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1 “$\frac{4}{49}$的算术平方根是$\frac{2}{7}$”，用式子表示为（
A.$\pm\sqrt{\frac{4}{49}}=\pm\frac{2}{7}$
B.$\sqrt{\frac{4}{49}}=\pm\frac{2}{7}$
C.$\sqrt{\frac{4}{49}}=\frac{2}{7}$
D.$\pm\sqrt{\frac{4}{49}}=\frac{2}{7}$
C
）A.$\pm\sqrt{\frac{4}{49}}=\pm\frac{2}{7}$
B.$\sqrt{\frac{4}{49}}=\pm\frac{2}{7}$
C.$\sqrt{\frac{4}{49}}=\frac{2}{7}$
D.$\pm\sqrt{\frac{4}{49}}=\frac{2}{7}$
答案
1. C
解析
【分析】
解题前首先要明确算术平方根的定义和表示规则：算术平方根是指一个非负数的非负平方根，用符号$\sqrt{a}$（$a≥0$）表示，其运算结果一定是非负数，而$\pm\sqrt{a}$表示的是$a$的平方根，结果有正负两个值。题目要求表示“$\frac{4}{49}$的算术平方根是$\frac{2}{7}$”，首先左边应该用算术平方根的符号$\sqrt{\frac{4}{49}}$，右边是它的非负结果$\frac{2}{7}$，据此逐一排除不符合的选项即可。
【解析】
根据算术平方根的定义：若非负数$x$满足$x^2=a$（$a≥0$），则$x$叫做$a$的算术平方根，记为$\sqrt{a}=x$，结果为非负数。
对各选项逐一判断：
A选项：$\pm\sqrt{\frac{4}{49}}=\pm\frac{2}{7}$表示的是$\frac{4}{49}$的平方根是$\pm\frac{2}{7}$，不符合“算术平方根”的题意，错误；
B选项：$\sqrt{\frac{4}{49}}$表示算术平方根，结果只能为非负数，不能等于$\pm\frac{2}{7}$，错误；
C选项：$\sqrt{\frac{4}{49}}=\frac{2}{7}$，符合算术平方根的表示和运算结果，正确；
D选项：$\pm\sqrt{\frac{4}{49}}$表示$\frac{4}{49}$的平方根，结果应为$\pm\frac{2}{7}$，不是只有$\frac{2}{7}$，错误。
【答案】
C
【知识点】
1.算术平方根的定义
2.算术平方根的表示
【点评】
本题重点考查算术平方根与平方根的概念区分，解题的关键是牢记算术平方根的符号特征和结果的非负性，避免混淆两种不同的运算表示。
【难度系数】
0.8
解题前首先要明确算术平方根的定义和表示规则：算术平方根是指一个非负数的非负平方根，用符号$\sqrt{a}$（$a≥0$）表示，其运算结果一定是非负数，而$\pm\sqrt{a}$表示的是$a$的平方根，结果有正负两个值。题目要求表示“$\frac{4}{49}$的算术平方根是$\frac{2}{7}$”，首先左边应该用算术平方根的符号$\sqrt{\frac{4}{49}}$，右边是它的非负结果$\frac{2}{7}$，据此逐一排除不符合的选项即可。
【解析】
根据算术平方根的定义：若非负数$x$满足$x^2=a$（$a≥0$），则$x$叫做$a$的算术平方根，记为$\sqrt{a}=x$，结果为非负数。
对各选项逐一判断：
A选项：$\pm\sqrt{\frac{4}{49}}=\pm\frac{2}{7}$表示的是$\frac{4}{49}$的平方根是$\pm\frac{2}{7}$，不符合“算术平方根”的题意，错误；
B选项：$\sqrt{\frac{4}{49}}$表示算术平方根，结果只能为非负数，不能等于$\pm\frac{2}{7}$，错误；
C选项：$\sqrt{\frac{4}{49}}=\frac{2}{7}$，符合算术平方根的表示和运算结果，正确；
