登录
4.已知关于$x$的不等式组$\begin{cases}x-2＞a, \\ x-b≤0\end{cases}$的解集在数轴上的表示如图所示，则$a+b$的值为（ ）.
A.－2
B.0
C.2
D.3
A.－2
B.0
C.2
D.3
答案
4.B
解析
【分析】
首先先求解给定的一元一次不等式组，得到用含a、b表示的解集；再观察数轴上的解集：-3处是空心圆圈向右延伸，说明x＞-3，5处是实心圆点向左延伸，说明x≤5，即可得到数轴表示的解集为-3＜x≤5；最后将两个解集对应相等，求出a、b的值，代入计算a+b即可。
【解析】
先解不等式组$\begin{cases}x-2＞a① \\ x-b≤0②\end{cases}$
解不等式①：移项得$x＞a+2$
解不等式②：移项得$x≤b$
因此不等式组的解集为$a+2＜x≤b$
观察数轴可得，该不等式组的实际解集为$-3＜x≤5$
对应可得：$\begin{cases}a+2=-3 \\ b=5\end{cases}$
解得$\begin{cases}a=-5 \\ b=5\end{cases}$
所以$a+b=-5+5=0$
【答案】
B
【知识点】
1. 一元一次不等式组的解法
2. 不等式组解集的数轴表示
3. 代数式求值
【点评】
本题核心是将解出的含参数的不等式组解集和数轴表示的解集对应相等，进而求出参数值，要注意数轴上空心圆圈表示不包含该点，实心圆点表示包含该点，是不等式组部分的常规基础题。
【难度系数】
0.8
首先先求解给定的一元一次不等式组，得到用含a、b表示的解集；再观察数轴上的解集：-3处是空心圆圈向右延伸，说明x＞-3，5处是实心圆点向左延伸，说明x≤5，即可得到数轴表示的解集为-3＜x≤5；最后将两个解集对应相等，求出a、b的值，代入计算a+b即可。
【解析】
先解不等式组$\begin{cases}x-2＞a① \\ x-b≤0②\end{cases}$
解不等式①：移项得$x＞a+2$
解不等式②：移项得$x≤b$
因此不等式组的解集为$a+2＜x≤b$
观察数轴可得，该不等式组的实际解集为$-3＜x≤5$
对应可得：$\begin{cases}a+2=-3 \\ b=5\end{cases}$
解得$\begin{cases}a=-5 \\ b=5\end{cases}$
所以$a+b=-5+5=0$
【答案】
B
【知识点】
1. 一元一次不等式组的解法
2. 不等式组解集的数轴表示
3. 代数式求值
【点评】
本题核心是将解出的含参数的不等式组解集和数轴表示的解集对应相等，进而求出参数值，要注意数轴上空心圆圈表示不包含该点，实心圆点表示包含该点，是不等式组部分的常规基础题。
【难度系数】
0.8
5.若关于$x$的不等式组$\begin{cases}x＞3, \\ x＞a\end{cases}$的解集是$x＞a$，则（ ）.
