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1 [2025 河北石家庄校级期末]用等式表示“64的平方根等于±8”，正确的是 （
A.$\sqrt{\pm8}=64$
B.$\pm\sqrt{64}=\pm8$
C.$\sqrt{64}=\pm8$
D.$\pm\sqrt{64}=8$
B
）A.$\sqrt{\pm8}=64$
B.$\pm\sqrt{64}=\pm8$
C.$\sqrt{64}=\pm8$
D.$\pm\sqrt{64}=8$
答案
1.B 【解析】用等式表示“64 的平方根等于±8”为$\pm\sqrt{64} = \pm8$. 故选 B.
解析
【分析】
解题时首先要明确平方根的表示规则：一个非负数a的平方根需要用±√a来表示，其中√a表示的是a的算术平方根（结果为非负数）。首先根据题意确定64的平方根的正确表示形式，再逐一核对选项，排除错误选项即可得到答案。
【解析】
根据平方根的定义与表示方法：
1. 64的平方根应表示为$\pm\sqrt{64}$，其计算结果为$\pm8$，因此正确的等式为$\pm\sqrt{64}=\pm8$。
2. 逐个分析选项：
选项A：根号下的数不能为负数，且该式意义完全错误，排除；
选项C：$\sqrt{64}$表示64的算术平方根，结果为8，不等于$\pm8$，排除；
选项D：$\pm\sqrt{64}$的结果是$\pm8$，仅等于8的表述错误，排除。
综上，正确选项为B。
【答案】
B
【知识点】
平方根的定义；平方根的表示；算术平方根概念
【点评】
本题属于基础概念题，核心考查平方根与算术平方根的表示差异，解题的关键是牢记带正负号的根号和不带正负号的根号分别对应的意义，避免二者混淆。
【难度系数】
0.8
解题时首先要明确平方根的表示规则：一个非负数a的平方根需要用±√a来表示，其中√a表示的是a的算术平方根（结果为非负数）。首先根据题意确定64的平方根的正确表示形式，再逐一核对选项，排除错误选项即可得到答案。
【解析】
根据平方根的定义与表示方法：
1. 64的平方根应表示为$\pm\sqrt{64}$，其计算结果为$\pm8$，因此正确的等式为$\pm\sqrt{64}=\pm8$。
2. 逐个分析选项：
选项A：根号下的数不能为负数，且该式意义完全错误，排除；
选项C：$\sqrt{64}$表示64的算术平方根，结果为8，不等于$\pm8$，排除；
选项D：$\pm\sqrt{64}$的结果是$\pm8$，仅等于8的表述错误，排除。
综上，正确选项为B。
【答案】
B
【知识点】
平方根的定义；平方根的表示；算术平方根概念
【点评】
本题属于基础概念题，核心考查平方根与算术平方根的表示差异，解题的关键是牢记带正负号的根号和不带正负号的根号分别对应的意义，避免二者混淆。
【难度系数】
0.8
2[2025天津河北区质检]计算$\pm\sqrt{81}$的值为（
A.$\pm3$
B.$\pm9$
C.$3$
D.$9$
B
）A.$\pm3$
B.$\pm9$
C.$3$
D.$9$
答案
2.B 【解析】因为$( \pm9 )^2 = 81$,所以$\pm\sqrt{81} = \pm9$. 故选 B.
解析
【分析】
解题时首先要明确符号$\pm\sqrt{a}$的含义：它表示数$a$的平方根，即所有平方后等于$a$的数。我们可以根据平方根的定义，先找到满足$x^2=81$的所有$x$的值，就能得到$\pm\sqrt{81}$的结果，再匹配选项即可。
【解析】
根据平方根的定义：如果一个数$x$的平方等于$a$，即$x^2=a$，那么这个数$x$就叫做$a$的平方根。
因为$(\pm9)^2=81$，所以81的平方根为$\pm9$，即$\pm\sqrt{81}=\pm9$。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
平方根的定义，开平方运算
【点评】
本题是基础概念考查题，需要注意区分平方根（$\pm\sqrt{a}$）和算术平方根（$\sqrt{a}$）的符号含义，避免将二者的计算结果混淆。
【难度系数】
0.8
解题时首先要明确符号$\pm\sqrt{a}$的含义：它表示数$a$的平方根，即所有平方后等于$a$的数。我们可以根据平方根的定义，先找到满足$x^2=81$的所有$x$的值，就能得到$\pm\sqrt{81}$的结果，再匹配选项即可。
【解析】
根据平方根的定义：如果一个数$x$的平方等于$a$，即$x^2=a$，那么这个数$x$就叫做$a$的平方根。
因为$(\pm9)^2=81$，所以81的平方根为$\pm9$，即$\pm\sqrt{81}=\pm9$。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
平方根的定义，开平方运算
【点评】
本题是基础概念考查题，需要注意区分平方根（$\pm\sqrt{a}$）和算术平方根（$\sqrt{a}$）的符号含义，避免将二者的计算结果混淆。
【难度系数】
0.8
3[2025河南周口期末]下列各数没有平方根的是（
A.-2.5
B.0
C.2
D.6
A
）A.-2.5
B.0
C.2
D.6
答案
3.A 【解析】正数有2个平方根,它们互为相反数;0 的平方根是 0;负数没有平方根,故 A 符合题意,B,C,D 均不符合题意. 故选 A.
