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1[2025湖北孝感期中,中]若一个自然数的算术平方根是$n$,则从小到大排序的下一个自然数的算术平方根是（
A.$\sqrt{n^2 + 1}$
B.$\sqrt{n} + 1$
C.$n + 1$
D.$\sqrt{n + 1}$
A
）A.$\sqrt{n^2 + 1}$
B.$\sqrt{n} + 1$
C.$n + 1$
D.$\sqrt{n + 1}$
答案
1. A 【解析】一个自然数的算术平方根是 $n$,则这个自然数是 $n^2$,则从小到大排序的下一个自然数为 $n^2+1$,其算术平方根为 $\sqrt{n^2+1}$,故选 A.
解析
【分析】
解题时可按照“求原自然数→找下一个自然数→计算新数的算术平方根”的思路推导：第一步，根据算术平方根的定义，已知一个数的算术平方根，可反推出这个数本身是算术平方根的平方；第二步，自然数依次相差1，所以下一个自然数比原数大1；第三步，再根据算术平方根的定义，写出新数的算术平方根即可得到答案。
【解析】
解：
∵一个自然数的算术平方根是$n$，
根据算术平方根的定义，这个自然数为$n^2$，
∴从小到大排序的下一个自然数为$n^2 + 1$，
∴该自然数的算术平方根为$\sqrt{n^2 + 1}$。
故选A。
【答案】A
【知识点】算术平方根的定义；自然数的概念
【点评】本题考查基础概念的应用，解题的核心是明确算术平方根与原数的对应关系，避免混淆“自然数的下一个数”和“算术平方根的下一个数”的概念，细心推导即可得分。
【难度系数】
0.7
解题时可按照“求原自然数→找下一个自然数→计算新数的算术平方根”的思路推导：第一步，根据算术平方根的定义，已知一个数的算术平方根，可反推出这个数本身是算术平方根的平方；第二步，自然数依次相差1，所以下一个自然数比原数大1；第三步，再根据算术平方根的定义，写出新数的算术平方根即可得到答案。
【解析】
解：
∵一个自然数的算术平方根是$n$，
根据算术平方根的定义，这个自然数为$n^2$，
∴从小到大排序的下一个自然数为$n^2 + 1$，
∴该自然数的算术平方根为$\sqrt{n^2 + 1}$。
故选A。
【答案】A
【知识点】算术平方根的定义；自然数的概念
【点评】本题考查基础概念的应用，解题的核心是明确算术平方根与原数的对应关系，避免混淆“自然数的下一个数”和“算术平方根的下一个数”的概念，细心推导即可得分。
【难度系数】
0.7
2[2025山东济南调研，中]若$\sqrt{a}=3$，$|b|=5$，且$ab＜0$，则$a+b$的算术平方根为（
A.4
B.2
C.$\pm2$
D.3
B
）A.4
B.2
C.$\pm2$
D.3
答案
2. B 【解析】
由$\sqrt{a}=3$得$a＞0$，由$ab＜0$得$a,b$异号，因此$a＞0,b＜0$，结合$\sqrt{a}=3,|b|=5$得$a=9,b=-5$，所以$\sqrt{a+b}=\sqrt{9-5}=2$，故选B.