A.$a＞3$
B.$a≥3$
C.$a＜3$
D.$a≤3$
A.$a＞3$
B.$a≥3$
C.$a＜3$
D.$a≤3$
答案
5.B
解析
【分析】
本题考查一元一次不等式组的解集判定，解题时可根据“同大取大”的不等式组解集规律分析：首先明确两个不等式均为大于号，属于“同大”类型，解集需取两个边界值中更大的数的右侧。已知解集为$x＞a$，说明$a$是更大的边界值，同时需要验证边界值相等的情况是否符合要求，避免漏掉等号。
【解析】
解一元一次不等式组时，对于两个都是“大于”形式的不等式，遵循“同大取大”的解集判定规则：即解集取两个常数中更大的那个数的右侧。
本题中不等式组为$\begin{cases}x＞3 \\ x＞a\end{cases}$，已知解集为$x＞a$：
1. 当$a＞3$时，$a$是更大的常数，符合“同大取大”，解集为$x＞a$，符合要求；
2. 当$a=3$时，不等式组变为$\begin{cases}x＞3 \\ x＞3\end{cases}$，解集为$x＞3$，也就是$x＞a$（此时$a=3$），同样符合要求。
综上可得$a≥3$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
1. 一元一次不等式组解集判定
2. 同大取大原则
【点评】
本题核心考查不等式组的解集判断规则，易错点是忽略$a=3$的边界情况，解题时遇到边界取值问题可通过代入验证的方式判断是否符合题意，避免漏解。
【难度系数】
0.7
本题考查一元一次不等式组的解集判定，解题时可根据“同大取大”的不等式组解集规律分析：首先明确两个不等式均为大于号，属于“同大”类型，解集需取两个边界值中更大的数的右侧。已知解集为$x＞a$，说明$a$是更大的边界值，同时需要验证边界值相等的情况是否符合要求，避免漏掉等号。
【解析】
解一元一次不等式组时，对于两个都是“大于”形式的不等式，遵循“同大取大”的解集判定规则：即解集取两个常数中更大的那个数的右侧。
本题中不等式组为$\begin{cases}x＞3 \\ x＞a\end{cases}$，已知解集为$x＞a$：
1. 当$a＞3$时，$a$是更大的常数，符合“同大取大”，解集为$x＞a$，符合要求；
2. 当$a=3$时，不等式组变为$\begin{cases}x＞3 \\ x＞3\end{cases}$，解集为$x＞3$，也就是$x＞a$（此时$a=3$），同样符合要求。
综上可得$a≥3$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
1. 一元一次不等式组解集判定
2. 同大取大原则
【点评】
本题核心考查不等式组的解集判断规则，易错点是忽略$a=3$的边界情况，解题时遇到边界取值问题可通过代入验证的方式判断是否符合题意，避免漏解。
【难度系数】
0.7
6.用$[a]$表示不大于$a$的最大整数.例如$[1.5]=1$，$[-2.3]=-3$.
若$[x]+4=1$，则$x$的取值范围是（
A.$-3≤ x＜-2$
B.$-3≤ x≤ -2$
C.$-3＜ x≤ -2$
D.$-3＜ x＜ -2$
若$[x]+4=1$，则$x$的取值范围是（
A
）.A.$-3≤ x＜-2$
B.$-3≤ x≤ -2$
C.$-3＜ x≤ -2$
D.$-3＜ x＜ -2$
答案
6.A
解析
【分析】
解题时首先从已知方程入手，先通过移项计算出$[x]$的值，再结合题目给出的“$[a]$表示不大于$a$的最大整数”的定义分析$x$的取值边界：一是$x$不能小于$[x]$，否则取整结果会比$[x]$小；二是$x$不能大于等于$[x]+1$，否则取整结果会比$[x]$大，结合这两个边界就能确定$x$的取值范围。
【解析】
第一步：求解$[x]$的值
已知$[x]+4=1$，移项可得$[x] = 1 - 4 = -3$。
第二步：根据取整定义推导$x$的范围
根据题意，$[a]$是不大于$a$的最大整数，当$[x]=-3$时：
① $x ≥ -3$：若$x ＜ -3$（例如$x=-3.1$），则不大于$x$的最大整数为$-4$，不符合$[x]=-3$，故$x$可以等于$-3$，最小边界为$-3$（包含）；