解析
【分析】
解题时首先回忆平方根的存在条件：因为任意实数的平方都是非负数，所以只有非负数（正数和0）才有平方根，负数没有平方根。接下来只需逐一判断四个选项中数的正负性，选出是负数的选项即为正确答案。
【解析】
根据平方根的性质可知：正数有2个互为相反数的平方根，0的平方根是0，负数没有平方根。
逐一判断选项：
A. -2.5是负数，没有平方根，符合题意；
B. 0的平方根是0，不符合题意；
C. 2是正数，有平方根，不符合题意；
D. 6是正数，有平方根，不符合题意。
综上，答案选A。
【答案】
A
【知识点】
平方根的性质；有理数的正负判断
【点评】
本题属于平方根章节的基础常考题，主要考查对平方根核心性质的理解与应用，牢记“负数没有平方根”的结论即可快速解题。
【难度系数】
0.9
解题时首先回忆平方根的存在条件：因为任意实数的平方都是非负数，所以只有非负数（正数和0）才有平方根，负数没有平方根。接下来只需逐一判断四个选项中数的正负性，选出是负数的选项即为正确答案。
【解析】
根据平方根的性质可知：正数有2个互为相反数的平方根，0的平方根是0，负数没有平方根。
逐一判断选项：
A. -2.5是负数，没有平方根，符合题意；
B. 0的平方根是0，不符合题意；
C. 2是正数，有平方根，不符合题意；
D. 6是正数，有平方根，不符合题意。
综上，答案选A。
【答案】
A
【知识点】
平方根的性质；有理数的正负判断
【点评】
本题属于平方根章节的基础常考题，主要考查对平方根核心性质的理解与应用，牢记“负数没有平方根”的结论即可快速解题。
【难度系数】
0.9
4 已知$|b-4|+(a-1)^2=0$，则$\frac{a}{b}$的平方根是（
A.$\pm\frac{1}{2}$
B.$\frac{1}{2}$
C.$\frac{1}{4}$
D.$\pm\frac{1}{4}$
A
）A.$\pm\frac{1}{2}$
B.$\frac{1}{2}$
C.$\frac{1}{4}$
D.$\pm\frac{1}{4}$
答案
4.A 【解析】根据题意得,$b-4=0,a-1=0$,解得$a=1,b=4$,所以$\frac{a}{b}=\frac{1}{4}$. 因为$( \pm\frac{1}{2} )^2 = \frac{1}{4}$,所以$\frac{a}{b}$的平方根是$\pm\frac{1}{2}$. 故选 A.
解析
【分析】
解题时首先回忆非负数的性质：绝对值和平方数都是非负数，若两个非负数的和为0，则这两个非负数都等于0，据此可以先求出a、b的值；再代入计算得到$\frac{a}{b}$的结果；最后根据平方根的定义，注意正数有两个互为相反数的平方根，不要漏解，即可得到最终答案。
【解析】
解：
∵绝对值和偶次乘方的结果都是非负数，且$|b-4|+(a-1)^2=0$
∴$\begin{cases}b-4=0 \\ a-1=0\end{cases}$
解得$a=1，b=4$
将a、b代入得$\frac{a}{b}=\frac{1}{4}$
根据平方根的定义，若$x^2=m$，则x是m的平方根
∵$(\pm\frac{1}{2})^2=\frac{1}{4}$
∴$\frac{a}{b}$的平方根是$\pm\frac{1}{2}$
故选A。
【答案】
A
【知识点】
非负数的性质；代数式求值；平方根的定义
【点评】
本题是基础概念综合题，解题关键是熟练掌握“几个非负数的和为0时，每个非负数都为0”这一常用结论，同时要注意区分平方根和算术平方根，避免因漏记正数有两个平方根而错选。
【难度系数】
0.7
