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1 下列条件中,不能判定两个直角三角形全等的是(
A.斜边和一直角边对应相等
B.两个锐角对应相等
C.一锐角和斜边对应相等
D.两条直角边对应相等
B
)。A.斜边和一直角边对应相等
B.两个锐角对应相等
C.一锐角和斜边对应相等
D.两条直角边对应相等
答案
1 B
解析
【分析】
拿到本题首先明确题干要求：选出不能判定两个直角三角形全等的选项。解题思路如下：首先梳理直角三角形全等的判定规则：普通三角形全等的判定定理（SSS、SAS、ASA、AAS）均适用于直角三角形，此外直角三角形还有专属判定定理HL（斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等）。需注意所有全等判定必须包含至少一组对应边相等，仅角相等只能说明三角形形状相同，无法保证大小相等，不能判定全等。接下来逐一验证各选项是否符合判定条件即可。
【解析】
我们逐个分析选项：
A选项：斜边和一直角边对应相等，符合直角三角形专属的HL判定定理，可以判定两个直角三角形全等，不符合题意；
B选项：两个锐角对应相等，仅能证明两个三角形形状相似，没有对应边相等的条件，无法判定全等，符合题意；
C选项：一锐角和斜边对应相等，结合两个三角形都有相等的直角，符合AAS（两角及其中一角的对边对应相等）的全等判定条件，可以判定全等，不符合题意；
D选项：两条直角边对应相等，直角是两边的夹角，符合SAS（两边及其夹角对应相等）的全等判定条件，可以判定全等，不符合题意。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
直角三角形全等判定；全等三角形判定条件
【点评】
本题是基础概念类考题，主要考查对直角三角形全等判定规则的掌握。要注意全等判定的核心是既要形状相同也要大小相等，因此必须有边的对应相等，仅角相等无法判定全等，学习时要记清各类判定定理的适用条件，避免概念混淆。
【难度系数】
0.8
拿到本题首先明确题干要求：选出不能判定两个直角三角形全等的选项。解题思路如下：首先梳理直角三角形全等的判定规则：普通三角形全等的判定定理（SSS、SAS、ASA、AAS）均适用于直角三角形，此外直角三角形还有专属判定定理HL（斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等）。需注意所有全等判定必须包含至少一组对应边相等，仅角相等只能说明三角形形状相同，无法保证大小相等，不能判定全等。接下来逐一验证各选项是否符合判定条件即可。
【解析】
我们逐个分析选项：
A选项：斜边和一直角边对应相等，符合直角三角形专属的HL判定定理，可以判定两个直角三角形全等，不符合题意；
B选项：两个锐角对应相等，仅能证明两个三角形形状相似，没有对应边相等的条件，无法判定全等，符合题意；
C选项：一锐角和斜边对应相等，结合两个三角形都有相等的直角，符合AAS（两角及其中一角的对边对应相等）的全等判定条件，可以判定全等，不符合题意；
D选项：两条直角边对应相等，直角是两边的夹角，符合SAS（两边及其夹角对应相等）的全等判定条件，可以判定全等，不符合题意。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
直角三角形全等判定；全等三角形判定条件
【点评】
本题是基础概念类考题，主要考查对直角三角形全等判定规则的掌握。要注意全等判定的核心是既要形状相同也要大小相等，因此必须有边的对应相等，仅角相等无法判定全等，学习时要记清各类判定定理的适用条件，避免概念混淆。
【难度系数】
0.8
2 如图,在$Rt△ ABC$中,$∠ B=90°$,点E在边AB上,$DE=CD$,$DF⊥ AC$于点F,$BE=CF$。若$AB=12$,$BD=4$,$△ ABC$的面积是54,则线段AC的长为(
