac{\sqrt{5}}{3}$
D.$\dfrac{2\sqrt{5}}{5}$

16. C 解析 由折叠可得,$AB=AF=2$,$BE=EF$,$∠AEB=∠AEF$.$\because$ 点 E 是 BC 的中点,$BC=2\sqrt{5}$,$\therefore BE=CE=EF=\sqrt{5}$,$\therefore ∠EFC=∠ECF$,$AE=\sqrt{2^2+(\sqrt{5})^2}=3$. $\because ∠BEF=∠AEB+∠AEF=∠EFC+∠ECF$,$\therefore ∠ECF=∠AEB$,$\therefore \cos∠ECF=\cos∠AEB=\frac{BE}{AE}=\frac{\sqrt{5}}{3}$.

17. 如图所示，在$□ ABCD$中，$∠ BAD = 30°$，$AD = 6$，$E$为$CD$上的一点，且$BE = 4$，则$\sin∠ ABE$的值是。

17. $\frac{3}{4}$ 解析 如图,过 D,E 两点分别作$DG⊥AB$,$EF⊥AB$. $\because$ 四边形 ABCD 是平行四边形,$\therefore DC// AB$,$\therefore$ 四边形 DGFE 是矩形,$\therefore DG=EF$.
$\because ∠BAD=30°$,$AD=6$,$\therefore DG=EF=3$. $\because BE=4$,$\therefore \sin∠ABE=\frac{EF}{BE}=\frac{3}{4}$,故答案为$\frac{3}{4}$.

18. 如图，AB是$\odot O$的直径，弦$CD ⊥ AB$于点E，F是$\overset{\frown}{AC}$上任意一点，连接AD，DF，AF，若$\tan F=2$，求$\dfrac{CD}{AB}$的值.

18. 解:连接 AC,OC. 易得$∠ACD=∠F$, 在$\mathrm{Rt}△ACE$中,$\tan∠ACD=\frac{AE}{CE}=2$. $\because CD⊥AB$,$\therefore CD=2CE$,$\therefore AE=2CE=CD$. 设$OA=r$,$OE=a$,则$CD=AE=r+a$,$\therefore CE=\frac{r+a}{2}$. 由勾股定理可得,$a^2+(\frac{r+a}{2})^2=r^2$,解得$a_1=\frac{3}{5}r$,$a_2=-r$(舍去),
$\therefore CD=r+\frac{3}{5}r=\frac{8}{5}r$,$\therefore \frac{CD}{AB}=\frac{\frac{8}{5}r}{2r}=\frac{4}{5}$.