解题时首先回忆非负数的性质：绝对值和平方数都是非负数，若两个非负数的和为0，则这两个非负数都等于0，据此可以先求出a、b的值；再代入计算得到$\frac{a}{b}$的结果；最后根据平方根的定义，注意正数有两个互为相反数的平方根，不要漏解，即可得到最终答案。
【解析】
解：
∵绝对值和偶次乘方的结果都是非负数，且$|b-4|+(a-1)^2=0$
∴$\begin{cases}b-4=0 \\ a-1=0\end{cases}$
解得$a=1，b=4$
将a、b代入得$\frac{a}{b}=\frac{1}{4}$
根据平方根的定义，若$x^2=m$，则x是m的平方根
∵$(\pm\frac{1}{2})^2=\frac{1}{4}$
∴$\frac{a}{b}$的平方根是$\pm\frac{1}{2}$
故选A。
【答案】
A
【知识点】
非负数的性质；代数式求值；平方根的定义
【点评】
本题是基础概念综合题，解题关键是熟练掌握“几个非负数的和为0时，每个非负数都为0”这一常用结论，同时要注意区分平方根和算术平方根，避免因漏记正数有两个平方根而错选。
【难度系数】
0.7
5[2026陕西西安调研]若$2m-5$与$3m-15$是同一个数的两个不相等的平方根，则这个数是（
A.3
B.$-3$
C.16
D.9
D
）A.3
B.$-3$
C.16
D.9
答案
5.D 【解析】因为$2m-5$与$3m-15$是同一个数的两个不相等的平方根,所以$2m-5+3m-15=0$,解得 $m=4$,所以$2m-5=3,3m-15=-3$,所以这个数是 9. 故选 D.
解析
【分析】
解答本题首先要掌握平方根的性质：一个正数有两个不相等的平方根，它们互为相反数，而互为相反数的两个数之和为0。据此我们可以先列出关于m的方程，求出m的值后，代入任意一个平方根的表达式，将结果平方即可得到所求的数。
【解析】
因为$2m-5$与$3m-15$是同一个数的两个不相等的平方根，所以二者互为相反数，满足和为0，可列方程：
$2m-5 + 3m -15 = 0$
合并同类项得：$5m - 20 = 0$
解得：$m = 4$
将$m=4$代入$2m-5$，得$2×4 -5 = 3$
因为3是这个数的其中一个平方根，所以这个数为$3^2 =9$
故选D。
【答案】
D
【知识点】
平方根的性质，解一元一次方程，平方运算
【点评】
本题是平方根性质的基础应用题，解题的关键是明确正数的两个不相等的平方根互为相反数这一核心性质，易错点是部分同学求出m后直接将平方根的值当作原数，导致错选。
【难度系数】
0.8
解答本题首先要掌握平方根的性质：一个正数有两个不相等的平方根，它们互为相反数，而互为相反数的两个数之和为0。据此我们可以先列出关于m的方程，求出m的值后，代入任意一个平方根的表达式，将结果平方即可得到所求的数。
【解析】
因为$2m-5$与$3m-15$是同一个数的两个不相等的平方根，所以二者互为相反数，满足和为0，可列方程：
$2m-5 + 3m -15 = 0$
合并同类项得：$5m - 20 = 0$
解得：$m = 4$
将$m=4$代入$2m-5$，得$2×4 -5 = 3$
因为3是这个数的其中一个平方根，所以这个数为$3^2 =9$
故选D。
【答案】
D
【知识点】
平方根的性质，解一元一次方程，平方运算
【点评】
本题是平方根性质的基础应用题，解题的关键是明确正数的两个不相等的平方根互为相反数这一核心性质，易错点是部分同学求出m后直接将平方根的值当作原数，导致错选。
【难度系数】
0.8
6 若$-\sqrt{3}$是$m$的一个平方根，则$m+13$的平方根是
±4
.答案
6. ±4 【解析】根据题意,得$m=(-\sqrt{3})^2 = 3$,则$m+13=16$,所以$m+13$的平方根为±4.