解析
【分析】
解题时首先从已知条件$\sqrt{a}=3$入手，根据算术平方根的定义，可求出$a$的值，同时确定$a$为正数；再结合$ab＜0$的条件，依据有理数乘法的符号规律，可知$a$、$b$异号，进而判断$b$为负数；接下来根据$|b|=5$，结合$b$是负数的结论求出$b$的具体值；最后计算$a+b$的和，再求该和的算术平方根即可，注意算术平方根的结果是非负的，可直接排除负数选项。
【解析】
1. 由算术平方根的定义，$\because\sqrt{a}=3$，$\therefore a=3^2=9$，且$a＞0$；
2. $\because ab＜0$，说明$a$、$b$异号，已知$a＞0$，因此$b＜0$；
3. $\because|b|=5$且$b＜0$，$\therefore b=-5$；
4. 计算得$a+b=9+(-5)=4$，4的算术平方根为$\sqrt{4}=2$，因此答案选B。
【答案】
B
【知识点】
算术平方根的概念，绝对值的性质，有理数乘法符号法则
【点评】
本题是基础综合题，解题的核心是先根据已知条件确定$a$、$b$的符号，再求出$a$、$b$的具体值，最后计算算术平方根，要注意算术平方根具有非负性，避免误选带正负的选项。
【难度系数】
0.7
解题时首先从已知条件$\sqrt{a}=3$入手，根据算术平方根的定义，可求出$a$的值，同时确定$a$为正数；再结合$ab＜0$的条件，依据有理数乘法的符号规律，可知$a$、$b$异号，进而判断$b$为负数；接下来根据$|b|=5$，结合$b$是负数的结论求出$b$的具体值；最后计算$a+b$的和，再求该和的算术平方根即可，注意算术平方根的结果是非负的，可直接排除负数选项。
【解析】
1. 由算术平方根的定义，$\because\sqrt{a}=3$，$\therefore a=3^2=9$，且$a＞0$；
2. $\because ab＜0$，说明$a$、$b$异号，已知$a＞0$，因此$b＜0$；
3. $\because|b|=5$且$b＜0$，$\therefore b=-5$；
4. 计算得$a+b=9+(-5)=4$，4的算术平方根为$\sqrt{4}=2$，因此答案选B。
【答案】
B
【知识点】
算术平方根的概念，绝对值的性质，有理数乘法符号法则
【点评】
本题是基础综合题，解题的核心是先根据已知条件确定$a$、$b$的符号，再求出$a$、$b$的具体值，最后计算算术平方根，要注意算术平方根具有非负性，避免误选带正负的选项。
【难度系数】
0.7
3[2026江苏宿迁期中，中]如图，从一个大正方形中裁去两个面积分别为4 cm²和25 cm²的小正方形，则阴影部分的面积为
20 cm²
。答案
3. $20\ \mathrm{cm}^2$ 【解析】因为大正方形的边长为 $\sqrt{4}+\sqrt{25}=2+5=7(\mathrm{cm})$,所以大正方形的面积为 $7×7=49(\mathrm{cm}^2)$,所以阴影部分的面积为 $49-4-25=20(\mathrm{cm}^2)$.
解析
【分析】
解题时首先明确正方形面积与边长的关系：正方形边长是其面积的算术平方根。先通过两个小正方形的面积分别求出它们的边长，再观察图形可得大正方形的边长等于两个小正方形的边长之和，据此算出大正方形的面积，最后用大正方形面积减去两个小正方形的面积，即可得到阴影部分的面积。
【解析】
已知两个小正方形的面积分别为$4\ \mathrm{cm}^2$和$25\ \mathrm{cm}^2$，根据正方形边长是面积的算术平方根，可得：
面积为$4\ \mathrm{cm}^2$的小正方形边长为$\sqrt{4}=2\ \mathrm{cm}$，
面积为$25\ \mathrm{cm}^2$的小正方形边长为$\sqrt{25}=5\ \mathrm{cm}$，
由图可知大正方形的边长为两个小正方形边长之和，即$2+5=7\ \mathrm{cm}$，
