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3. 选择适当的方法解下列一元二次方程:
(1) $(x-5)^{2}-36=0$; (2) $2x^{2}-4x+1=0$; (3) $3x(x-1)=2-2x$;
(4) $(x-2)^{2}=4(2x+1)^{2}$; (5) $(x-1)(x+2)=4$; (6) $(x-3)^{2}+2x(x-3)=0$.
(1) $(x-5)^{2}-36=0$; (2) $2x^{2}-4x+1=0$; (3) $3x(x-1)=2-2x$;
(4) $(x-2)^{2}=4(2x+1)^{2}$; (5) $(x-1)(x+2)=4$; (6) $(x-3)^{2}+2x(x-3)=0$.
答案
(1) $x_{1}=11, x_{2}=-1$. (2) $x_{1}=1+\frac{\sqrt{2}}{2}, x_{2}=1-\frac{\sqrt{2}}{2}$.
(3) $x_{1}=1, x_{2}=-\frac{2}{3}$. (4) $x_{1}=-\frac{4}{3}, x_{2}=0$.
(5) $x_{1}=-3, x_{2}=2$. (6) $x_{1}=3, x_{2}=1$.
(3) $x_{1}=1, x_{2}=-\frac{2}{3}$. (4) $x_{1}=-\frac{4}{3}, x_{2}=0$.
(5) $x_{1}=-3, x_{2}=2$. (6) $x_{1}=3, x_{2}=1$.
【例4】关于$x$的一元二次方程$ax^{2}-4x+3=0$有两个不相等的实数根,则$a$的取值范围是
$a＜\frac{4}{3}$ 且 $a ≠ 0$
.答案
$a＜\frac{4}{3}$ 且 $a ≠ 0$
4. 已知关于$x$的一元二次方程$(m+1)x^{2}-4x+1=0$有实数根,则$m$的取值范围是
$m ≤ 3$ 且 $m ≠-1$
.答案
4. $m ≤ 3$ 且 $m ≠-1$
5. 已知关于$x$的一元二次方程$x^{2}-(k+3)x+2k+2=0$.
(1) 求证:方程总有两个实数根;
(2) 若方程有一个根小于1,求$k$的取值范围.
(1) 求证:方程总有两个实数根;
(2) 若方程有一个根小于1,求$k$的取值范围.
答案
(1) 证明略. (2) $k＜0$.
【例5】已知关于$x$的方程$x^{2}+2(k-1)x+k^{2}=0$有两个实数根$m$、$n$,且$m+n=mn-1$,则$k$的值为
-3
.答案
-3
6. 已知关于$x$的一元二次方程$mx^{2}-(2m+2)x+(m+1)=0$有两个实数根.
(1) 求$m$的取值范围;
(2) 若方程的两个实数根分别为$α$、$β$,且$α^{2}+β^{2}=1$,求$m$的值.
(1) 求$m$的取值范围;
(2) 若方程的两个实数根分别为$α$、$β$,且$α^{2}+β^{2}=1$,求$m$的值.
答案
(1) $m ≥-1$ 且 $m ≠ 0$.
(2) $-3+\sqrt{5}$.
(2) $-3+\sqrt{5}$.
1. 端午节期间,某超市调查某种水果的销售情况,下面是调查员的对话.小王:"这种水果的进价是每千克22元."小李:"当售价为每千克38元时,每天可售出160千克;若售价每千克每降低3元,则每天的销售量将增加120千克."根据他们的对话,若该超市每天销售这种水果要获得利润3 640元,又要尽可能让顾客得到实惠,则这种水果的售价为每千克
29
元.答案
1. 29
