10. ★★ 新题型 结论开放题 在$△ ABC$中，$AC=6$，$P$是$AB$上一点，$Q$是$AC$上一点，直线$PQ$把$△ ABC$分成面积相等的两部分，且$△ APQ$和$△ ABC$相似，如果这样的直线$PQ$有两条，那么$AB$边的长度可以是________.(写出一个符合条件的值即可)

10.5(答案不唯一) 【点拨】由题意知,若直线PQ有两条,则AB≠AC. 如图①,当△APQ∽△ABC时，由题知$\frac{S_{△ APQ}}{S_{△ ABC}}=(\frac{AP}{AB})^2=(\frac{AQ}{AC})^2=\frac{1}{2}. \therefore$ 只要满足$\frac{AP}{AB}=\frac{AQ}{AC}=\frac{\sqrt{2}}{2}$,就能满足题意；
如图②,当△APQ∽△ACB时，由题知$\frac{S_{△ APQ}}{S_{△ ABC}}=(\frac{AP}{AC})^2=(\frac{AQ}{AB})^2=\frac{1}{2}. \therefore \frac{AP}{AC}=\frac{AQ}{AB}=\frac{\sqrt{2}}{2}.$
$\therefore AP=\frac{\sqrt{2}}{2}AC=3\sqrt{2},AQ=\frac{\sqrt{2}}{2}AB. \because AP≤AB,AQ≤AC$且AB≠AC,
∴$AB≥3\sqrt{2},\frac{\sqrt{2}}{2}AB≤6$且AB≠6,
∴$3\sqrt{2}≤AB≤6\sqrt{2}$且AB≠6.综上,AB边的长度可以是5.(答案不唯一)

11. [2025 广安] 已知$△ ABC$的面积是1.
(1)如图①,若 D,E 分别是边 BC 和 AC 的中点,AD与 BE 相交于点 F,则四边形 CDFE 的面积为.
(2)如图②,若 M,N 分别是边 BC 和 AC 上距离点 C最近的六等分点,AM 与 BN 相交于点 G,则四边形 CMGN 的面积为.

$11.(1)\frac{1}{3} 【$点拨】如图①,连接DE.
∵D,E分别是边BC和AC的中点,
∴DE是△ABC的中位线,
∴$DE//AB,DE=\frac{1}{2}AB,$
∴△CDE∽△CBA,
$\therefore \frac{S_{△ CDE}}{S_{△ CBA}}=(\frac{DE}{AB})^2=\frac{1}{4}. \because △ABC$的面积是1,
∴$S_{△ CDE}=\frac{1}{4}. \because D$是BC的中点,
∴$S_{△ BDE}=S_{△ CDE}=\frac{1}{4}. \because DE//AB,$
∴△DEF∽△ABF,
∴$\frac{EF}{BF}=\frac{DE}{AB}=\frac{1}{2}, \therefore BF=2EF, \therefore BE=BF+EF=3EF, \therefore \frac{S_{△ DEF}}{S_{△ BDE}}=\frac{EF}{BE}=\frac{EF}{3EF}=\frac{1}{3}, \therefore S_{△ DEF}=\frac{1}{12},$
$\therefore S_{四边形CDFE}=S_{△ DEF}+S_{△ CDE}=\frac{1}{12}+\frac{1}{4}=\frac{1}{3}.$
$(2)\frac{1}{21} 【$点拨】如图②,连接MN.
∵M,N分别是边BC和AC上距离点C最近的六等分点，
$\therefore CM=\frac{1}{6}BC,CN=\frac{1}{6}AC, \therefore \frac{CM}{CB}=\frac{CN}{CA}=\frac{1}{6}. $又
∵∠C=∠C,
∴△CMN∽△CBA,
∴$\frac{S_{△ CMN}}{S_{△ ABC}}=(\frac{CM}{BC})^2=\frac{1}{36},\frac{MN}{AB}=\frac{CM}{BC}=\frac{1}{6},∠CMN=∠CBA,$
∴MN//AB.
∵△ABC的面积是1，
$\therefore S_{△ CMN}=\frac{1}{36}. \because M$是BC靠近点C的六等分点,
∴$\frac{BM}{CM}=5,$
$\therefore \frac{S_{△ BMN}}{S_{△ CMN}}=\frac{BM}{CM}=5, \therefore S_{△ BMN}=\frac{5}{36}.$
∵MN//AB,
∴△MNG∽△ABG,
∴$\frac{NG}{BG}=\frac{MN}{AB}=\frac{1}{6},$
∴BG=6NG,
∴BN=BG+NG=7NG,
$\therefore \frac{S_{△ MNG}}{S_{△ BMN}}=\frac{NG}{BN}=\frac{NG}{7NG}=\frac{1}{7}, \therefore S_{△ MNG}=\frac{1}{7}S_{△ BMN}=\frac{5}{252},$
$\therefore S_{四边形CMGN}=S_{△ MNG}+S_{△ CMN}=\frac{5}{252}+\frac{1}{36}=\frac{1}{21}.$