因此大正方形的面积为$7×7=49\ \mathrm{cm}^2$，
阴影部分面积 = 大正方形面积 - 两个小正方形面积，即$49-4-25=20\ \mathrm{cm}^2$。
【答案】
$20\ \mathrm{cm}^2$
【知识点】
算术平方根的应用；正方形面积计算；面积和差运算
【点评】
本题结合几何图形考查算术平方根的实际应用，解题的核心是准确识别大正方形与两个小正方形的边长关系，再通过面积差计算阴影部分面积，需要具备一定的图形观察能力和基础运算能力。
【难度系数】
0.7
解题时首先明确正方形面积与边长的关系：正方形边长是其面积的算术平方根。先通过两个小正方形的面积分别求出它们的边长，再观察图形可得大正方形的边长等于两个小正方形的边长之和，据此算出大正方形的面积，最后用大正方形面积减去两个小正方形的面积，即可得到阴影部分的面积。
【解析】
已知两个小正方形的面积分别为$4\ \mathrm{cm}^2$和$25\ \mathrm{cm}^2$，根据正方形边长是面积的算术平方根，可得：
面积为$4\ \mathrm{cm}^2$的小正方形边长为$\sqrt{4}=2\ \mathrm{cm}$，
面积为$25\ \mathrm{cm}^2$的小正方形边长为$\sqrt{25}=5\ \mathrm{cm}$，
由图可知大正方形的边长为两个小正方形边长之和，即$2+5=7\ \mathrm{cm}$，
因此大正方形的面积为$7×7=49\ \mathrm{cm}^2$，
阴影部分面积 = 大正方形面积 - 两个小正方形面积，即$49-4-25=20\ \mathrm{cm}^2$。
【答案】
$20\ \mathrm{cm}^2$
【知识点】
算术平方根的应用；正方形面积计算；面积和差运算
【点评】
本题结合几何图形考查算术平方根的实际应用，解题的核心是准确识别大正方形与两个小正方形的边长关系，再通过面积差计算阴影部分面积，需要具备一定的图形观察能力和基础运算能力。
【难度系数】
0.7
4[2025 山西大同期末,中]请你观察思考下列计算过程:
因为 $11^2 = 121$, 所以 $\sqrt{121} = 11$.
同理,因为 $111^2 = 12321$, 所以 $\sqrt{12321} = 111$.
因为 $1111^2 = 1234321$, 所以 $\sqrt{1234321} = \_\_\_\_\_\_$.
由此猜想: $\sqrt{1234567654321} = \_\_\_\_\_\_$.
因为 $11^2 = 121$, 所以 $\sqrt{121} = 11$.
同理,因为 $111^2 = 12321$, 所以 $\sqrt{12321} = 111$.
因为 $1111^2 = 1234321$, 所以 $\sqrt{1234321} = \_\_\_\_\_\_$.
由此猜想: $\sqrt{1234567654321} = \_\_\_\_\_\_$.
答案
4. 1 111 、1 111 111 【解析】因为 $11^2=121$,所以 $\sqrt{121}=11$. 同理,因为 $111^2=12321$,所以 $\sqrt{12321}=111$. 因为 $1111^2=1234321$,所以 $\sqrt{1234321}=1111$. 由此猜想 $\sqrt{1234567654321}=1111111$. 故答案为 1 111,1 111 111.
解析
【分析】
先观察题目给出的已知运算示例，梳理规律：底数是由n个连续的1组成的整数时，它的平方结果是从1依次递增到n、再从n依次递减到1的对称多位数；反过来，这类对称多位数的算术平方根，就是由和被开方数中最大数字相同个数的1组成的整数。按照这个规律，我们只需要确定被开方数的最大数字，就能直接得到对应的算术平方根。
【解析】
根据已知示例总结的规律：