A.13
B.15
C.16
D.18
B
)。A.13
B.15
C.16
D.18
答案
2 B
解析
【分析】
首先观察图形，已知∠B=90°，DF⊥AC，可得△BDE和△FCD都是直角三角形，结合已知DE=CD、BE=CF，可通过HL判定两个直角三角形全等，得到BD=DF。再将△ABC的面积拆分为△ABD和△ACD的面积之和，代入已知数值即可建立关于AC的方程，求解得到AC的长度。
【解析】
解：
∵∠B=90°，DF⊥AC，
∴∠B=∠DFC=90°，即△BDE和△FCD均为直角三角形。
在Rt△BDE和Rt△FCD中，
$\{\begin{array}{l}DE=CD\\ BE=CF\end{array} $
∴Rt△BDE≌Rt△FCD（HL），
∴BD=DF=4。
∵$S_{△ABC}=S_{△ABD}+S_{△ACD}$，
∴$S_{△ABC}=\frac{1}{2}×AB×BD + \frac{1}{2}×AC×DF$，
将$S_{△ABC}=54$，AB=12，BD=DF=4代入得：
$54=\frac{1}{2}×12×4 + \frac{1}{2}×AC×4$，
化简得：54=24+2AC，
解得AC=15。
【答案】
B
【知识点】
直角三角形全等的判定，全等三角形的性质，三角形面积计算
【点评】
本题解题关键是先通过HL判定直角三角形全等得到DF的长度，再利用分割法表示三角形总面积建立方程求解，巧妙运用面积关系避免了复杂的边长推导，是几何中求线段长度的常用方法。
【难度系数】
0.7
首先观察图形，已知∠B=90°，DF⊥AC，可得△BDE和△FCD都是直角三角形，结合已知DE=CD、BE=CF，可通过HL判定两个直角三角形全等，得到BD=DF。再将△ABC的面积拆分为△ABD和△ACD的面积之和，代入已知数值即可建立关于AC的方程，求解得到AC的长度。
【解析】
解：
∵∠B=90°，DF⊥AC，
∴∠B=∠DFC=90°，即△BDE和△FCD均为直角三角形。
在Rt△BDE和Rt△FCD中，
$\{\begin{array}{l}DE=CD\\ BE=CF\end{array} $
∴Rt△BDE≌Rt△FCD（HL），
∴BD=DF=4。
∵$S_{△ABC}=S_{△ABD}+S_{△ACD}$，
∴$S_{△ABC}=\frac{1}{2}×AB×BD + \frac{1}{2}×AC×DF$，
将$S_{△ABC}=54$，AB=12，BD=DF=4代入得：
$54=\frac{1}{2}×12×4 + \frac{1}{2}×AC×4$，
化简得：54=24+2AC，
解得AC=15。
【答案】
B
【知识点】
直角三角形全等的判定，全等三角形的性质，三角形面积计算
【点评】
本题解题关键是先通过HL判定直角三角形全等得到DF的长度，再利用分割法表示三角形总面积建立方程求解，巧妙运用面积关系避免了复杂的边长推导，是几何中求线段长度的常用方法。
【难度系数】
0.7
3 如图,在$△ ABC$中,$BD ⊥ AC$于点$D$,$CE ⊥ AB$于点$E$,$BD=CE$,$BD$与$CE$交于点$O$,连接$AO$并延长,交$BC$于点$F$,则图中全等的三角形有(
A.3对
B.4对
C.5对
D.7对
D
)。A.3对
B.4对
C.5对
D.7对
答案
3 D [提示：△BCD ≅ △CBE;△OCD ≅ △OBE;△OCF ≅ △OBF;△OAD ≅ △OAE;△ACF ≅ △ABF;△AOC ≅ △AOB;△ACE ≅ △ABD，共有7对全等三角形。]
解析
【分析】
解题时先从题干给出的垂直、BD=CE的条件入手，先找最容易证明的全等直角三角形，再利用已证全等得到的边、角相等的结论，逐步推导其他全等三角形，注意按顺序梳理，避免漏数、多算。
