3. [新情境]【探究情境】
在"圆周角"一课的探究活动中,李老师设计了一份活动单:
已知线段$BC=4$,使用作图工具作$∠ BAC=30°$,尝试操作后思考:
(1) 这样的点$A$唯一吗?
(2) 点$A$的位置有什么特征? 你有什么感悟?
学习小组通过操作、观察、讨论后得到:点$A$的位置不唯一,它在以$BC$为弦的圆弧上(点$B$、$C$除外)……小华同学画出了符合要求的一条圆弧(如图1),即圆中的弧$BAC$.
【展示交流】
(1) 在展示交流中经过比对发现,小明同学所画的角的顶点不在小华所画的圆弧上,而在如图1所示的弓形外部,我们记为点$A'$,请你利用图1证明$∠ BA'C＜30°$;
【提出问题】
(2) 展示交流后,小华同学提出了下面的新问题,请你帮助解决.
①该弧所在圆的半径长为;②$△ ABC$面积的最大值为;
【拓展应用】
(3) 课后,小华所在学习小组应用本组的探究结果,解决了下面这个问题,请你也试一试.
如图2,在$△ ABC$中,$∠ BCA=90°$,$∠ CBA=30°$,$AC=4$.将$AB$沿$CB$方向平移$m$个单位长度至$DE$,$A$、$B$的对应点分别为点$D$、$E$.是否存在这样的$m$,使得直线$DE$上有一点$P$,满足$∠ CPA=45°$,且此时四边形$ADEB$的面积最大? 若存在,求出此时的平移距离$m$;若不存在,请说明理由.

3.(1)证明略 (2)①4 ②$4\sqrt{3}+8$ (3)存在.$m=4\sqrt{2}-2\sqrt{3}+2$.