② $x ＜ -2$：若$x ≥ -2$（例如$x=-2$），则不大于$x$的最大整数为$-2$，不符合$[x]=-3$，故$x$不能等于$-2$，最大边界为$-2$（不包含）。
综上，$x$的取值范围是$-3 ≤ x ＜ -2$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
新定义运算，解一元一次方程，不等式取值范围确定
【点评】
本题核心是对新定义的理解，需要结合方程和不等式的知识判断边界值是否可取，易错点是容易混淆两个端点的包含关系，解题时可以通过举例子验证端点的合理性，降低出错概率。
【难度系数】
0.7
解题时首先从已知方程入手，先通过移项计算出$[x]$的值，再结合题目给出的“$[a]$表示不大于$a$的最大整数”的定义分析$x$的取值边界：一是$x$不能小于$[x]$，否则取整结果会比$[x]$小；二是$x$不能大于等于$[x]+1$，否则取整结果会比$[x]$大，结合这两个边界就能确定$x$的取值范围。
【解析】
第一步：求解$[x]$的值
已知$[x]+4=1$，移项可得$[x] = 1 - 4 = -3$。
第二步：根据取整定义推导$x$的范围
根据题意，$[a]$是不大于$a$的最大整数，当$[x]=-3$时：
① $x ≥ -3$：若$x ＜ -3$（例如$x=-3.1$），则不大于$x$的最大整数为$-4$，不符合$[x]=-3$，故$x$可以等于$-3$，最小边界为$-3$（包含）；
② $x ＜ -2$：若$x ≥ -2$（例如$x=-2$），则不大于$x$的最大整数为$-2$，不符合$[x]=-3$，故$x$不能等于$-2$，最大边界为$-2$（不包含）。
综上，$x$的取值范围是$-3 ≤ x ＜ -2$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
新定义运算，解一元一次方程，不等式取值范围确定
【点评】
本题核心是对新定义的理解，需要结合方程和不等式的知识判断边界值是否可取，易错点是容易混淆两个端点的包含关系，解题时可以通过举例子验证端点的合理性，降低出错概率。
【难度系数】
0.7
7. 不等式组$\begin{cases}2x+4＞0, \\x-1＜0\end{cases}$的解集为 ______ 。
答案
7.$-2＜x＜1$
解析
【分析】
解一元一次不等式组的核心思路是先分别求解组内每个一元一次不等式的解集，再找出两个解集的公共部分，该公共部分就是不等式组的最终解集。解题时先对第一个不等式通过移项、系数化为1求出解集，再用相同方法求出第二个不等式的解集，最后结合两个解集的大小关系确定公共范围即可。
【解析】
先求解第一个不等式$2x+4＞0$：
移项可得$2x＞-4$，
不等式两边同时除以2，得$x＞-2$。
再求解第二个不等式$x-1＜0$：
移项可得$x＜1$。
两个解集的公共部分为$-2＜x＜1$，即该不等式组的解集为$-2＜x＜1$。
【答案】
$-2＜x＜1$
【知识点】
1. 解一元一次不等式
2. 一元一次不等式组解集的确定
【点评】
本题是不等式组的基础考查题型，主要考察一元一次不等式组的常规解法，只要熟练掌握一元一次不等式的求解步骤，能够准确判断多个解集的公共范围就能顺利得分。
【难度系数】
0.9
解一元一次不等式组的核心思路是先分别求解组内每个一元一次不等式的解集，再找出两个解集的公共部分，该公共部分就是不等式组的最终解集。解题时先对第一个不等式通过移项、系数化为1求出解集，再用相同方法求出第二个不等式的解集，最后结合两个解集的大小关系确定公共范围即可。
【解析】
先求解第一个不等式$2x+4＞0$：
移项可得$2x＞-4$，
不等式两边同时除以2，得$x＞-2$。
再求解第二个不等式$x-1＜0$：
移项可得$x＜1$。
两个解集的公共部分为$-2＜x＜1$，即该不等式组的解集为$-2＜x＜1$。
【答案】
$-2＜x＜1$
【知识点】
1. 解一元一次不等式
2. 一元一次不等式组解集的确定
【点评】