第一步：先看共斜边的直角三角形△BCD和△CBE，利用HL可证全等；
第二步：由全等得到对应边、角相等，证明△OCD和△OBE全等；
第三步：再结合得到的边相等，依次证明剩余的全等三角形，最后统计总对数即可。
【解析】
我们按由易到难的顺序逐一证明全等三角形：
1. 证明$△ BCD ≌ △ CBE$：
∵ $BD ⊥ AC$，$CE ⊥ AB$，
∴ $∠ BDC = ∠ CEB = 90°$，
在$Rt△ BCD$和$Rt△ CBE$中，$\begin{cases} BC=CB \\ BD=CE \end{cases}$，
∴ $Rt△ BCD ≌ Rt△ CBE$（HL），得$BE=CD$，$∠ CBD = ∠ BCE$，$∠ ABC = ∠ ACB$，
∴ $AB=AC$。
2. 证明$△ OCD ≌ △ OBE$：
在$△ OCD$和$△ OBE$中，$\begin{cases} ∠ ODC = ∠ OEB = 90° \\ ∠ COD = ∠ BOE \\ CD=BE \end{cases}$，
∴ $△ OCD ≌ △ OBE$（AAS），得$OB=OC$，$OD=OE$。
3. 证明$△ OAD ≌ △ OAE$：
在$Rt△ OAD$和$Rt△ OAE$中，$\begin{cases} AO=AO \\ OD=OE \end{cases}$，
∴ $Rt△ OAD ≌ Rt△ OAE$（HL），得$AD=AE$，$∠ OAD = ∠ OAE$。
4. 证明$△ ACE ≌ △ ABD$：
在$Rt△ ACE$和$Rt△ ABD$中，$\begin{cases} AC=AB \\ CE=BD \end{cases}$，
∴ $Rt△ ACE ≌ Rt△ ABD$（HL）。
5. 证明$△ AOC ≌ △ AOB$：
在$△ AOC$和$△ AOB$中，$\begin{cases} AC=AB \\ AO=AO \\ OC=OB \end{cases}$，
∴ $△ AOC ≌ △ AOB$（SSS）。
6. 证明$△ ACF ≌ △ ABF$：
∵ $AB=AC$，$AF$平分$∠ BAC$，
在$△ ACF$和$△ ABF$中，$\begin{cases} AC=AB \\ ∠ CAF = ∠ BAF \\ AF=AF \end{cases}$，
∴ $△ ACF ≌ △ ABF$（SAS），得$CF=BF$。
7. 证明$△ OCF ≌ △ OBF$：
在$△ OCF$和$△ OBF$中，$\begin{cases} OC=OB \\ CF=BF \\ OF=OF \end{cases}$，
∴ $△ OCF ≌ △ OBF$（SSS）。
综上，共有7对全等三角形。
【答案】
D
【知识点】
全等三角形的判定，等腰三角形性质，直角三角形全等判定
【点评】
本题需要结合已知条件逐步推导全等三角形，考查学生的逻辑推理能力和对全等判定定理的熟练运用程度，解题时注意按顺序梳理，避免遗漏全等对。
【难度系数】
0.6
解题时先从题干给出的垂直、BD=CE的条件入手，先找最容易证明的全等直角三角形，再利用已证全等得到的边、角相等的结论，逐步推导其他全等三角形，注意按顺序梳理，避免漏数、多算。
第一步：先看共斜边的直角三角形△BCD和△CBE，利用HL可证全等；
第二步：由全等得到对应边、角相等，证明△OCD和△OBE全等；
第三步：再结合得到的边相等，依次证明剩余的全等三角形，最后统计总对数即可。
【解析】
我们按由易到难的顺序逐一证明全等三角形：
1. 证明$△ BCD ≌ △ CBE$：
∵ $BD ⊥ AC$，$CE ⊥ AB$，
∴ $∠ BDC = ∠ CEB = 90°$，
在$Rt△ BCD$和$Rt△ CBE$中，$\begin{cases} BC=CB \\ BD=CE \end{cases}$，
