1. 已知$△ ABC ∽ △ A'B'C'$，BD和$B'D'$分别是两个三角形对应角的平分线，且$AC:A'C'=2:3$。若$BD=4\ \mathrm{cm}$，则$B'D'$的长是（）

A.$3\ \mathrm{cm}$
B.$4\ \mathrm{cm}$
C.$6\ \mathrm{cm}$
D.$8\ \mathrm{cm}$

1.C

2. 顺次连接三角形三边的中点，所得的三角形与原三角形对应中线的比是 （）

A.$1:\sqrt{3}$
B.$1:3$
C.$1:\sqrt{2}$
D.$1:2$

2.D

3. 如图，在$△ ABC$中，直尺的一边与$BC$重合，另一边分别交$AB$，$AC$于点$D$，$E$.其中点$B$，$C$，$D$，$E$处的读数分别为$8$，$16$，$10.5$，$14.5$，已知直尺宽为$3$，则$△ ABC$中$BC$边上的高为（）


A.$2$
B.$3$
C.$4$
D.$6$

3.D

4. 已知$\mathrm{Rt}△ ABC ∽ \mathrm{Rt}△ A_{1}B_{1}C_{1}$且相似比为$3:4$，若$\mathrm{Rt}△ ABC$的最长边长为$12\ \mathrm{cm}$，则$\mathrm{Rt}△ A_{1}B_{1}C_{1}$最长边的中线长为$\mathrm{cm}.$

4.8

5. 跨学科题 如图，一架投影机插入胶片后图像可投到屏幕上，已知胶片与屏幕平行，点A为光源，与胶片BC的距离为0.1 m，胶片的高BC为0.038 m，若需要投影后的图像DE高2.28 m，则投影机光源A到屏幕DE的距离为 m.

5.6 【点拨】如图所示,过点A作$AG⊥DE$于点G,交BC于点F,$\because BC// DE,\therefore △ ABC∽△ ADE,AG⊥ BC,\therefore AF=0.1\ \mathrm{m}$,设$AG=h\ \mathrm{m}$,则$\dfrac{AF}{AG}=\dfrac{BC}{DE}$,即$\dfrac{0.1}{h}=\dfrac{0.038}{2.28}$,解得$h=6$,$\therefore AG=6\ \mathrm{m}.$

6. 新考法 方程思想 有一个侧面为梯形的容器，高为8 cm，内部倒入高为6 cm的水. 将一根长为18 cm的吸管如图放置，若有2 cm露出容器外，则吸管在水中部分的长度为.

6.12 cm 【点拨】如图,过点B作$BM⊥ CE$,垂足为M,过点F作$FN⊥ CE$,垂足为N,$\because DF// CE,\therefore △ BDF∽△ BCE.$
由题可得$BM=8\ \mathrm{cm},FN=6\ \mathrm{cm},BC=16\ \mathrm{cm}$,设$CD=x\ \mathrm{cm}$,则$BD=(16-x)\ \mathrm{cm}$,
$\because △ BDF$的高为$BM-FN=8-6=2(\mathrm{cm}),\therefore \dfrac{BD}{BC}=\dfrac{1}{4}.\therefore \dfrac{16-x}{16}=\dfrac{1}{4}$,解得$x=12.\therefore$吸管在水中部分的长度为12 cm.

7. 如图,在等腰三角形ABC中,AB=AC=2,∠BAC=120°,将△ABC沿其底边中线AD向下平移,使A的对应点A'满足AA'=$\frac{1}{3}$AD,则平移前后两个三角形重叠部分的面积是.

7.$\dfrac{4\sqrt{3}}{9}$ 【点拨】如图,延长AD交$B'C'$于点G.$\because AB=AC=2$,$∠ BAC=120°$,AD 是中线,
$\therefore ∠ ABC=30°,AD⊥ BC,BD=CD.\therefore AD=\dfrac{1}{2}AB=1.\therefore BD=\sqrt{3}.\therefore BC=2\sqrt{3}.$由平移的性质得$B'C'// BC,B'C'=BC=2\sqrt{3},A'G=AD=1.\therefore AD⊥ B'C',△ A'EF∽△ A'B'C'.$
$\therefore \dfrac{EF}{B'C'}=\dfrac{A'D}{A'G}.\because AA'=\dfrac{1}{3}AD,\therefore A'D=\dfrac{2}{3}AD=\dfrac{2}{3}A'G=\dfrac{2}{3}.$
$\therefore \dfrac{EF}{B'C'}=\dfrac{A'D}{A'G}=\dfrac{2}{3}.\therefore EF=\dfrac{2}{3}B'C'=\dfrac{4\sqrt{3}}{3}.\therefore$重叠部分的面积$=\dfrac{1}{2}EF· A'D=\dfrac{1}{2}×\dfrac{4\sqrt{3}}{3}×\dfrac{2}{3}=\dfrac{4\sqrt{3}}{9}.$

8. ★★【模型定义】如果正方形的一边落在三角形的一边上，其余两个顶点分别在三角形的另外两条边上，则这样的正方形叫做三角形的内接正方形。
【问题探究】
(1)如图①，在$△ ABC$中，$BC=a$，$BC$边上的高$AD=h_a$，四边形$EFGH$是$△ ABC$的内接正方形，设正方形$EFGH$的边长是$x$。求证：$x=\frac{ah_a}{a+h_a}$；
(2)在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$AB=4$，$AC=3$，$∠ BAC=90°$，请在图②、图③中分别画出可能的内接正方形，并根据计算回答哪个内接正方形的面积最大。

8.(1)【证明】如图①,设AD交HG于点M.$\because$四边形EFGH是$△ ABC$的内接正方形,$\therefore HG// BC.\therefore △ AHG∽△ ABC.$
易知AM为$△ AHG$的边HG上的高,$MD=HE=x$,
$\therefore AM:AD=HG:BC.$
$\therefore (h_a-x):h_a=x:a.\therefore x=\dfrac{ah_a}{a+h_a}.$
(2)【解】如图②③.在图②中,$BC=\sqrt{AB^2+AC^2}=5.$
由等面积法,得$\dfrac{1}{2}AB· AC=\dfrac{1}{2}AD· BC$,
$\therefore AD=\dfrac{AB· AC}{BC}=\dfrac{12}{5}.$
由(1)得正方形的边长是$\dfrac{5×\dfrac{12}{5}}{5+\dfrac{12}{5}}=\dfrac{60}{37}.$
在图③中,正方形的边长是$\dfrac{3×4}{3+4}=\dfrac{12}{7}.$
$\because \dfrac{12}{7}＞\dfrac{60}{37}$,且正方形的面积等于边长的平方,
$\therefore$图③中正方形的面积最大.