解析
【分析】
解题可分三步进行：第一步，根据平方根的定义：若x是数a的平方根，则x²=a，结合已知条件“-√3是m的一个平方根”，可计算出m的值；第二步，将m的值代入m+13，求出该式的具体数值；第三步，根据“正数有两个互为相反数的平方根”，计算出m+13的平方根，注意不要遗漏负的平方根。
【解析】
解：
∵ -√3是m的一个平方根，
∴ 根据平方根的定义可得：$m=(-\sqrt{3})^2=3$，
∴ $m+13=3+13=16$，
又
∵ $(\pm4)^2=16$，
∴ 16的平方根为$\pm4$，即$m+13$的平方根是$\pm4$。
【答案】
±4
【知识点】
平方根的定义；平方根的性质
【点评】
本题属于平方根的基础考查题，解题核心是熟练运用平方根的定义与性质，答题时需注意正数的平方根有两个，互为相反数，避免仅写出正的平方根导致漏解。
【难度系数】
0.8
解题可分三步进行：第一步，根据平方根的定义：若x是数a的平方根，则x²=a，结合已知条件“-√3是m的一个平方根”，可计算出m的值；第二步，将m的值代入m+13，求出该式的具体数值；第三步，根据“正数有两个互为相反数的平方根”，计算出m+13的平方根，注意不要遗漏负的平方根。
【解析】
解：
∵ -√3是m的一个平方根，
∴ 根据平方根的定义可得：$m=(-\sqrt{3})^2=3$，
∴ $m+13=3+13=16$，
又
∵ $(\pm4)^2=16$，
∴ 16的平方根为$\pm4$，即$m+13$的平方根是$\pm4$。
【答案】
±4
【知识点】
平方根的定义；平方根的性质
【点评】
本题属于平方根的基础考查题，解题核心是熟练运用平方根的定义与性质，答题时需注意正数的平方根有两个，互为相反数，避免仅写出正的平方根导致漏解。
【难度系数】
0.8
7 已知$x=\sqrt{2015}-1$，则$(x+1)^2 +10$的平方根是
±45
答案
7. ±45 【解析】因为 $x = \sqrt{2\ 015} - 1$,所以 $( x+1 )^2 +10 = ( \sqrt{2\ 015} -1 +1 )^2 +10 = 2\ 015+10 = 2\ 025,\pm\sqrt{2\ 025} = \pm45$. 故答案为±45.
解析
【分析】
解题时先观察已知条件和所求代数式的结构，发现代数式包含$x+1$项，已知$x=\sqrt{2015}-1$，可直接得出$x+1=\sqrt{2015}$，采用整体代入的方法就能避免复杂的完全平方展开，简化计算。先算出$(x+1)^2+10$的数值，再根据平方根的定义求该正数的平方根，注意正数的平方根有两个，不要漏解。
【解析】
已知$x=\sqrt{2015}-1$，将其代入$(x+1)^2 +10$得：
$\begin{aligned}(x+1)^2 +10&=(\sqrt{2015}-1+1)^2 +10\\&=(\sqrt{2015})^2 +10\\&=2015+10\\&=2025\end{aligned}$
根据平方根的定义，正数2025的平方根为$\pm\sqrt{2025}=\pm45$。
【答案】
±45
【知识点】
代数式求值；平方根的定义；二次根式的运算
【点评】
本题侧重考查基础运算能力，解题核心是利用已知条件和代数式的结构特征做整体代入简化计算，需牢记正数的平方根有两个且互为相反数，避免漏写负的平方根。
【难度系数】
0.75
解题时先观察已知条件和所求代数式的结构，发现代数式包含$x+1$项，已知$x=\sqrt{2015}-1$，可直接得出$x+1=\sqrt{2015}$，采用整体代入的方法就能避免复杂的完全平方展开，简化计算。先算出$(x+1)^2+10$的数值，再根据平方根的定义求该正数的平方根，注意正数的平方根有两个，不要漏解。
【解析】
已知$x=\sqrt{2015}-1$，将其代入$(x+1)^2 +10$得：
$\begin{aligned}(x+1)^2 +10&=(\sqrt{2015}-1+1)^2 +10\\&=(\sqrt{2015})^2 +10\\&=2015+10\\&=2025\end{aligned}$
根据平方根的定义，正数2025的平方根为$\pm\sqrt{2025}=\pm45$。
【答案】
±45
【知识点】
代数式求值；平方根的定义；二次根式的运算
【点评】
本题侧重考查基础运算能力，解题核心是利用已知条件和代数式的结构特征做整体代入简化计算，需牢记正数的平方根有两个且互为相反数，避免漏写负的平方根。
【难度系数】
0.75
8[2025浙江温州调研]求下列各数的平方根：
(1)121；
(2)$\frac{25}{9}$；
(3)0.000016；
(4)$(-13)^2$；
(5)$a^4$；
(6)$\sqrt{196}$。
(1)121；
(2)$\frac{25}{9}$；
(3)0.000016；
(4)$(-13)^2$；
(5)$a^4$；
(6)$\sqrt{196}$。
答案
8.【解】(1)$\pm\sqrt{121} = \pm\sqrt{11^2} = \pm11$.
(2)$\pm\sqrt{\frac{25}{9}} = \pm\sqrt{( \frac{5}{3} )^2} = \pm\frac{5}{3}$.
(3)$\pm\sqrt{0.000\ 016} = \pm\sqrt{0.004^2} = \pm0.004$.
(4)$\pm\sqrt{(-13)^2} = \pm13$.
(5)$\pm\sqrt{a^4} = \pm\sqrt{(a^2)^2} = \pm a^2$.