∴ $Rt△ BCD ≌ Rt△ CBE$（HL），得$BE=CD$，$∠ CBD = ∠ BCE$，$∠ ABC = ∠ ACB$，
∴ $AB=AC$。
2. 证明$△ OCD ≌ △ OBE$：
在$△ OCD$和$△ OBE$中，$\begin{cases} ∠ ODC = ∠ OEB = 90° \\ ∠ COD = ∠ BOE \\ CD=BE \end{cases}$，
∴ $△ OCD ≌ △ OBE$（AAS），得$OB=OC$，$OD=OE$。
3. 证明$△ OAD ≌ △ OAE$：
在$Rt△ OAD$和$Rt△ OAE$中，$\begin{cases} AO=AO \\ OD=OE \end{cases}$，
∴ $Rt△ OAD ≌ Rt△ OAE$（HL），得$AD=AE$，$∠ OAD = ∠ OAE$。
4. 证明$△ ACE ≌ △ ABD$：
在$Rt△ ACE$和$Rt△ ABD$中，$\begin{cases} AC=AB \\ CE=BD \end{cases}$，
∴ $Rt△ ACE ≌ Rt△ ABD$（HL）。
5. 证明$△ AOC ≌ △ AOB$：
在$△ AOC$和$△ AOB$中，$\begin{cases} AC=AB \\ AO=AO \\ OC=OB \end{cases}$，
∴ $△ AOC ≌ △ AOB$（SSS）。
6. 证明$△ ACF ≌ △ ABF$：
∵ $AB=AC$，$AF$平分$∠ BAC$，
在$△ ACF$和$△ ABF$中，$\begin{cases} AC=AB \\ ∠ CAF = ∠ BAF \\ AF=AF \end{cases}$，
∴ $△ ACF ≌ △ ABF$（SAS），得$CF=BF$。
7. 证明$△ OCF ≌ △ OBF$：
在$△ OCF$和$△ OBF$中，$\begin{cases} OC=OB \\ CF=BF \\ OF=OF \end{cases}$，
∴ $△ OCF ≌ △ OBF$（SSS）。
综上，共有7对全等三角形。
【答案】
D
【知识点】
全等三角形的判定，等腰三角形性质，直角三角形全等判定
【点评】
本题需要结合已知条件逐步推导全等三角形，考查学生的逻辑推理能力和对全等判定定理的熟练运用程度，解题时注意按顺序梳理，避免遗漏全等对。
【难度系数】
0.6
④ 如图，在$△ ABC$中，$∠ A = 90°$，$DE ⊥ BC$，垂足为点$E$，若$AD = DE$，且$∠ C = 50°$，则$∠ ABD$的度数为________。
答案
4 20°
解析
【分析】
首先从已知条件入手，∠A=90°、DE⊥BC可得△ABD与△EBD均为直角三角形，结合已知AD=DE、公共边BD，可通过HL判定两个直角三角形全等，进而得到BD平分∠ABC；再利用三角形内角和定理先求出∠ABC的度数，平分后即可得到∠ABD的度数。
【解析】
在△ABC中，∠A=90°，∠C=50°，根据三角形内角和为180°可得：
∠ABC = 180° - ∠A - ∠C = 180° - 90° - 50° = 40°
∵DE⊥BC，
∴∠DEB = 90° = ∠A，即Rt△ABD和Rt△EBD均为直角三角形
在Rt△ABD和Rt△EBD中：
$\{\begin{array}{l} AD=DE(已知)\\ BD=BD(公共边)\end{array} $
∴Rt△ABD≌Rt△EBD（HL）
∴∠ABD = ∠EBD，即BD平分∠ABC
∴∠ABD = $\frac{1}{2}$∠ABC = $\frac{1}{2}$×40° = 20°
【答案】
20°
【知识点】
直角三角形全等判定、三角形内角和定理、角平分线定义
【点评】
本题属于基础几何计算题，核心是利用HL证明直角三角形全等得到角的等量关系，再结合三角形内角和求解角度，解题时注意直角三角形全等判定的适用条件。