∵ 2个1组成的数$11^2=121$，被开方数最大数字为2，对应$\sqrt{121}=11$；
3个1组成的数$111^2=12321$，被开方数最大数字为3，对应$\sqrt{12321}=111$；
∴ 4个1组成的数$1111^2=1234321$，被开方数最大数字为4，因此$\sqrt{1234321}=1111$。
观察被开方数$1234567654321$，它是从1递增到7、再从7递减到1的对称数，最大数字为7，因此猜想它的算术平方根是7个1组成的数，即$1111111$。
【答案】
$1111$；$1111111$
【知识点】
算术平方根的定义；数字规律探究
【点评】
本题是典型的规律探究类题目，解题核心是通过已知示例归纳出底数1的个数和平方结果的数字特征的对应关系，结合算术平方根的含义即可快速推导结果，对观察归纳能力有一定要求。
【难度系数】
0.8
先观察题目给出的已知运算示例，梳理规律：底数是由n个连续的1组成的整数时，它的平方结果是从1依次递增到n、再从n依次递减到1的对称多位数；反过来，这类对称多位数的算术平方根，就是由和被开方数中最大数字相同个数的1组成的整数。按照这个规律，我们只需要确定被开方数的最大数字，就能直接得到对应的算术平方根。
【解析】
根据已知示例总结的规律：
∵ 2个1组成的数$11^2=121$，被开方数最大数字为2，对应$\sqrt{121}=11$；
3个1组成的数$111^2=12321$，被开方数最大数字为3，对应$\sqrt{12321}=111$；
∴ 4个1组成的数$1111^2=1234321$，被开方数最大数字为4，因此$\sqrt{1234321}=1111$。
观察被开方数$1234567654321$，它是从1递增到7、再从7递减到1的对称数，最大数字为7，因此猜想它的算术平方根是7个1组成的数，即$1111111$。
【答案】
$1111$；$1111111$
【知识点】
算术平方根的定义；数字规律探究
【点评】
本题是典型的规律探究类题目，解题核心是通过已知示例归纳出底数1的个数和平方结果的数字特征的对应关系，结合算术平方根的含义即可快速推导结果，对观察归纳能力有一定要求。
【难度系数】
0.8
5[2025福建厦门期中,较难]对于一个各数位上的数字均不为0的三位自然数x,若x的百位数字与十位数字的平均数等于个位数字,则称x为“均衡数”.将“均衡数”x的百位数字与十位数字交换位置后得到的新数再与x相加的和记为F(x).若三位数n是“均衡数”,满足百位数字小于十位数字,$\sqrt{\frac{F(n)}{111}}$为整数,且F(n)能被n的十位数字与百位数字的差整除,则n的值为
132 或 798
.答案
5. 132 或 798 【解析】设 $n=100a+10b+c(1≤ a＜b≤9,1＜c＜9,a,b,c$ 均为整数),则 $a+b=2c$,所以 $F(n)=100a+10b+c+100b+10a+c=222c$,所以 $\sqrt{\frac{F(n)}{111}}=\sqrt{\frac{222c}{111}}=\sqrt{2c}$. 因为 $\sqrt{\frac{F(n)}{111}}$ 是一个整数, $1＜c＜9$, 所以 $2c=4$ 或 $2c=16$, 则 $c=2$ 或 8, 所以 $F(n)=444$ 或 1776. ①当 $F(n)=444$ 时, 因为 $F(n)$ 能被 $n$ 的十位数字与百位数字的差整除, 所以 $\frac{444}{b-a}$ 为整数, 所以 $b-a=1$ 或 2 或 3 或 4 或 6. 因为 $a+b=2c=4$, 所以易知 $b=3,a=1$. ②当 $F(n)=1776$ 时, 因为 $\frac{1776}{b-a}$ 为整数, 所以 $b-a=1$ 或 2 或 3 或 4 或 6 或 8. 因为 $a+b=2c=16$, 所以易知 $b=9,a=7$, 所以 $n=132$ 或 798. 故答案为 132 或 798.