(6)因为$\sqrt{196} = \sqrt{14^2} = 14$,所以$\sqrt{196}$的平方根是$\pm\sqrt{14}$.
(2)$\pm\sqrt{\frac{25}{9}} = \pm\sqrt{( \frac{5}{3} )^2} = \pm\frac{5}{3}$.
(3)$\pm\sqrt{0.000\ 016} = \pm\sqrt{0.004^2} = \pm0.004$.
(4)$\pm\sqrt{(-13)^2} = \pm13$.
(5)$\pm\sqrt{a^4} = \pm\sqrt{(a^2)^2} = \pm a^2$.
(6)因为$\sqrt{196} = \sqrt{14^2} = 14$,所以$\sqrt{196}$的平方根是$\pm\sqrt{14}$.
解析
【分析】
求解一个数的平方根，首先要明确平方根的定义：若$x^2=a$（$a≥0$），则$x$叫做$a$的平方根，正数的平方根有两个，且互为相反数。解题步骤为：①先判断被开方数的正负，确保被开方数非负；②将被开方数转化为某个非负数的平方的形式；③根据平方根的性质写出两个互为相反数的平方根；注意对于含有运算的被开方数（如第(4)题的$(-13)^2$、第(6)题的$\sqrt{196}$），要先计算出该式的结果，再求结果的平方根，避免运算顺序错误。
【解析】
(1) 求121的平方根：$\pm\sqrt{121} = \pm\sqrt{11^2} = \pm11$
(2) 求$\frac{25}{9}$的平方根：$\pm\sqrt{\frac{25}{9}} = \pm\sqrt{( \frac{5}{3} )^2} = \pm\frac{5}{3}$
(3) 求0.000016的平方根：$\pm\sqrt{0.000016} = \pm\sqrt{0.004^2} = \pm0.004$
(4) 求$(-13)^2$的平方根：先计算$(-13)^2=169=13^2$，因此$\pm\sqrt{(-13)^2} = \pm13$
(5) 求$a^4$的平方根：$a^4=(a^2)^2$，因此$\pm\sqrt{a^4} = \pm\sqrt{(a^2)^2} = \pm a^2$
(6) 求$\sqrt{196}$的平方根：先计算$\sqrt{196} = \sqrt{14^2} = 14$，再求14的平方根，即$\pm\sqrt{14}$
【答案】
(1)$\pm11$；(2)$\pm\frac{5}{3}$；(3)$\pm0.004$；(4)$\pm13$；(5)$\pm a^2$；(6)$\pm\sqrt{14}$
【知识点】
平方根的概念，算术平方根运算，二次根式性质
【点评】
本题是平方根求解的基础题型，解题时需注意正数的平方根有两个，不要漏写负根；对于嵌套根式或含乘方的数求平方根时，要先完成内层运算得到具体数值再求平方根，避免因运算顺序错误导致失分。
【难度系数】
0.8
求解一个数的平方根，首先要明确平方根的定义：若$x^2=a$（$a≥0$），则$x$叫做$a$的平方根，正数的平方根有两个，且互为相反数。解题步骤为：①先判断被开方数的正负，确保被开方数非负；②将被开方数转化为某个非负数的平方的形式；③根据平方根的性质写出两个互为相反数的平方根；注意对于含有运算的被开方数（如第(4)题的$(-13)^2$、第(6)题的$\sqrt{196}$），要先计算出该式的结果，再求结果的平方根，避免运算顺序错误。
【解析】
(1) 求121的平方根：$\pm\sqrt{121} = \pm\sqrt{11^2} = \pm11$
(2) 求$\frac{25}{9}$的平方根：$\pm\sqrt{\frac{25}{9}} = \pm\sqrt{( \frac{5}{3} )^2} = \pm\frac{5}{3}$
(3) 求0.000016的平方根：$\pm\sqrt{0.000016} = \pm\sqrt{0.004^2} = \pm0.004$
(4) 求$(-13)^2$的平方根：先计算$(-13)^2=169=13^2$，因此$\pm\sqrt{(-13)^2} = \pm13$
(5) 求$a^4$的平方根：$a^4=(a^2)^2$，因此$\pm\sqrt{a^4} = \pm\sqrt{(a^2)^2} = \pm a^2$
(6) 求$\sqrt{196}$的平方根：先计算$\sqrt{196} = \sqrt{14^2} = 14$，再求14的平方根，即$\pm\sqrt{14}$
【答案】
(1)$\pm11$；(2)$\pm\frac{5}{3}$；(3)$\pm0.004$；(4)$\pm13$；(5)$\pm a^2$；(6)$\pm\sqrt{14}$
【知识点】
平方根的概念，算术平方根运算，二次根式性质
【点评】
本题是平方根求解的基础题型，解题时需注意正数的平方根有两个，不要漏写负根；对于嵌套根式或含乘方的数求平方根时，要先完成内层运算得到具体数值再求平方根，避免因运算顺序错误导致失分。
【难度系数】
0.8
9[2026山东青岛质检]求下列各式中的x:
(1)$x^2 -143=1$;
(2)$4(x+1)^2=81$.