【难度系数】
0.7
首先从已知条件入手，∠A=90°、DE⊥BC可得△ABD与△EBD均为直角三角形，结合已知AD=DE、公共边BD，可通过HL判定两个直角三角形全等，进而得到BD平分∠ABC；再利用三角形内角和定理先求出∠ABC的度数，平分后即可得到∠ABD的度数。
【解析】
在△ABC中，∠A=90°，∠C=50°，根据三角形内角和为180°可得：
∠ABC = 180° - ∠A - ∠C = 180° - 90° - 50° = 40°
∵DE⊥BC，
∴∠DEB = 90° = ∠A，即Rt△ABD和Rt△EBD均为直角三角形
在Rt△ABD和Rt△EBD中：
$\{\begin{array}{l} AD=DE(已知)\\ BD=BD(公共边)\end{array} $
∴Rt△ABD≌Rt△EBD（HL）
∴∠ABD = ∠EBD，即BD平分∠ABC
∴∠ABD = $\frac{1}{2}$∠ABC = $\frac{1}{2}$×40° = 20°
【答案】
20°
【知识点】
直角三角形全等判定、三角形内角和定理、角平分线定义
【点评】
本题属于基础几何计算题，核心是利用HL证明直角三角形全等得到角的等量关系，再结合三角形内角和求解角度，解题时注意直角三角形全等判定的适用条件。
【难度系数】
0.7
5 如图,在$\mathrm{Rt}△ ABC$中,$∠ C=90°$,$AC=20\,\mathrm{cm}$,$BC=10\,\mathrm{cm}$,$AX ⊥ AC$,点$P$和点$Q$分别在线段$AC$和射线$AX$上运动,且$AB=PQ$,当$AP=\_\_\_\_\_\_$时,以点$A$、$P$、$Q$为顶点的三角形与$△ ABC$全等。
答案
5 10或20
解析
【分析】
首先确定两个三角形均为直角三角形：已知∠C=90°，AX⊥AC可得∠PAQ=90°，因此△ABC和△APQ都是直角三角形。题中已给出斜边AB=PQ，根据直角三角形全等的HL判定定理，只需一组直角边对应相等，两个三角形即可全等。由于题目没有明确全等的对应顶点，因此需要分两种情况讨论直角边的对应关系，分别计算AP的长度即可。
【解析】
解：
∵∠C=90°，AX⊥AC，
∴∠PAQ=∠C=90°，即△ABC和△APQ均为直角三角形。
已知AB=PQ，分两种情况讨论：
① 当$\mathrm{Rt}△APQ≌\mathrm{Rt}△CBA$时，对应直角边$AP=CB$，
∵$BC=10\,\mathrm{cm}$，
∴$AP=10\,\mathrm{cm}$；
② 当$\mathrm{Rt}△APQ≌\mathrm{Rt}△CAB$时，对应直角边$AP=CA$，
∵$AC=20\,\mathrm{cm}$，
∴$AP=20\,\mathrm{cm}$。
综上，AP的长度为10cm或20cm。
【答案】
10或20
【知识点】
直角三角形全等的判定、分类讨论思想
【点评】
本题重点考查直角三角形全等的判定，解题的关键是注意当全等三角形的对应顶点未明确说明时，要分情况讨论，避免漏解。
【难度系数】
0.7
首先确定两个三角形均为直角三角形：已知∠C=90°，AX⊥AC可得∠PAQ=90°，因此△ABC和△APQ都是直角三角形。题中已给出斜边AB=PQ，根据直角三角形全等的HL判定定理，只需一组直角边对应相等，两个三角形即可全等。由于题目没有明确全等的对应顶点，因此需要分两种情况讨论直角边的对应关系，分别计算AP的长度即可。
【解析】
解：
∵∠C=90°，AX⊥AC，
∴∠PAQ=∠C=90°，即△ABC和△APQ均为直角三角形。
已知AB=PQ，分两种情况讨论：
① 当$\mathrm{Rt}△APQ≌\mathrm{Rt}△CBA$时，对应直角边$AP=CB$，
∵$BC=10\,\mathrm{cm}$，