D选项：$\pm\sqrt{\frac{4}{49}}$表示$\frac{4}{49}$的平方根，结果应为$\pm\frac{2}{7}$，不是只有$\frac{2}{7}$，错误。
【答案】
C
【知识点】
1.算术平方根的定义
2.算术平方根的表示
【点评】
本题重点考查算术平方根与平方根的概念区分，解题的关键是牢记算术平方根的符号特征和结果的非负性，避免混淆两种不同的运算表示。
【难度系数】
0.8
2（易错题）$1\dfrac{9}{16}$的算术平方根是（
A.$\dfrac{3}{4}$
B.$\dfrac{3}{2}$
C.$\dfrac{5}{4}$
D.$1\dfrac{3}{4}$
C
）A.$\dfrac{3}{4}$
B.$\dfrac{3}{2}$
C.$\dfrac{5}{4}$
D.$1\dfrac{3}{4}$
答案
2. C
易错分析：误将带分数的整数部分和分数部分分别求算术平方根。
易错分析：误将带分数的整数部分和分数部分分别求算术平方根。
解析
【分析】
解题时首先回忆算术平方根的定义：若一个非负数x的平方等于a，即$x^2=a$，则x叫做a的算术平方根，算术平方根的结果为非负数。本题求带分数的算术平方根，首先要注意带分数是整数与分数的和，不是乘积，不能直接将整数部分和分数部分分别求算术平方根，正确思路是先把带分数化为假分数，再根据算术平方根的定义求解。
【解析】
第一步：先将带分数$1\dfrac{9}{16}$化为假分数：
$1\dfrac{9}{16}=\dfrac{1×16+9}{16}=\dfrac{25}{16}$
第二步：根据算术平方根的定义计算：
因为$(\dfrac{5}{4})^2=\dfrac{25}{16}$，且算术平方根为非负数，所以$\dfrac{25}{16}$的算术平方根是$\dfrac{5}{4}$，即$1\dfrac{9}{16}$的算术平方根是$\dfrac{5}{4}$。
（易错提示：若错误将整数部分和分数部分分别开方，会得到$1+\dfrac{3}{4}=1\dfrac{3}{4}$误选D，该做法是错误的，因为带分数是加法关系，不是乘法关系，不能拆分开方。）
【答案】
C
【知识点】
1. 算术平方根的定义
2. 带分数与假分数的互化
【点评】
本题是算术平方根模块的基础易错题，核心考查对算术平方根定义的理解和带分数的处理能力，解题的关键是先将带分数转化为假分数再开方，注意避免拆分带分数分别开方的错误逻辑。
【难度系数】
0.7
解题时首先回忆算术平方根的定义：若一个非负数x的平方等于a，即$x^2=a$，则x叫做a的算术平方根，算术平方根的结果为非负数。本题求带分数的算术平方根，首先要注意带分数是整数与分数的和，不是乘积，不能直接将整数部分和分数部分分别求算术平方根，正确思路是先把带分数化为假分数，再根据算术平方根的定义求解。
【解析】
第一步：先将带分数$1\dfrac{9}{16}$化为假分数：
$1\dfrac{9}{16}=\dfrac{1×16+9}{16}=\dfrac{25}{16}$
第二步：根据算术平方根的定义计算：
因为$(\dfrac{5}{4})^2=\dfrac{25}{16}$，且算术平方根为非负数，所以$\dfrac{25}{16}$的算术平方根是$\dfrac{5}{4}$，即$1\dfrac{9}{16}$的算术平方根是$\dfrac{5}{4}$。
（易错提示：若错误将整数部分和分数部分分别开方，会得到$1+\dfrac{3}{4}=1\dfrac{3}{4}$误选D，该做法是错误的，因为带分数是加法关系，不是乘法关系，不能拆分开方。）
【答案】
C
【知识点】
1. 算术平方根的定义
2. 带分数与假分数的互化
【点评】
本题是算术平方根模块的基础易错题，核心考查对算术平方根定义的理解和带分数的处理能力，解题的关键是先将带分数转化为假分数再开方，注意避免拆分带分数分别开方的错误逻辑。
【难度系数】
0.7
3 若$\sqrt{a}$是有理数，则a可以是下列数中的（
A.$-2$
B.$2$
C.$4$
D.$8$
C
）A.$-2$
B.$2$
C.$4$
D.$8$
答案
3. C
解析
【分析】