12. 新题型 存在性探究题 如图,在矩形ABCD中,AB=2√3,AD=10,直角尺的直角顶点P在AD上滑动时(点P与A,D不重合),一直角边经过点C,另一直角边与直线AB交于点E,我们知道,结论“Rt△AEP∽Rt△DPC”成立.
(1)当∠CPD=30°时,求AE的长.
(2)是否存在这样的点P,使△DPC的周长是△AEP周长的2倍?若存在,求出DP的长;若不存在,请说明理由.

12.【解】(1)易知∠AEP=∠DPC.
∴当∠CPD=30°时,∠AEP=30°.易知CD=AB=2√3，
∴PC=4√3.
∴PD=$\sqrt{PC^2-CD^2}=6$.
∴AP=AD−PD=10−6=4.
在Rt△APE中,
∵∠AEP=30°,
∴PE=8.
∴AE=$\sqrt{PE^2-AP^2}=4\sqrt{3}$.
(2)存在这样的点P,使△DPC的周长是△AEP周长的2倍.
∵△DPC的周长是△AEP周长的2倍,且△AEP∽△DPC,
∴$\frac{CD}{AP}=2.$
∵CD=2√3,
∴AP=√3.
∴DP=10−√3.
∴存在这样的点P,DP的长为10−√3.

13. ★★★ 新考法 类比法 问题1:如图①,在△ABC中,AB=4,D是AB上一点(D不与A,B重合),DE//BC,交AC于点E,连接CD.设△ABC的面积为S,△DEC的面积为S'.
(1)当AD=3时, $\frac{S'}{S}=$ ;
(2)设AD=m,请你用含字母m的代数式表示$\frac{S'}{S}$.
问题2:如图②,在四边形ABCD中,AB=4,AD//BC,AD=$\frac{1}{2}$BC,E是AB上一点(不与A,B重合),EF//BC,交CD于点F,连接CE.设AE=n,四边形ABCD的面积为S,△EFC的面积为S'.请你利用问题1的解法或结论,用含字母n的代数式表示$\frac{S'}{S}$.

13.【解】问题1:(1)$\frac{3}{16}$
(2)
∵AB=4,AD=m,
∴BD=4−m.
∵DE//BC,
∴$\frac{CE}{EA}=\frac{BD}{DA}=\frac{4-m}{m}.$
$\therefore \frac{S_{△ DEC}}{S_{△ ADE}}=\frac{CE}{AE}=\frac{4-m}{m}.$
∵DE//BC,
∴△ADE∽△ABC.
$\therefore \frac{S_{△ ADE}}{S_{△ ABC}}=(\frac{m}{4})^2=\frac{m^2}{16}.$
$\therefore \frac{S_{△ DEC}}{S_{△ ABC}}=\frac{S_{△ DEC}}{S_{△ ADE}}·\frac{S_{△ ADE}}{S_{△ ABC}}=\frac{4-m}{m}·\frac{m^2}{16}=\frac{-m^2+4m}{16},$
即$\frac{S'}{S}=\frac{-m^2+4m}{16}.$
问题2:如图,延长BA,CD交于点O.
∵AD//BC,
∴△OAD∽△OBC.
$\therefore \frac{OA}{OB}=\frac{AD}{BC}=\frac{1}{2}. \therefore OA=AB=4.$
∴OB=8.
∵AE=n,
∴OE=4+n,BE=4−n.
∵EF//BC,
∴由问题1的解法可知
$\frac{S_{△ CEF}}{S_{△ OBC}}=\frac{S_{△ CEF}}{S_{△ OEF}}·\frac{S_{△ OEF}}{S_{△ OBC}}=\frac{4-n}{4+n}·(\frac{4+n}{8})^2=\frac{16-n^2}{64}.$
∵$\frac{S_{△ OAD}}{S_{△ OBC}}=(\frac{OA}{OB})^2=\frac{1}{4}, \therefore \frac{S_{四边形ABCD}}{S_{△ OBC}}=\frac{3}{4}.$
$\therefore \frac{S_{△ CEF}}{S_{四边形ABCD}}=\frac{S_{△ CEF}}{\frac{3}{4}S_{△ OBC}}=\frac{4}{3}×\frac{16-n^2}{64}=\frac{16-n^2}{48},$
即$\frac{S'}{S}=\frac{16-n^2}{48}.$