∴$AP=10\,\mathrm{cm}$；
② 当$\mathrm{Rt}△APQ≌\mathrm{Rt}△CAB$时，对应直角边$AP=CA$，
∵$AC=20\,\mathrm{cm}$，
∴$AP=20\,\mathrm{cm}$。
综上，AP的长度为10cm或20cm。
【答案】
10或20
【知识点】
直角三角形全等的判定、分类讨论思想
【点评】
本题重点考查直角三角形全等的判定，解题的关键是注意当全等三角形的对应顶点未明确说明时，要分情况讨论，避免漏解。
【难度系数】
0.7
6 如图，已知$AB=AC$，$AD ⊥ BC$，垂足为点$D$，$AE ⊥ BE$，垂足为点$E$，$BD=BE$。若$BE // AC$，则$∠ ABC$的度数为
60°
。答案
6 60°
解析
【分析】
解题思路可分三步推导：第一步，先观察已知的两组垂直条件，得到两个直角三角形，结合公共斜边AB和相等的直角边BD=BE，可利用HL定理证明两个直角三角形全等，得到对应角相等；第二步，结合BE平行AC的条件，利用平行线的内错角相等，推导得到∠BAC和∠ABC的等量关系；第三步，结合AB=AC的等腰三角形性质，得到△ABC三个内角的关系，最后用三角形内角和定理求出∠ABC的度数。
【解析】
解：
∵AD⊥BC，AE⊥BE
∴∠E=∠ADB=90°
在Rt△ABE和Rt△ABD中：
$\{\begin{array}{l}AB=AB\quad(\mathrm{公共边})\\BE=BD\quad(\mathrm{已知})\end{array} $
∴Rt△ABE≌Rt△ABD（HL）
∴∠ABE=∠ABD（全等三角形对应角相等）
∵BE//AC
∴∠ABE=∠BAC（两直线平行，内错角相等）
∴∠BAC=∠ABD，即∠BAC=∠ABC
又
∵AB=AC
∴△ABC为等腰三角形，∠ABC=∠ACB（等腰三角形两底角相等）
∴在△ABC中，∠BAC=∠ABC=∠ACB
∵三角形内角和为180°
∴$∠ ABC=180°÷3=60°$
【答案】
60°
【知识点】
HL判定直角三角形全等、等腰三角形的性质、平行线的性质
【点评】
本题属于几何基础综合题，考查了多个基础几何定理的联合运用，解题的突破口是先通过直角三角形全等建立角的等量关系，再结合平行线、等腰三角形的性质推导三角形内角的关系，需要学生具备基础的几何逻辑推理能力。
【难度系数】
0.7
解题思路可分三步推导：第一步，先观察已知的两组垂直条件，得到两个直角三角形，结合公共斜边AB和相等的直角边BD=BE，可利用HL定理证明两个直角三角形全等，得到对应角相等；第二步，结合BE平行AC的条件，利用平行线的内错角相等，推导得到∠BAC和∠ABC的等量关系；第三步，结合AB=AC的等腰三角形性质，得到△ABC三个内角的关系，最后用三角形内角和定理求出∠ABC的度数。
【解析】
解：
∵AD⊥BC，AE⊥BE
∴∠E=∠ADB=90°
在Rt△ABE和Rt△ABD中：
$\{\begin{array}{l}AB=AB\quad(\mathrm{公共边})\\BE=BD\quad(\mathrm{已知})\end{array} $
∴Rt△ABE≌Rt△ABD（HL）
∴∠ABE=∠ABD（全等三角形对应角相等）
∵BE//AC
∴∠ABE=∠BAC（两直线平行，内错角相等）
∴∠BAC=∠ABD，即∠BAC=∠ABC
又
∵AB=AC
∴△ABC为等腰三角形，∠ABC=∠ACB（等腰三角形两底角相等）
∴在△ABC中，∠BAC=∠ABC=∠ACB
∵三角形内角和为180°
∴$∠ ABC=180°÷3=60°$
【答案】
60°
【知识点】
HL判定直角三角形全等、等腰三角形的性质、平行线的性质
【点评】