(1)$x^2 -143=1$;
(2)$4(x+1)^2=81$.
答案
9.【解】(1)移项并合并,得$x^2 = 144$,
因为$( \pm12 )^2 = 144$,所以$x = \pm12$.
(2)两边都除以4,得$(x+1)^2 = \frac{81}{4}$,
因为$( \pm\frac{9}{2} )^2 = \frac{81}{4}$,所以$x+1 = \pm\frac{9}{2}$,
解得$x = \frac{7}{2}$或$x = -\frac{11}{2}$.
因为$( \pm12 )^2 = 144$,所以$x = \pm12$.
(2)两边都除以4,得$(x+1)^2 = \frac{81}{4}$,
因为$( \pm\frac{9}{2} )^2 = \frac{81}{4}$,所以$x+1 = \pm\frac{9}{2}$,
解得$x = \frac{7}{2}$或$x = -\frac{11}{2}$.
解析
【分析】
这两道题都是利用平方根的定义求解未知数的基础题型，解题思路清晰：首先通过移项、系数化为1等操作，将方程变形为“含未知数的平方项=正数”的形式；再根据“正数有两个互为相反数的平方根”这一性质，对等式两边开平方，转化为一元一次方程后求解即可。其中第(2)题需要将$(x+1)$看作整体运算，避免拆分出错。
【解析】
(1) 移项并合并同类项，得$x^2 = 144$，
因为$(±12)^2 = 144$，所以$x = ±12$。
(2) 方程两边都除以4，得$(x+1)^2 = \frac{81}{4}$，
因为$(±\frac{9}{2})^2 = \frac{81}{4}$，所以$x+1 = ±\frac{9}{2}$，
当$x+1=\frac{9}{2}$时，解得$x=\frac{7}{2}$；当$x+1=-\frac{9}{2}$时，解得$x=-\frac{11}{2}$。
【答案】
(1)$x=\pm12$；(2)$x=\frac{7}{2}$或$x=-\frac{11}{2}$
【知识点】
平方根的定义，直接开平方法解方程
【点评】
本题考查平方根性质的基础应用，解题关键是先把方程整理为平方项等于非负常数的形式，需注意正数的平方根有两个，不要漏写负根导致失分。
【难度系数】
0.8
这两道题都是利用平方根的定义求解未知数的基础题型，解题思路清晰：首先通过移项、系数化为1等操作，将方程变形为“含未知数的平方项=正数”的形式；再根据“正数有两个互为相反数的平方根”这一性质，对等式两边开平方，转化为一元一次方程后求解即可。其中第(2)题需要将$(x+1)$看作整体运算，避免拆分出错。
【解析】
(1) 移项并合并同类项，得$x^2 = 144$，
因为$(±12)^2 = 144$，所以$x = ±12$。
(2) 方程两边都除以4，得$(x+1)^2 = \frac{81}{4}$，
因为$(±\frac{9}{2})^2 = \frac{81}{4}$，所以$x+1 = ±\frac{9}{2}$，
当$x+1=\frac{9}{2}$时，解得$x=\frac{7}{2}$；当$x+1=-\frac{9}{2}$时，解得$x=-\frac{11}{2}$。
【答案】
(1)$x=\pm12$；(2)$x=\frac{7}{2}$或$x=-\frac{11}{2}$
【知识点】
平方根的定义，直接开平方法解方程
【点评】
本题考查平方根性质的基础应用，解题关键是先把方程整理为平方项等于非负常数的形式，需注意正数的平方根有两个，不要漏写负根导致失分。
【难度系数】
0.8
10[2026江西赣州期末]一块长方形空地面积为2800平方米，其长、宽之比为7:4.
(1)求这块长方形空地的周长；
(2)如图，在空地内修建“T字形”走道(横向走道宽度不变)后将空地分割成两个花坛(花坛1为正方形，花坛2为长方形，其长、宽之比为2:1)，花坛的总面积为2166平方米，宽度为2.5米的农药喷洒车能不能在走道上正常通行？
刷易错 小心有坑~
(1)求这块长方形空地的周长；
(2)如图，在空地内修建“T字形”走道(横向走道宽度不变)后将空地分割成两个花坛(花坛1为正方形，花坛2为长方形，其长、宽之比为2:1)，花坛的总面积为2166平方米，宽度为2.5米的农药喷洒车能不能在走道上正常通行？
刷易错 小心有坑~
答案
10.【解】(1)因为长方形空地的长和宽之比为7:4,所以设长为$7x$ m,宽为$4x$ m. 由题意得$7x · 4x = 2\ 800$,所以$x^2 = 100$,所以$x = 10$ 或 $x = -10$(舍去),所以长方形空地的长为70 m,宽为40 m,所以这块长方形空地的周长为$2×(70+40) = 220(\mathrm{m})$.