本题是不等式组的基础考查题型，主要考察一元一次不等式组的常规解法，只要熟练掌握一元一次不等式的求解步骤，能够准确判断多个解集的公共范围就能顺利得分。
【难度系数】
0.9
8.若$x$满足$0≤ 3x - 1 ＜ 2$，则$x$的取值范围是
$\frac{1}{3}≤x＜1$
。答案
8.$\frac{1}{3}≤x＜1$
解析
【分析】
这是一道连写形式的一元一次不等式求解题目，解题思路是利用不等式的基本性质，对不等式的三部分同时进行相同的运算，逐步将中间项x的系数化为1，最终得到x的取值范围。也可以把连写不等式拆成两个独立的一元一次不等式组成不等式组，分别求解后取公共解集，两种方法思路一致，连写形式运算更简便。运算时注意，给不等式各部分加同一个数、除以同一个正数时，不等号的方向不会发生改变。
【解析】
解：已知不等式为 $0≤ 3x - 1 ＜ 2$
1. 给不等式的三部分同时加1，不等号方向不变：
$0 + 1≤ 3x - 1 + 1 ＜ 2 + 1$
化简得：$1≤ 3x ＜ 3$
2. 给不等式的三部分同时除以3（3为正数，不等号方向不变）：
$\frac{1}{3}≤ \frac{3x}{3} ＜ \frac{3}{3}$
化简得：$\frac{1}{3}≤ x ＜ 1$
【答案】
$\frac{1}{3}≤ x ＜ 1$
【知识点】
一元一次不等式求解、不等式的基本性质
【点评】
本题属于基础题型，重点考查连写型一元一次不等式的求解方法，只要熟练掌握不等式的基本性质，运算仔细，即可快速得到正确结果，解题时要注意不要搞错不等号的方向。
【难度系数】
0.9
这是一道连写形式的一元一次不等式求解题目，解题思路是利用不等式的基本性质，对不等式的三部分同时进行相同的运算，逐步将中间项x的系数化为1，最终得到x的取值范围。也可以把连写不等式拆成两个独立的一元一次不等式组成不等式组，分别求解后取公共解集，两种方法思路一致，连写形式运算更简便。运算时注意，给不等式各部分加同一个数、除以同一个正数时，不等号的方向不会发生改变。
【解析】
解：已知不等式为 $0≤ 3x - 1 ＜ 2$
1. 给不等式的三部分同时加1，不等号方向不变：
$0 + 1≤ 3x - 1 + 1 ＜ 2 + 1$
化简得：$1≤ 3x ＜ 3$
2. 给不等式的三部分同时除以3（3为正数，不等号方向不变）：
$\frac{1}{3}≤ \frac{3x}{3} ＜ \frac{3}{3}$
化简得：$\frac{1}{3}≤ x ＜ 1$
【答案】
$\frac{1}{3}≤ x ＜ 1$
【知识点】
一元一次不等式求解、不等式的基本性质
【点评】
本题属于基础题型，重点考查连写型一元一次不等式的求解方法，只要熟练掌握不等式的基本性质，运算仔细，即可快速得到正确结果，解题时要注意不要搞错不等号的方向。
【难度系数】
0.9
9. 如果关于$x$的一元一次不等式组$\begin{cases}x - a ＞ 0, \\ 3x - 4 ＜ 5\end{cases}$有解，则$a$的取值范围是 ______ 。
答案
9.$a＜3$
解析
【分析】
要解决含参数的一元一次不等式组有解的问题，可按以下思路思考：首先分别求解不等式组中的两个不等式，得到各自的解集；再根据“不等式组有解意味着两个解集存在公共部分”的规则，结合不等式解集的判定口诀，推导参数的取值范围，最后还要验证端点值是否符合题意，避免错取等号。
【解析】
第一步：分别解两个不等式
解不等式$x - a ＞ 0$，移项可得：$x ＞ a$；
解不等式$3x - 4 ＜ 5$，先移项得$3x ＜ 5 + 4$，即$3x ＜ 9$，两边同时除以3得：$x ＜ 3$。
第二步：根据不等式组有解确定$a$的范围
因为不等式组有解，说明解集$x ＞ a$和$x ＜ 3$有公共部分，根据“大小小大中间找”的解集判定规则，可得$a$必须小于3；若$a=3$，则解集为$x＞3$和$x＜3$，无公共部分，不符合有解的要求，因此$a$不能取3。
综上，$a$的取值范围是$a ＜ 3$。
【答案】
$a ＜ 3$
【知识点】
解一元一次不等式；一元一次不等式组的解集判定
