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1. 如图，AB 与 CD 交于点 O，且 $AC // BD$。若 $\frac{OA+OC+AC}{OB+OD+BD}=\frac{1}{3}$，则 $\frac{AC}{BD}=$（
A.$\frac{1}{2}$
B.$\frac{1}{3}$
C.$\frac{1}{6}$
D.$\frac{1}{9}$
（第1题）
B
）A.$\frac{1}{2}$
B.$\frac{1}{3}$
C.$\frac{1}{6}$
D.$\frac{1}{9}$
（第1题）答案
1.B
2. 如图，在$△ ABC$中，点$D$，$E$分别在边$AB$，$AC$上，$DE// BC$，若$AD=3BD$，$△ ADE$的周长为3，则$△ ABC$的周长为（
A.4
B.6
C.9
D.12
A
）A.4
B.6
C.9
D.12
答案
2.A
3.[2026合肥期末] 两个相似三角形的最长边分别是10 cm和6 cm，并且它们的周长之和为48 cm，那么较小三角形的周长是
18 cm
。答案
3.18 cm
4. 如图，D是△ABC的边BC上一点，AB=6，AD=3，∠DAC=∠B。如果△ABD的面积为15，那么△ACD的面积为（
A.15
B.10
C.$\frac{15}{4}$
D.5
D
）A.15
B.10
C.$\frac{15}{4}$
D.5
答案
4.D
5. [2025威海] 如图，$△ ABC$ 的中线 $BE,CD$ 交于点 $F$，连接 $DE$. 下列结论错误的是 （
A.$S_{△ DEF}=\dfrac{1}{4}S_{△ BCF}$
B.$S_{△ ADE}=\dfrac{1}{2}S_{\mathrm{四边形}BCED}$
C.$S_{△ DBF}=\dfrac{1}{2}S_{△ BCF}$
D.$S_{△ ADC}=S_{△ AEB}$
B
）A.$S_{△ DEF}=\dfrac{1}{4}S_{△ BCF}$
B.$S_{△ ADE}=\dfrac{1}{2}S_{\mathrm{四边形}BCED}$
C.$S_{△ DBF}=\dfrac{1}{2}S_{△ BCF}$
D.$S_{△ ADC}=S_{△ AEB}$
答案
5.B 【点拨】
∵△ABC的中线BE,CD交于点F,
∴DE=$\frac{1}{2}BC, DE // BC, S_{△ ADC} = \frac{1}{2} S_{△ ABC}, S_{△ AEB} = \frac{1}{2} S_{△ ABC}.$
$\therefore \frac{DE}{BC}=\frac{1}{2}, S_{△ ADC}=S_{△ AEB}=\frac{1}{2}S_{△ ABC}$，故D选项结论正确；
∵DE// BC，
∴ △DEF ∽ △CBF，△ADE ∽ △ABC.
$\therefore \frac{S_{△ DEF}}{S_{△ BCF}}=(\frac{DE}{BC})^2=\frac{1}{4},\frac{DF}{FC}=\frac{DE}{BC}=\frac{1}{2},\frac{S_{△ ADE}}{S_{△ ABC}}=(\frac{DE}{BC})^2=\frac{1}{4}. \therefore S_{△ DEF}=\frac{1}{4}S_{△ BCF},S_{△ DBF}=\frac{1}{2}S_{△ BCF},S_{△ ADE}=\frac{1}{3}S_{四边形BCED}$，故A,C选项结论正确，B选项结论错误.故选B.
∵△ABC的中线BE,CD交于点F,
∴DE=$\frac{1}{2}BC, DE // BC, S_{△ ADC} = \frac{1}{2} S_{△ ABC}, S_{△ AEB} = \frac{1}{2} S_{△ ABC}.$
$\therefore \frac{DE}{BC}=\frac{1}{2}, S_{△ ADC}=S_{△ AEB}=\frac{1}{2}S_{△ ABC}$，故D选项结论正确；
∵DE// BC，
∴ △DEF ∽ △CBF，△ADE ∽ △ABC.
$\therefore \frac{S_{△ DEF}}{S_{△ BCF}}=(\frac{DE}{BC})^2=\frac{1}{4},\frac{DF}{FC}=\frac{DE}{BC}=\frac{1}{2},\frac{S_{△ ADE}}{S_{△ ABC}}=(\frac{DE}{BC})^2=\frac{1}{4}. \therefore S_{△ DEF}=\frac{1}{4}S_{△ BCF},S_{△ DBF}=\frac{1}{2}S_{△ BCF},S_{△ ADE}=\frac{1}{3}S_{四边形BCED}$，故A,C选项结论正确，B选项结论错误.故选B.
6. 如图，$△ ABC ∽ △ ADE$，$S_{△ ABC}: S_{四边形BDEC}=1:3$，$BC=\sqrt{2}$，则$DE$的长为
$2\sqrt{2}$
。答案
6.$2\sqrt{2}$
7. 如图,在$△ ABC$中,点$D,E,F$分别在边$AB,AC,BC$上,连接$DE,EF$.已知四边形$BFED$是平行四边形,$\frac{DE}{BC}=\frac{1}{4}$.