解题思路如下：首先回忆算术平方根的定义，明确算术平方根的被开方数必须是非负数，因此先排除负数选项；再分别计算剩余选项的算术平方根，判断结果是否为有理数，即可得出正确答案。
【解析】
根据算术平方根的定义：只有非负数才有算术平方根，因此首先排除A选项（-2是负数，无算术平方根）。
接下来计算剩余选项的算术平方根：
B选项：$\sqrt{2}$是无限不循环小数，属于无理数，不符合要求；
C选项：$\sqrt{4}=2$，2是整数，属于有理数，符合要求；
D选项：$\sqrt{8}=2\sqrt{2}$，仍为无理数，不符合要求。
综上，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
算术平方根的定义；有理数的概念；二次根式化简
【点评】
本题是基础概念考查题，重点检验对算术平方根取值范围的掌握，以及有理数和无理数的区分能力，熟练掌握相关基础概念即可轻松解答。
【难度系数】
0.9
解题思路如下：首先回忆算术平方根的定义，明确算术平方根的被开方数必须是非负数，因此先排除负数选项；再分别计算剩余选项的算术平方根，判断结果是否为有理数，即可得出正确答案。
【解析】
根据算术平方根的定义：只有非负数才有算术平方根，因此首先排除A选项（-2是负数，无算术平方根）。
接下来计算剩余选项的算术平方根：
B选项：$\sqrt{2}$是无限不循环小数，属于无理数，不符合要求；
C选项：$\sqrt{4}=2$，2是整数，属于有理数，符合要求；
D选项：$\sqrt{8}=2\sqrt{2}$，仍为无理数，不符合要求。
综上，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
算术平方根的定义；有理数的概念；二次根式化简
【点评】
本题是基础概念考查题，重点检验对算术平方根取值范围的掌握，以及有理数和无理数的区分能力，熟练掌握相关基础概念即可轻松解答。
【难度系数】
0.9
4 $10^{-6}$ 的算术平方根是
$10^{-3}$
。答案
4. $10^{-3}$
解析
【分析】
解题时首先回忆算术平方根的定义：若一个非负数x的平方等于a，即x²=a（x≥0），则x叫做a的算术平方根。要求10⁻⁶的算术平方根，就是找到满足x²=10⁻⁶的非负数x，结合幂的乘方运算规则（底数不变，指数相乘）即可推算出x的值。
【解析】
根据算术平方根的定义，我们需要找到非负数x，使得x²=10⁻⁶。
根据幂的乘方运算规则可得：(10⁻³)² = 10^(-3×2) = 10⁻⁶，且10⁻³＞0，满足算术平方根非负的要求。
因此10⁻⁶的算术平方根是10⁻³。
【答案】
10⁻³
【知识点】
1. 算术平方根的定义
2. 幂的乘方运算
【点评】
本题考查算术平方根的基本概念和幂的相关运算，属于基础题型，核心是要牢记算术平方根的非负性，熟练掌握指数运算规则即可顺利求解。
【难度系数】
0.9
解题时首先回忆算术平方根的定义：若一个非负数x的平方等于a，即x²=a（x≥0），则x叫做a的算术平方根。要求10⁻⁶的算术平方根，就是找到满足x²=10⁻⁶的非负数x，结合幂的乘方运算规则（底数不变，指数相乘）即可推算出x的值。
【解析】
根据算术平方根的定义，我们需要找到非负数x，使得x²=10⁻⁶。
根据幂的乘方运算规则可得：(10⁻³)² = 10^(-3×2) = 10⁻⁶，且10⁻³＞0，满足算术平方根非负的要求。
因此10⁻⁶的算术平方根是10⁻³。
【答案】
10⁻³
【知识点】
1. 算术平方根的定义
2. 幂的乘方运算
【点评】
本题考查算术平方根的基本概念和幂的相关运算，属于基础题型，核心是要牢记算术平方根的非负性，熟练掌握指数运算规则即可顺利求解。
【难度系数】
0.9
5 教材P32随堂练习T1变式 求下列各数的算术平方根.
(1) $\frac{169}{81}$；
(2) $π^2$；
(3) $1\frac{13}{36}$；
(4) $\sqrt{\frac{1}{16}}$.
(1) $\frac{169}{81}$；
(2) $π^2$；
(3) $1\frac{13}{36}$；
(4) $\sqrt{\frac{1}{16}}$.