【点评】
本题属于一元一次不等式组的基础含参题型，解题关键是先正确求出固定不等式的解集，再结合不等式组有解的条件推导参数范围，需注意判断端点值是否符合题意，避免出现多写等号的错误。
【难度系数】
0.8
要解决含参数的一元一次不等式组有解的问题，可按以下思路思考：首先分别求解不等式组中的两个不等式，得到各自的解集；再根据“不等式组有解意味着两个解集存在公共部分”的规则，结合不等式解集的判定口诀，推导参数的取值范围，最后还要验证端点值是否符合题意，避免错取等号。
【解析】
第一步：分别解两个不等式
解不等式$x - a ＞ 0$，移项可得：$x ＞ a$；
解不等式$3x - 4 ＜ 5$，先移项得$3x ＜ 5 + 4$，即$3x ＜ 9$，两边同时除以3得：$x ＜ 3$。
第二步：根据不等式组有解确定$a$的范围
因为不等式组有解，说明解集$x ＞ a$和$x ＜ 3$有公共部分，根据“大小小大中间找”的解集判定规则，可得$a$必须小于3；若$a=3$，则解集为$x＞3$和$x＜3$，无公共部分，不符合有解的要求，因此$a$不能取3。
综上，$a$的取值范围是$a ＜ 3$。
【答案】
$a ＜ 3$
【知识点】
解一元一次不等式；一元一次不等式组的解集判定
【点评】
本题属于一元一次不等式组的基础含参题型，解题关键是先正确求出固定不等式的解集，再结合不等式组有解的条件推导参数范围，需注意判断端点值是否符合题意，避免出现多写等号的错误。
【难度系数】
0.8
10.运行程序如图所示，规定：从“输入一个值x”到“结果是否＞94”为一次程序操作，如果程序操作进行了二次才停止，则x的取值范围是
$10＜x≤31$
。答案
10.$10＜x≤31$
解析
【分析】
要解决本题，首先明确“程序操作进行了二次才停止”的含义：第一次操作后得到的结果不大于94，所以返回重新输入；第二次操作后得到的结果大于94，程序停止。我们需要分别根据两次操作的运算规则列出对应的不等式，组成一元一次不等式组，求解即可得到x的取值范围。
【解析】
根据程序运算规则，每次操作的计算式为：输入值×3 +1。
∵ 程序操作进行了二次才停止
∴ 可列不等式组：
1. 第一次操作结果不大于94：
$3x + 1 ≤ 94$
解不等式：
$3x ≤ 94 - 1$
$3x ≤ 93$
$x ≤ 31$
2. 第二次操作是将第一次的结果作为新的输入，结果大于94：
$3(3x + 1) + 1 ＞ 94$
解不等式：
$9x + 3 + 1 ＞ 94$
$9x + 4 ＞ 94$
$9x ＞ 90$
$x ＞ 10$
综合两个不等式的解，可得x的取值范围为$10 ＜ x ≤ 31$。
【答案】
$10 ＜ x ≤ 31$
【知识点】
一元一次不等式组求解，程序流程图运算，列不等式
【点评】
本题结合程序流程图考查不等式组的实际应用，解题的核心是准确理解操作次数对应的不等关系，易错点是容易搞错两次运算的不等号方向，只要理清两次操作的结果要求，就能正确求解。
【难度系数】
0.7
要解决本题，首先明确“程序操作进行了二次才停止”的含义：第一次操作后得到的结果不大于94，所以返回重新输入；第二次操作后得到的结果大于94，程序停止。我们需要分别根据两次操作的运算规则列出对应的不等式，组成一元一次不等式组，求解即可得到x的取值范围。
【解析】
根据程序运算规则，每次操作的计算式为：输入值×3 +1。
∵ 程序操作进行了二次才停止
∴ 可列不等式组：
1. 第一次操作结果不大于94：
$3x + 1 ≤ 94$
解不等式：
$3x ≤ 94 - 1$
$3x ≤ 93$
$x ≤ 31$
2. 第二次操作是将第一次的结果作为新的输入，结果大于94：
$3(3x + 1) + 1 ＞ 94$
解不等式：
$9x + 3 + 1 ＞ 94$
$9x + 4 ＞ 94$
$9x ＞ 90$
$x ＞ 10$
综合两个不等式的解，可得x的取值范围为$10 ＜ x ≤ 31$。
【答案】
$10 ＜ x ≤ 31$
【知识点】
一元一次不等式组求解，程序流程图运算，列不等式
【点评】