解析
【分析】
首先准确理解“均衡数”的定义，我们设三位均衡数n的百位数字为a，十位数字为b，个位数字为c（各数位数字均不为0，且a＜b），根据定义可得a+b=2c。第一步先推导F(n)的表达式，化简后结合“√(F(n)/111)是整数”的条件，利用算术平方根的性质确定c的可能取值；第二步再结合“F(n)能被b-a整除”的要求，以及a＜b、a+b=2c的限制，分情况验证求出符合条件的a、b，最终得到n的值。
【解析】
设n=100a+10b+c，其中1≤a＜b≤9，1≤c≤9，a、b、c均为整数。
因为n是“均衡数”，所以百位数字与十位数字的平均数等于个位数字，即$a+b=2c$。
交换n的百位和十位数字得到的新数为$100b+10a+c$，因此$F(n)=(100a+10b+c)+(100b+10a+c)=110a+110b+2c$。
将$a+b=2c$代入上式，得$F(n)=110×2c + 2c=222c$。
由题意$\sqrt{\frac{F(n)}{111}}$为整数，代入F(n)的表达式得：$\sqrt{\frac{222c}{111}}=\sqrt{2c}$，即$\sqrt{2c}$是整数。
因为$1≤c≤9$，所以$2≤2c≤18$，其中是完全平方数的只有4和16，分情况讨论：
①当$2c=4$时，$c=2$，此时$a+b=2c=4$，$F(n)=222×2=444$。
因为F(n)能被$b-a$整除，即444能被$b-a$整除，结合$a＜b$、$a+b=4$、$a≥1$的限制，仅$a=1$、$b=3$符合要求，此时$b-a=2$，$444÷2=222$是整数，对应的$n=100×1+10×3+2=132$。
②当$2c=16$时，$c=8$，此时$a+b=2c=16$，$F(n)=222×8=1776$。
因为F(n)能被$b-a$整除，即1776能被$b-a$整除，结合$a＜b$、$a+b=16$、$b≤9$的限制，仅$a=7$、$b=9$符合要求，此时$b-a=2$，$1776÷2=888$是整数，对应的$n=100×7+10×9+8=798$。
【答案】
132或798
【知识点】
新定义问题，算术平方根的性质，整数的整除性
【点评】
本题属于新定义类综合题，解题核心是先将陌生的“均衡数”定义转化为明确的数量关系，再结合算术平方根、整数整除的性质逐步筛选符合条件的数值，解题过程中要注意各数位数字的取值范围和大小关系限制，避免漏解或错解。
【难度系数】
0.3
首先准确理解“均衡数”的定义，我们设三位均衡数n的百位数字为a，十位数字为b，个位数字为c（各数位数字均不为0，且a＜b），根据定义可得a+b=2c。第一步先推导F(n)的表达式，化简后结合“√(F(n)/111)是整数”的条件，利用算术平方根的性质确定c的可能取值；第二步再结合“F(n)能被b-a整除”的要求，以及a＜b、a+b=2c的限制，分情况验证求出符合条件的a、b，最终得到n的值。
【解析】
设n=100a+10b+c，其中1≤a＜b≤9，1≤c≤9，a、b、c均为整数。
因为n是“均衡数”，所以百位数字与十位数字的平均数等于个位数字，即$a+b=2c$。
交换n的百位和十位数字得到的新数为$100b+10a+c$，因此$F(n)=(100a+10b+c)+(100b+10a+c)=110a+110b+2c$。
将$a+b=2c$代入上式，得$F(n)=110×2c + 2c=222c$。
由题意$\sqrt{\frac{F(n)}{111}}$为整数，代入F(n)的表达式得：$\sqrt{\frac{222c}{111}}=\sqrt{2c}$，即$\sqrt{2c}$是整数。
因为$1≤c≤9$，所以$2≤2c≤18$，其中是完全平方数的只有4和16，分情况讨论：
①当$2c=4$时，$c=2$，此时$a+b=2c=4$，$F(n)=222×2=444$。
因为F(n)能被$b-a$整除，即444能被$b-a$整除，结合$a＜b$、$a+b=4$、$a≥1$的限制，仅$a=1$、$b=3$符合要求，此时$b-a=2$，$444÷2=222$是整数，对应的$n=100×1+10×3+2=132$。
②当$2c=16$时，$c=8$，此时$a+b=2c=16$，$F(n)=222×8=1776$。
因为F(n)能被$b-a$整除，即1776能被$b-a$整除，结合$a＜b$、$a+b=16$、$b≤9$的限制，仅$a=7$、$b=9$符合要求，此时$b-a=2$，$1776÷2=888$是整数，对应的$n=100×7+10×9+8=798$。
【答案】
132或798
【知识点】
新定义问题，算术平方根的性质，整数的整除性
【点评】
本题属于新定义类综合题，解题核心是先将陌生的“均衡数”定义转化为明确的数量关系，再结合算术平方根、整数整除的性质逐步筛选符合条件的数值，解题过程中要注意各数位数字的取值范围和大小关系限制，避免漏解或错解。
【难度系数】
0.3
6[2026上海静安区质检,中]如图(1)是由五个边长为1的小正方形组成的图形纸,我们可以把它剪开拼成一个正方形.
