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9. 在$△ ABC$中，若$\tan A=1$，$\cos B=\frac{\sqrt{2}}{2}$，则下列判断最确切的是（
A.$△ ABC$是等腰三角形
B.$△ ABC$是等腰直角三角形
C.$△ ABC$是直角三角形
D.$△ ABC$是一般锐角三角形
B
）A.$△ ABC$是等腰三角形
B.$△ ABC$是等腰直角三角形
C.$△ ABC$是直角三角形
D.$△ ABC$是一般锐角三角形
答案
9.B
10. [2025·淮北月考]我们规定:若α是锐角,则$\tan \frac{α}{2} = \frac{\sin α}{1 + \cos α} = \frac{1 - \cos α}{\sin α}$. 已知$\sin 2β = \frac{\sqrt{2}}{2}$,且2β为锐角,根据这个规定求$\tan β$的结果是 (
A.$1 - \frac{\sqrt{2}}{2}$
B.$\frac{\sqrt{2} - 1}{2}$
C.$\sqrt{2} + 1$
D.$\sqrt{2} - 1$
D
)A.$1 - \frac{\sqrt{2}}{2}$
B.$\frac{\sqrt{2} - 1}{2}$
C.$\sqrt{2} + 1$
D.$\sqrt{2} - 1$
答案
10.D
11.若锐角$β$满足$\tan^{2}β - (\sqrt{3} + 1)·\tanβ + \sqrt{3} = 0$,则$β=$
$45°或 60°$
.答案
11.$45°或 60°$
12. 计算：
(1) $\sin^2 30° + \sin 60° - \sin^2 45° + \cos^2 30°$；
(2) $\dfrac{\tan 30° + \tan 45°}{\tan 60° · \tan 45°}$。
(1) $\sin^2 30° + \sin 60° - \sin^2 45° + \cos^2 30°$；
(2) $\dfrac{\tan 30° + \tan 45°}{\tan 60° · \tan 45°}$。
答案
12.(1)解:原式=$\dfrac{\sqrt{3}+1}{2}$.
(2)解:原式=$\dfrac{1+\sqrt{3}}{3}$.
(2)解:原式=$\dfrac{1+\sqrt{3}}{3}$.
13. 已知$β$是锐角，且$\sin(β + 15°) = \frac{\sqrt{3}}{2}$，计算$\sqrt{8} - 4\cosβ - \tan 45° + \tanβ + \tan^2 30°$。
答案
13. 解:$\because \sin(β+15°)=\dfrac{\sqrt{3}}{2},β$是锐角，
$\therefore β+15°=60°,则β=45°$,
$\therefore 原式=2\sqrt{2}-4×\dfrac{\sqrt{2}}{2}-1+1+(\dfrac{\sqrt{3}}{3})^2=\dfrac{1}{3}$.
$\therefore β+15°=60°,则β=45°$,
$\therefore 原式=2\sqrt{2}-4×\dfrac{\sqrt{2}}{2}-1+1+(\dfrac{\sqrt{3}}{3})^2=\dfrac{1}{3}$.
14. 我们规定：$\sin(-x)=-\sin x$，$\cos(-x)=\cos x$，$\sin(x+y)=\sin x · \cos y + \cos x · \sin y$.
(1)求$\sin(-30°)$和$\cos(-60°)$的值；
(2)求$\sin75°$的值；
(3)求$\sin15°$的值.
(1)求$\sin(-30°)$和$\cos(-60°)$的值；
(2)求$\sin75°$的值；
(3)求$\sin15°$的值.
答案
14. 解:(1)$\sin(-30°)=-\sin 30°=-\dfrac{1}{2}$,
$\cos(-60°)=\cos 60°=\dfrac{1}{2}$.
(2)$\sin 75°=\sin(45°+30°)=\sin 45° · \cos 30°+\cos 45° · \sin 30°=\dfrac{\sqrt{2}}{2}×\dfrac{\sqrt{3}}{2}+\dfrac{\sqrt{2}}{2}×\dfrac{1}{2}=\dfrac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$.
(3)$\sin 15°=\sin(60°-45°)=\sin[60°+(-45°)]=\sin 60° · \cos(-45°)+\cos 60° · \sin(-45°)=\dfrac{\sqrt{3}}{2}×\dfrac{\sqrt{2}}{2}+\dfrac{1}{2}×(-\dfrac{\sqrt{2}}{2})=\dfrac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$.(还可以构造$\sin(45°-30°)$,结果也一样)
$\cos(-60°)=\cos 60°=\dfrac{1}{2}$.
(2)$\sin 75°=\sin(45°+30°)=\sin 45° · \cos 30°+\cos 45° · \sin 30°=\dfrac{\sqrt{2}}{2}×\dfrac{\sqrt{3}}{2}+\dfrac{\sqrt{2}}{2}×\dfrac{1}{2}=\dfrac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$.
(3)$\sin 15°=\sin(60°-45°)=\sin[60°+(-45°)]=\sin 60° · \cos(-45°)+\cos 60° · \sin(-45°)=\dfrac{\sqrt{3}}{2}×\dfrac{\sqrt{2}}{2}+\dfrac{1}{2}×(-\dfrac{\sqrt{2}}{2})=\dfrac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$.(还可以构造$\sin(45°-30°)$,结果也一样)