本题结合程序流程图考查不等式组的实际应用，解题的核心是准确理解操作次数对应的不等关系，易错点是容易搞错两次运算的不等号方向，只要理清两次操作的结果要求，就能正确求解。
【难度系数】
0.7
三、解答题
11. 解下列不等式组：
（1）$\begin{cases} 3x - 7 ＞ 0, \\ 2 ＞ 5 - x; \end{cases}$
（2）$\begin{cases} \dfrac{x}{2} + 1 ＜ 3, \\ x + 4 ＞ 0. \end{cases}$
11. 解下列不等式组：
（1）$\begin{cases} 3x - 7 ＞ 0, \\ 2 ＞ 5 - x; \end{cases}$
（2）$\begin{cases} \dfrac{x}{2} + 1 ＜ 3, \\ x + 4 ＞ 0. \end{cases}$
答案
11.(1)$x＞3$
(2)$-4＜x＜4$
(2)$-4＜x＜4$
解析
【分析】
解一元一次不等式组的思路分为两步：第一步先分别求解组内的每个一元一次不等式，解单个不等式时按照移项、合并同类项、系数化为1的步骤操作，移项要变号，若系数为正数，不等号方向无需改变；第二步再根据解集的取值规律确定公共部分，公共部分就是不等式组的最终解集，取值规律可记为：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到。
【解析】
（1）$\begin{cases} 3x - 7 ＞ 0&① \\ 2 ＞ 5 - x&② \end{cases}$
解不等式①：移项得$3x＞7$，系数化为1得$x＞\dfrac{7}{3}$；
解不等式②：移项得$x＞5-2$，合并同类项得$x＞3$；
两个解集的公共部分为$x＞3$，故该不等式组的解集为$x＞3$。
（2）$\begin{cases} \dfrac{x}{2} + 1 ＜ 3&① \\ x + 4 ＞ 0&② \end{cases}$
解不等式①：移项得$\dfrac{x}{2}＜3-1$，合并同类项得$\dfrac{x}{2}＜2$，两边同乘2得$x＜4$；
解不等式②：移项得$x＞-4$；
两个解集的公共部分为$-4＜x＜4$，故该不等式组的解集为$-4＜x＜4$。
【答案】
(1)$x＞3$
(2)$-4＜x＜4$
【知识点】
1. 一元一次不等式的解法
2. 一元一次不等式组解集的确定
【点评】
本题是一元一次不等式组的基础题型，主要考查解不等式的基本操作和不等式组解集的判断规律，熟练掌握相关基础规则即可快速求解。
【难度系数】
0.8
解一元一次不等式组的思路分为两步：第一步先分别求解组内的每个一元一次不等式，解单个不等式时按照移项、合并同类项、系数化为1的步骤操作，移项要变号，若系数为正数，不等号方向无需改变；第二步再根据解集的取值规律确定公共部分，公共部分就是不等式组的最终解集，取值规律可记为：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到。
【解析】
（1）$\begin{cases} 3x - 7 ＞ 0&① \\ 2 ＞ 5 - x&② \end{cases}$
解不等式①：移项得$3x＞7$，系数化为1得$x＞\dfrac{7}{3}$；
解不等式②：移项得$x＞5-2$，合并同类项得$x＞3$；
两个解集的公共部分为$x＞3$，故该不等式组的解集为$x＞3$。
（2）$\begin{cases} \dfrac{x}{2} + 1 ＜ 3&① \\ x + 4 ＞ 0&② \end{cases}$
解不等式①：移项得$\dfrac{x}{2}＜3-1$，合并同类项得$\dfrac{x}{2}＜2$，两边同乘2得$x＜4$；
解不等式②：移项得$x＞-4$；
两个解集的公共部分为$-4＜x＜4$，故该不等式组的解集为$-4＜x＜4$。
【答案】
(1)$x＞3$
(2)$-4＜x＜4$
【知识点】
1. 一元一次不等式的解法
2. 一元一次不等式组解集的确定
【点评】
本题是一元一次不等式组的基础题型，主要考查解不等式的基本操作和不等式组解集的判断规律，熟练掌握相关基础规则即可快速求解。
【难度系数】
0.8