答案
5. (1) $\frac{13}{9}$ (2) $π$ (3) $\frac{7}{6}$ (4) $\frac{1}{2}$
解析
【分析】
解题的核心依据是算术平方根的定义：若一个非负数$x$的平方等于$a$（即$x^2=a$），则$x$叫做$a$的算术平方根，算术平方根的结果恒为非负数。解题时针对不同形式的数分类处理：1. 正分数直接分别求分子、分母的算术平方根；2. 含$π$的平方数，结合$π＞0$的性质计算；3. 带分数先转化为假分数再运算；4. 本身含根式的数，先计算内层根式的结果，再求算术平方根。
【解析】
(1) 因为$(\frac{13}{9})^2=\frac{169}{81}$，且$\frac{13}{9}＞0$，所以$\frac{169}{81}$的算术平方根是$\frac{13}{9}$；
(2) 因为$π＞0$，且$π^2=π^2$，所以$π^2$的算术平方根是$π$；
(3) 先将带分数化为假分数：$1\frac{13}{36}=\frac{36+13}{36}=\frac{49}{36}$，因为$(\frac{7}{6})^2=\frac{49}{36}$，且$\frac{7}{6}＞0$，所以$1\frac{13}{36}$的算术平方根是$\frac{7}{6}$；
(4) 先计算内层根式：$\sqrt{\frac{1}{16}}=\frac{1}{4}$，再求$\frac{1}{4}$的算术平方根，因为$(\frac{1}{2})^2=\frac{1}{4}$，且$\frac{1}{2}＞0$，所以$\sqrt{\frac{1}{16}}$的算术平方根是$\frac{1}{2}$。
【答案】
(1) $\frac{13}{9}$ (2) $π$ (3) $\frac{7}{6}$ (4) $\frac{1}{2}$
【知识点】
算术平方根的定义；带分数与假分数互化；二次根式化简
【点评】
本题是算术平方根的基础运算题，解题时要注意两点：一是算术平方根的结果一定是非负数，二是遇到带分数要先化为假分数、多层根式要从内向外逐步计算，避免因运算顺序或形式转化错误失分。
【难度系数】
0.85
解题的核心依据是算术平方根的定义：若一个非负数$x$的平方等于$a$（即$x^2=a$），则$x$叫做$a$的算术平方根，算术平方根的结果恒为非负数。解题时针对不同形式的数分类处理：1. 正分数直接分别求分子、分母的算术平方根；2. 含$π$的平方数，结合$π＞0$的性质计算；3. 带分数先转化为假分数再运算；4. 本身含根式的数，先计算内层根式的结果，再求算术平方根。
【解析】
(1) 因为$(\frac{13}{9})^2=\frac{169}{81}$，且$\frac{13}{9}＞0$，所以$\frac{169}{81}$的算术平方根是$\frac{13}{9}$；
(2) 因为$π＞0$，且$π^2=π^2$，所以$π^2$的算术平方根是$π$；
(3) 先将带分数化为假分数：$1\frac{13}{36}=\frac{36+13}{36}=\frac{49}{36}$，因为$(\frac{7}{6})^2=\frac{49}{36}$，且$\frac{7}{6}＞0$，所以$1\frac{13}{36}$的算术平方根是$\frac{7}{6}$；
(4) 先计算内层根式：$\sqrt{\frac{1}{16}}=\frac{1}{4}$，再求$\frac{1}{4}$的算术平方根，因为$(\frac{1}{2})^2=\frac{1}{4}$，且$\frac{1}{2}＞0$，所以$\sqrt{\frac{1}{16}}$的算术平方根是$\frac{1}{2}$。
【答案】
(1) $\frac{13}{9}$ (2) $π$ (3) $\frac{7}{6}$ (4) $\frac{1}{2}$
【知识点】
算术平方根的定义；带分数与假分数互化；二次根式化简
【点评】
本题是算术平方根的基础运算题，解题时要注意两点：一是算术平方根的结果一定是非负数，二是遇到带分数要先化为假分数、多层根式要从内向外逐步计算，避免因运算顺序或形式转化错误失分。
【难度系数】
0.85
6 已知实数$a,b$满足$\sqrt{a+8} + |b-2| = 0$，则$\frac{a}{b}$的值是（
A.$-\frac{1}{4}$
B.$\frac{1}{4}$