(1)拼成的正方形的面积与边长分别是多少?
(2)你能在图(2)的由九个边长为1的小正方形组成的方格图中,连接四个点围成面积为5的正方形吗?若能,求出它的边长;若不能,请说明理由.
(3)你能把由十个边长为1的小正方形组成的图形纸剪开并拼成正方形吗?若能,在图(3)中用虚线画出来,并求出它的边长和面积;若不能,请说明理由.
刷素养 走向重高
(1)拼成的正方形的面积与边长分别是多少?
(2)你能在图(2)的由九个边长为1的小正方形组成的方格图中,连接四个点围成面积为5的正方形吗?若能,求出它的边长;若不能,请说明理由.
(3)你能把由十个边长为1的小正方形组成的图形纸剪开并拼成正方形吗?若能,在图(3)中用虚线画出来,并求出它的边长和面积;若不能,请说明理由.
刷素养 走向重高
答案
6.【解】(1)由题可得拼成的正方形的面积是 $5×1×1=5$,边长为 $\sqrt{5}$.
(2)能. 围成的面积为 5 的正方形如图(1)所示. 边长为 $\sqrt{5}$.
(3)能. 拼成的正方形如图(2)所示. 边长为 $\sqrt{10}$,面积为 10.
解析
【分析】
解题核心是抓住剪拼前后图形总面积不变的规律，结合正方形面积与边长的关系逐步推导：
1. 第(1)问：先计算原有5个小正方形的总面积，即为拼成正方形的面积，再根据正方形面积等于边长的平方，对面积取算术平方根即可得到边长。
2. 第(2)问：先由目标正方形面积求出对应边长为$\sqrt{5}$，$\sqrt{5}$可看作直角边为1、2的直角三角形的斜边长，在3×3方格中找到4条等长的该类线段首尾相连，即可围成符合要求的正方形。
3. 第(3)问：先计算10个小正方形的总面积，得到拼成正方形的面积，再取算术平方根得到边长$\sqrt{10}$，$\sqrt{10}$可看作直角边为1、3的直角三角形的斜边长，据此即可完成剪拼作图。
【解析】
(1) 剪拼前后图形面积不发生改变，5个边长为1的小正方形的总面积为$5×1×1=5$，因此拼成的正方形面积为5。设正方形边长为$a$，根据正方形面积公式得$a^2=5$，由于边长为正数，因此$a=\sqrt{5}$。
(2) 能。若正方形面积为5，则其边长为$\sqrt{5}$，我们可在3×3方格中找到长度为$\sqrt{5}$的线段作为正方形的边，连接四个对应端点即可得到面积为5的正方形，其边长为$\sqrt{5}$。
(3) 能。剪拼前后总面积不变，10个边长为1的小正方形的总面积为$10×1×1=10$，因此拼成的正方形面积为10。设其边长为$b$，则$b^2=10$，由于边长为正数，因此$b=\sqrt{10}$，按对应边长裁剪拼接即可得到目标正方形。
【答案】
(1)拼成的正方形的面积是 $5×1×1=5$,边长为 $\sqrt{5}$。
(2)能. 围成的面积为 5 的正方形如图(1)所示. 边长为 $\sqrt{5}$。
(3)能. 拼成的正方形如图(2)所示. 边长为 $\sqrt{10}$,面积为 10。
【知识点】
1. 面积守恒原理
2. 算术平方根
3. 正方形的性质
【点评】
本题将图形剪拼操作与算术平方根的计算结合，考查学生数形结合的思维能力，解题的核心是抓住剪拼前后总面积不变的规律，整体难度适中，能有效锻炼学生的动手实践与逻辑推导能力。
【难度系数】
0.7
解题核心是抓住剪拼前后图形总面积不变的规律，结合正方形面积与边长的关系逐步推导：
1. 第(1)问：先计算原有5个小正方形的总面积，即为拼成正方形的面积，再根据正方形面积等于边长的平方，对面积取算术平方根即可得到边长。