本题属于几何基础综合题，考查了多个基础几何定理的联合运用，解题的突破口是先通过直角三角形全等建立角的等量关系，再结合平行线、等腰三角形的性质推导三角形内角的关系，需要学生具备基础的几何逻辑推理能力。
【难度系数】
0.7
7 在△ABC中，P、Q分别是边BC、AC上的点，作PR⊥AB，PS⊥AC，垂足分别是点R、S，且PR=PS，AQ=PQ。有下列三个结论：①AS=AR；②PQ//AR；③△BRP≌△CSP。其中正确的是
①②
。（填序号）答案
7 ①②
解析
【分析】
解题可按逐个验证结论的思路展开：1. 验证结论①：已知PR垂直AB、PS垂直AC且PR=PS，可通过HL判定Rt△APR和Rt△APS全等，对应边相等即可得AS=AR；2. 验证结论②：由全等可得AP平分∠BAC，结合AQ=PQ的等腰三角形等边对等角的性质，通过角的等量代换得到内错角相等，即可证PQ平行AR；3. 验证结论③：△BRP和△CSP仅满足一组直角边相等、一组直角相等，缺少其他对应边或角相等的条件，无法证明全等。
【解析】
连接辅助线AP，
1. 判定结论①：
∵PR⊥AB，PS⊥AC，
∴∠ARP=∠ASP=90°。
在Rt△APR和Rt△APS中，$\{\begin{array}{l}AP=AP\quad(\mathrm{公共边})\\ PR=PS\quad(\mathrm{已知})\end{array} $，
∴Rt△APR≌Rt△APS（HL），
∴AR=AS，故①正确。
2. 判定结论②：
由Rt△APR≌Rt△APS可得∠PAR=∠PAS，
∵AQ=PQ，
∴∠PAS=∠APQ（等腰三角形等边对等角），
∴∠PAR=∠APQ，内错角相等，两直线平行，
∴PQ//AR，故②正确。
3. 判定结论③：
△BRP和△CSP中，仅已知PR=PS、∠BRP=∠CSP=90°，无其他边、角相等的已知条件，无法证明△BRP≌△CSP，故③错误。
综上，正确的结论为①②。
【答案】
①②
【知识点】
直角三角形全等判定；等腰三角形性质；平行线判定
【点评】
本题属于三角形基础综合题，解题核心是熟练掌握直角三角形全等的判定方法，能通过角的等量代换推导平行关系，注意题目未给出的条件不能默认成立，避免错判结论③。
【难度系数】
0.7
解题可按逐个验证结论的思路展开：1. 验证结论①：已知PR垂直AB、PS垂直AC且PR=PS，可通过HL判定Rt△APR和Rt△APS全等，对应边相等即可得AS=AR；2. 验证结论②：由全等可得AP平分∠BAC，结合AQ=PQ的等腰三角形等边对等角的性质，通过角的等量代换得到内错角相等，即可证PQ平行AR；3. 验证结论③：△BRP和△CSP仅满足一组直角边相等、一组直角相等，缺少其他对应边或角相等的条件，无法证明全等。
【解析】
连接辅助线AP，
1. 判定结论①：
∵PR⊥AB，PS⊥AC，
∴∠ARP=∠ASP=90°。
在Rt△APR和Rt△APS中，$\{\begin{array}{l}AP=AP\quad(\mathrm{公共边})\\ PR=PS\quad(\mathrm{已知})\end{array} $，
∴Rt△APR≌Rt△APS（HL），
∴AR=AS，故①正确。
2. 判定结论②：
由Rt△APR≌Rt△APS可得∠PAR=∠PAS，
∵AQ=PQ，
∴∠PAS=∠APQ（等腰三角形等边对等角），
∴∠PAR=∠APQ，内错角相等，两直线平行，
∴PQ//AR，故②正确。
3. 判定结论③：
△BRP和△CSP中，仅已知PR=PS、∠BRP=∠CSP=90°，无其他边、角相等的已知条件，无法证明△BRP≌△CSP，故③错误。
综上，正确的结论为①②。
【答案】
①②
【知识点】
直角三角形全等判定；等腰三角形性质；平行线判定
【点评】
本题属于三角形基础综合题，解题核心是熟练掌握直角三角形全等的判定方法，能通过角的等量代换推导平行关系，注意题目未给出的条件不能默认成立，避免错判结论③。
【难度系数】
0.7