(2)设花坛2的宽为$a$ m,则花坛1的边长和花坛2的长均为$2a$ m. 由题意得$(2a)^2 + 2a · a = 2\ 166$,所以$6a^2 = 2\ 166$,所以$a^2 = 361$,所以$a = 19$ 或 $a = -19$(舍去),所以花坛1的边长为38 m,花坛2的长为38 m,宽为19 m. 因为$40-38 = 2(\mathrm{m}) ＜ 2.5$ m,所以宽度为2.5 m的农药喷洒车不能在走道上正常通行.
(2)设花坛2的宽为$a$ m,则花坛1的边长和花坛2的长均为$2a$ m. 由题意得$(2a)^2 + 2a · a = 2\ 166$,所以$6a^2 = 2\ 166$,所以$a^2 = 361$,所以$a = 19$ 或 $a = -19$(舍去),所以花坛1的边长为38 m,花坛2的长为38 m,宽为19 m. 因为$40-38 = 2(\mathrm{m}) ＜ 2.5$ m,所以宽度为2.5 m的农药喷洒车不能在走道上正常通行.
解析
【分析】
(1) 已知长方形空地的长宽比和总面积，可通过设参数的方式表示长和宽，结合长方形面积公式列方程求出参数值，得到长和宽的具体长度后，代入周长公式计算即可。
(2) 先根据花坛1是正方形、花坛2长宽比为2:1的条件，梳理两个花坛的边长关系，设未知数表示各边长度，结合花坛总面积列方程求解，再算出走道的宽度，和喷洒车的宽度对比即可判断能否通行，注意实际问题中长度为正，负值要舍去。
【解析】
(1) 设长方形空地的长为$7x$ m，宽为$4x$ m。
由题意得：$7x · 4x = 2800$
整理得$x^2 = 100$，解得$x = 10$或$x = -10$（长度为正，舍去负解）。
因此长方形空地的长为$7×10=70$ m，宽为$4×10=40$ m。
周长为$2×(70+40) = 220(\mathrm{m})$。
(2) 设花坛2的宽为$a$ m，由花坛2长宽比为2:1得花坛2的长为$2a$ m，结合图形可知花坛1的边长也为$2a$ m。
由题意得：$(2a)^2 + 2a · a = 2166$
整理得$6a^2 = 2166$，即$a^2 = 361$，解得$a = 19$或$a = -19$（舍去负解）。
因此花坛1的边长为$2×19=38$ m，纵向走道宽度为$40-38 = 2(\mathrm{m})$。
因为$2\mathrm{m} ＜ 2.5\mathrm{m}$，所以宽度为2.5m的农药喷洒车不能在走道上正常通行。
【答案】
(1) 220 m；
(2) 不能。
【知识点】
长方形面积与周长计算，平方根的实际应用，一元二次方程应用
【点评】
本题结合生活场景考察方程的实际应用，解题关键是结合图形梳理各部分边长的数量关系，同时要注意实际问题中未知数的取值要符合现实意义，负值需舍去。
【难度系数】
0.7
(1) 已知长方形空地的长宽比和总面积，可通过设参数的方式表示长和宽，结合长方形面积公式列方程求出参数值，得到长和宽的具体长度后，代入周长公式计算即可。
(2) 先根据花坛1是正方形、花坛2长宽比为2:1的条件，梳理两个花坛的边长关系，设未知数表示各边长度，结合花坛总面积列方程求解，再算出走道的宽度，和喷洒车的宽度对比即可判断能否通行，注意实际问题中长度为正，负值要舍去。
【解析】
(1) 设长方形空地的长为$7x$ m，宽为$4x$ m。
由题意得：$7x · 4x = 2800$
整理得$x^2 = 100$，解得$x = 10$或$x = -10$（长度为正，舍去负解）。
因此长方形空地的长为$7×10=70$ m，宽为$4×10=40$ m。
周长为$2×(70+40) = 220(\mathrm{m})$。
(2) 设花坛2的宽为$a$ m，由花坛2长宽比为2:1得花坛2的长为$2a$ m，结合图形可知花坛1的边长也为$2a$ m。
由题意得：$(2a)^2 + 2a · a = 2166$
整理得$6a^2 = 2166$，即$a^2 = 361$，解得$a = 19$或$a = -19$（舍去负解）。
因此花坛1的边长为$2×19=38$ m，纵向走道宽度为$40-38 = 2(\mathrm{m})$。
因为$2\mathrm{m} ＜ 2.5\mathrm{m}$，所以宽度为2.5m的农药喷洒车不能在走道上正常通行。
【答案】
(1) 220 m；
(2) 不能。
【知识点】
长方形面积与周长计算，平方根的实际应用，一元二次方程应用
【点评】
本题结合生活场景考察方程的实际应用，解题关键是结合图形梳理各部分边长的数量关系，同时要注意实际问题中未知数的取值要符合现实意义，负值需舍去。
【难度系数】
0.7
11 王老师给同学们布置了这样一道习题：
如果$a+3$和$2a-15$是某个非负数的平方根，求这个非负数.