2. 第(2)问：先由目标正方形面积求出对应边长为$\sqrt{5}$，$\sqrt{5}$可看作直角边为1、2的直角三角形的斜边长，在3×3方格中找到4条等长的该类线段首尾相连，即可围成符合要求的正方形。
3. 第(3)问：先计算10个小正方形的总面积，得到拼成正方形的面积，再取算术平方根得到边长$\sqrt{10}$，$\sqrt{10}$可看作直角边为1、3的直角三角形的斜边长，据此即可完成剪拼作图。
【解析】
(1) 剪拼前后图形面积不发生改变，5个边长为1的小正方形的总面积为$5×1×1=5$，因此拼成的正方形面积为5。设正方形边长为$a$，根据正方形面积公式得$a^2=5$，由于边长为正数，因此$a=\sqrt{5}$。
(2) 能。若正方形面积为5，则其边长为$\sqrt{5}$，我们可在3×3方格中找到长度为$\sqrt{5}$的线段作为正方形的边，连接四个对应端点即可得到面积为5的正方形，其边长为$\sqrt{5}$。
(3) 能。剪拼前后总面积不变，10个边长为1的小正方形的总面积为$10×1×1=10$，因此拼成的正方形面积为10。设其边长为$b$，则$b^2=10$，由于边长为正数，因此$b=\sqrt{10}$，按对应边长裁剪拼接即可得到目标正方形。
【答案】
(1)拼成的正方形的面积是 $5×1×1=5$,边长为 $\sqrt{5}$。
(2)能. 围成的面积为 5 的正方形如图(1)所示. 边长为 $\sqrt{5}$。
(3)能. 拼成的正方形如图(2)所示. 边长为 $\sqrt{10}$,面积为 10。
【知识点】
1. 面积守恒原理
2. 算术平方根
3. 正方形的性质
【点评】
本题将图形剪拼操作与算术平方根的计算结合，考查学生数形结合的思维能力，解题的核心是抓住剪拼前后总面积不变的规律，整体难度适中，能有效锻炼学生的动手实践与逻辑推导能力。
【难度系数】
0.7
7 核心素养 推理能力 [2025 山西太原调研,较难]观察表格并回答下列问题.
(1)表格中$x=$
(2)①已知$\sqrt{6}\approx2.45$,则$\sqrt{0.06}\approx$
②已知$\sqrt{0.0012}\approx0.03464$,$\sqrt{2m}\approx34.64$,求$m$的值.
(1)表格中$x=$
0.1
,$y=$10
.(2)①已知$\sqrt{6}\approx2.45$,则$\sqrt{0.06}\approx$
0.245
;②已知$\sqrt{0.0012}\approx0.03464$,$\sqrt{2m}\approx34.64$,求$m$的值.
答案
7. 【解】(1) 根据算术平方根的定义得, $x=\sqrt{0.01}=0.1$,$y=\sqrt{100}=10$. 故答案为 0.1,10.
(2)①由表格中数据可得,被开方数的小数点每往右(或左)移动两位,它的算术平方根的小数点就向右(或左)移动一位,所以由 $\sqrt{6}\approx2.45$ 可知 $\sqrt{0.06}\approx0.245$. 故答案为 0.245.
②因为 $\sqrt{0.0012}\approx0.03464$,$\sqrt{2m}\approx34.64$,0.034 64 的小数点向右移动了三位得到 34.64,所以由规律可知被开方数 0.001 2 的小数点需要向右移动六位得到 $2m$,所以 $0.0012×10^6=2m$,解得 $m=600$,所以 $m$ 的值为 600.
(2)①由表格中数据可得,被开方数的小数点每往右(或左)移动两位,它的算术平方根的小数点就向右(或左)移动一位,所以由 $\sqrt{6}\approx2.45$ 可知 $\sqrt{0.06}\approx0.245$. 故答案为 0.245.