(1)若$AB=4$,求线段$AD$的长;
(2)若$△ ADE$的面积为$2$,求平行四边形$BFED$的面积.
(1)若$AB=4$,求线段$AD$的长;
(2)若$△ ADE$的面积为$2$,求平行四边形$BFED$的面积.
答案
7.【解】(1)
∵点F在边BC上，四边形BFED是平行四边形，
∴DE//BC.
∴△ADE∽△ABC.
$\therefore \frac{AD}{AB}=\frac{DE}{BC}=\frac{1}{4}.$
又
∵AB=4,
∴AD=1.
(2)
∵△ADE∽△ABC，
$\therefore \frac{S_{△ ADE}}{S_{△ ABC}}=(\frac{DE}{BC})^2=(\frac{1}{4})^2=\frac{1}{16},\frac{AE}{AC}=\frac{DE}{BC}=\frac{1}{4}.$
$\therefore \frac{CE}{AC}=\frac{3}{4}.$
∵△ADE的面积为2,
∴△ABC的面积是32.
∵四边形BFED是平行四边形,
∴EF//AB.
∴△EFC∽△ABC.
$\therefore \frac{S_{△ EFC}}{S_{△ ABC}}=(\frac{CE}{AC})^2=(\frac{3}{4})^2=\frac{9}{16}.$
∴△EFC的面积是18.
∴□BFED的面积=32−18−2=12.
8. 新考法 方程思想 如图，将矩形ABCD沿GH折叠，点C落在Q处，点D落在AB边上的E处，EQ与BC相交于点F，若AD=8，AB=6，AE=4，则△EBF周长的大小为 （
A.8
B.10
C.12
D.16
A
）A.8
B.10
C.12
D.16
答案
8.A 【点拨】由折叠的性质知 EH = DH，∠HEQ = ∠D= 90°. 设 AH = a，则 EH = DH = AD − AH = 8 − a. 在Rt△AEH 中，∠EAH=90°,AE=4,
∴EH²=AE²+AH²，即$(8-a)^2=4^2+a^2$，解得 a=3.
∴AH=3. 易知∠BFE+∠BEF=90°,∠BEF+∠AEH=90°,
∴∠BFE=∠AEH.
又
∵∠EAH=∠FBE=90°,
∴△EBF∽△HAE.
∴$\frac{C_{△ EBF}}{C_{△ HAE}}=\frac{BE}{AH}=\frac{AB-AE}{AH}=\frac{2}{3}. \because C_{△ HAE}=AE+EH+AH=AE+AD=12, \therefore C_{△ EBF}=\frac{2}{3}C_{△ HAE}=8.$
∴EH²=AE²+AH²，即$(8-a)^2=4^2+a^2$，解得 a=3.
∴AH=3. 易知∠BFE+∠BEF=90°,∠BEF+∠AEH=90°,
∴∠BFE=∠AEH.
又
∵∠EAH=∠FBE=90°,
∴△EBF∽△HAE.
∴$\frac{C_{△ EBF}}{C_{△ HAE}}=\frac{BE}{AH}=\frac{AB-AE}{AH}=\frac{2}{3}. \because C_{△ HAE}=AE+EH+AH=AE+AD=12, \therefore C_{△ EBF}=\frac{2}{3}C_{△ HAE}=8.$
9. 如图，矩形ABCD被分成5个正方形和2个小矩形后形成一个中心对称图形，如果矩形BEFG∽矩形ABCD，那么$\frac{S_{矩形BEFG}}{S_{矩形ABCD}}$的值为
$\frac{1}{4}$
。答案
9.$\frac{1}{4}$ 【点拨】设5个正方形中的小正方形的边长为a,大正方形的边长为b,则AG=b,BG=b+a,BE=2b−a,CE=2b.
∴AB=2b+a,BC=AD=2b+2b−a=4b−a.
∵矩形BEFG∽矩形ABCD,
∴$\frac{BG}{AD}=\frac{BE}{AB}$,即$\frac{b+a}{4b-a}=\frac{2b-a}{2b+a}. \therefore b=\frac{3}{2}a. \therefore BG=b+a=\frac{5}{2}a,AD=4b−a=5a. \because$ 矩形BEFG∽矩形ABCD,
∴$\frac{S_{矩形BEFG}}{S_{矩形ABCD}}=(\frac{BG}{AD})^2=(\frac{\frac{5}{2}a}{5a})^2=\frac{1}{4}.$
∴AB=2b+a,BC=AD=2b+2b−a=4b−a.
∵矩形BEFG∽矩形ABCD,
∴$\frac{BG}{AD}=\frac{BE}{AB}$,即$\frac{b+a}{4b-a}=\frac{2b-a}{2b+a}. \therefore b=\frac{3}{2}a. \therefore BG=b+a=\frac{5}{2}a,AD=4b−a=5a. \because$ 矩形BEFG∽矩形ABCD,
∴$\frac{S_{矩形BEFG}}{S_{矩形ABCD}}=(\frac{BG}{AD})^2=(\frac{\frac{5}{2}a}{5a})^2=\frac{1}{4}.$