小达的解法如下:依据题意可知$(a+3)+(2a-15)=0$,解得$a=4$,则$a+3=7,7^2=49$.故这个数是49.
王老师看后说:“小达的解法不完整.”请你给出这道习题完整的解法.
如果$a+3$和$2a-15$是某个非负数的平方根，求这个非负数.
小达的解法如下:依据题意可知$(a+3)+(2a-15)=0$,解得$a=4$,则$a+3=7,7^2=49$.故这个数是49.
王老师看后说:“小达的解法不完整.”请你给出这道习题完整的解法.
答案
11.【解】①当$a+3 = 2a-15$时,$a = 18$,则 $a+3 = 21,21^2 = 441$;②当$a+3 = -(2a-15)$时,$a = 4$,则 $a+3 = 7,7^2 = 49$. 故这个数是49或441.
解析
【分析】
解决本题首先要回忆平方根的性质：一个非负数的平方根有两种情况，若这个非负数是正数，则它有两个互为相反数的平方根；若这个非负数是0，则它的平方根为0，即两个平方根相等。因此本题给出的两个式子是某个非负数的平方根，需要分两类讨论：第一类是两个式子表示同一个平方根，即二者相等；第二类是两个式子表示互为相反数的两个平方根，即二者和为0。分别求解两种情况对应的a值，再计算对应的非负数即可，小达只考虑了互为相反数的情况，遗漏了相等的情况，所以解法不完整。
【解析】
解：分两种情况讨论：
① 当两个式子表示同一个平方根时：
$a+3 = 2a-15$
移项得：$2a - a = 3 + 15$
解得$a=18$
此时平方根为$a+3=18+3=21$，对应的非负数为$21^2=441$；
② 当两个式子表示互为相反数的两个平方根时：
$(a+3)+(2a-15)=0$
合并同类项得：$3a-12=0$
解得$a=4$
此时其中一个平方根为$a+3=4+3=7$，对应的非负数为$7^2=49$。
综上，这个非负数为49或441。
【答案】
49或441
【知识点】
平方根的性质；解一元一次方程；分类讨论思想
【点评】
本题易错点是容易遗漏两个平方根相等的情况，解题时要全面理解平方根的性质，涉及非负数的两个平方根的问题时，要分相等、互为相反数两种情况讨论，避免漏解。
【难度系数】
0.6
解决本题首先要回忆平方根的性质：一个非负数的平方根有两种情况，若这个非负数是正数，则它有两个互为相反数的平方根；若这个非负数是0，则它的平方根为0，即两个平方根相等。因此本题给出的两个式子是某个非负数的平方根，需要分两类讨论：第一类是两个式子表示同一个平方根，即二者相等；第二类是两个式子表示互为相反数的两个平方根，即二者和为0。分别求解两种情况对应的a值，再计算对应的非负数即可，小达只考虑了互为相反数的情况，遗漏了相等的情况，所以解法不完整。
【解析】
解：分两种情况讨论：
① 当两个式子表示同一个平方根时：
$a+3 = 2a-15$
移项得：$2a - a = 3 + 15$
解得$a=18$
此时平方根为$a+3=18+3=21$，对应的非负数为$21^2=441$；
② 当两个式子表示互为相反数的两个平方根时：
$(a+3)+(2a-15)=0$
合并同类项得：$3a-12=0$
解得$a=4$
此时其中一个平方根为$a+3=4+3=7$，对应的非负数为$7^2=49$。
综上，这个非负数为49或441。
【答案】
49或441
【知识点】
平方根的性质；解一元一次方程；分类讨论思想
【点评】
本题易错点是容易遗漏两个平方根相等的情况，解题时要全面理解平方根的性质，涉及非负数的两个平方根的问题时，要分相等、互为相反数两种情况讨论，避免漏解。
【难度系数】
0.6