②因为 $\sqrt{0.0012}\approx0.03464$,$\sqrt{2m}\approx34.64$,0.034 64 的小数点向右移动了三位得到 34.64,所以由规律可知被开方数 0.001 2 的小数点需要向右移动六位得到 $2m$,所以 $0.0012×10^6=2m$,解得 $m=600$,所以 $m$ 的值为 600.
解析
【分析】
首先解决第(1)问，根据算术平方根的定义，x是0.01的算术平方根，y是100的算术平方根，直接计算即可。再解决第(2)问，先观察表格数据总结规律：对比a和√a的小数点变化，可发现被开方数的小数点每向左或向右移动2位，它的算术平方根的小数点就对应向左或向右移动1位。①应用该规律，0.06是将6的小数点左移2位得到的，对应算术平方根将2.45的小数点左移1位即可。②先看算术平方根从0.03464到34.64小数点右移了3位，对应被开方数要右移6位，据此求出2m的值后再计算m即可。
【解析】
(1) 根据算术平方根的定义计算：
$x=\sqrt{0.01}=0.1$，$y=\sqrt{100}=10$。
(2) 总结规律：被开方数的小数点每向左（或向右）移动2位，它的算术平方根的小数点对应向左（或向右）移动1位。
① 已知$\sqrt{6}\approx2.45$，0.06是将6的小数点向左移动2位得到的，因此$\sqrt{0.06}$的结果是将2.45的小数点向左移动1位，即$\sqrt{0.06}\approx0.245$。
② 已知$\sqrt{0.0012}\approx0.03464$，$\sqrt{2m}\approx34.64$，算术平方根0.03464的小数点向右移动了3位得到34.64，根据规律，被开方数的小数点需要向右移动$3×2=6$位，因此$2m=0.0012×10^6=1200$，解得$m=1200÷2=600$。
【答案】
(1) 0.1，10
(2) ① 0.245；② 600
【知识点】
1. 算术平方根的定义
2. 算术平方根的变化规律
【点评】
本题需要先从表格数据中归纳出算术平方根和被开方数的小数点移动规律，再应用规律解题，侧重考查推理能力和规律探究应用能力，掌握算术平方根的相关性质是解题的关键。
【难度系数】
0.6
首先解决第(1)问，根据算术平方根的定义，x是0.01的算术平方根，y是100的算术平方根，直接计算即可。再解决第(2)问，先观察表格数据总结规律：对比a和√a的小数点变化，可发现被开方数的小数点每向左或向右移动2位，它的算术平方根的小数点就对应向左或向右移动1位。①应用该规律，0.06是将6的小数点左移2位得到的，对应算术平方根将2.45的小数点左移1位即可。②先看算术平方根从0.03464到34.64小数点右移了3位，对应被开方数要右移6位，据此求出2m的值后再计算m即可。
【解析】
(1) 根据算术平方根的定义计算：
$x=\sqrt{0.01}=0.1$，$y=\sqrt{100}=10$。
(2) 总结规律：被开方数的小数点每向左（或向右）移动2位，它的算术平方根的小数点对应向左（或向右）移动1位。
① 已知$\sqrt{6}\approx2.45$，0.06是将6的小数点向左移动2位得到的，因此$\sqrt{0.06}$的结果是将2.45的小数点向左移动1位，即$\sqrt{0.06}\approx0.245$。
② 已知$\sqrt{0.0012}\approx0.03464$，$\sqrt{2m}\approx34.64$，算术平方根0.03464的小数点向右移动了3位得到34.64，根据规律，被开方数的小数点需要向右移动$3×2=6$位，因此$2m=0.0012×10^6=1200$，解得$m=1200÷2=600$。
【答案】
(1) 0.1，10
(2) ① 0.245；② 600
【知识点】
1. 算术平方根的定义
2. 算术平方根的变化规律
【点评】
本题需要先从表格数据中归纳出算术平方根和被开方数的小数点移动规律，再应用规律解题，侧重考查推理能力和规律探究应用能力，掌握算术平方根的相关性质是解题的关键。
【难度系数】
0.6