C.$-4$
D.$4$
C
）A.$-\frac{1}{4}$
B.$\frac{1}{4}$
C.$-4$
D.$4$
答案
6. C
解析
【分析】
解题前先回忆相关性质：算术平方根的结果是非负数，绝对值的结果也是非负数，两个非负数相加的和为0时，只有这两个非负数同时为0才能满足条件。因此我们可以先根据这个性质分别列出关于a、b的等式，求出a、b的值，再代入计算$\frac{a}{b}$的结果即可。
【解析】
解：$\because \sqrt{a+8} ≥ 0$，$|b-2| ≥ 0$，且$\sqrt{a+8} + |b-2| = 0$
$\therefore$ 可得：$\begin{cases}a+8=0 \\ b-2=0\end{cases}$
解得：$\begin{cases}a=-8 \\ b=2\end{cases}$
将a、b的值代入得：$\frac{a}{b}=\frac{-8}{2}=-4$
因此选C。
【答案】
C
【知识点】
非负数的性质、算术平方根的非负性、绝对值的非负性
【点评】
本题属于基础类题目，解题核心是掌握常见非负数的类型，以及“多个非负数的和为0时，每个非负数均为0”的性质，求出未知数值后代入计算即可，解题逻辑清晰，计算量小。
【难度系数】
0.8
解题前先回忆相关性质：算术平方根的结果是非负数，绝对值的结果也是非负数，两个非负数相加的和为0时，只有这两个非负数同时为0才能满足条件。因此我们可以先根据这个性质分别列出关于a、b的等式，求出a、b的值，再代入计算$\frac{a}{b}$的结果即可。
【解析】
解：$\because \sqrt{a+8} ≥ 0$，$|b-2| ≥ 0$，且$\sqrt{a+8} + |b-2| = 0$
$\therefore$ 可得：$\begin{cases}a+8=0 \\ b-2=0\end{cases}$
解得：$\begin{cases}a=-8 \\ b=2\end{cases}$
将a、b的值代入得：$\frac{a}{b}=\frac{-8}{2}=-4$
因此选C。
【答案】
C
【知识点】
非负数的性质、算术平方根的非负性、绝对值的非负性
【点评】
本题属于基础类题目，解题核心是掌握常见非负数的类型，以及“多个非负数的和为0时，每个非负数均为0”的性质，求出未知数值后代入计算即可，解题逻辑清晰，计算量小。
【难度系数】
0.8
7 计算：$\sqrt{7^2} =$
$7$
；$(\sqrt{7})^2 =$ $7$
；$\sqrt{(-7)^2} =$ $7$
。答案
7. 7 7 7
解析
【分析】
解答本题需要用到算术平方根的两个核心性质：①对任意实数$a$，$\sqrt{a^2}=|a|$；②对非负实数$a$，$(\sqrt{a})^2=a$。解题时先判断每个式子适用的性质，再代入计算即可：第一个式子$\sqrt{7^2}$适用性质①，第二个式子$(\sqrt{7})^2$适用性质②，第三个式子$\sqrt{(-7)^2}$适用性质①，依次代入求值就能得到结果。
【解析】
1. 计算$\sqrt{7^2}$：根据$\sqrt{a^2}=|a|$，此处$a=7$，因此$\sqrt{7^2}=|7|=7$；
2. 计算$(\sqrt{7})^2$：根据非负数的算术平方根的平方等于它本身，即$(\sqrt{a})^2=a\ (a≥0)$，7是非负数，因此$(\sqrt{7})^2=7$；
3. 计算$\sqrt{(-7)^2}$：根据$\sqrt{a^2}=|a|$，此处$a=-7$，因此$\sqrt{(-7)^2}=|-7|=7$。
【答案】
7；7；7
【知识点】
算术平方根的性质；绝对值的化简；乘方运算
【点评】
本题属于算术平方根的基础考查题，解题关键是区分$\sqrt{a^2}$和$(\sqrt{a})^2$的适用规则：$\sqrt{a^2}$的结果为$a$的绝对值，和$a$的正负无关；$(\sqrt{a})^2$要求被开方数$a$必须为非负数，结果等于$a$本身，掌握这两个规则即可快速得分。
【难度系数】
0.9
解答本题需要用到算术平方根的两个核心性质：①对任意实数$a$，$\sqrt{a^2}=|a|$；②对非负实数$a$，$(\sqrt{a})^2=a$。解题时先判断每个式子适用的性质，再代入计算即可：第一个式子$\sqrt{7^2}$适用性质①，第二个式子$(\sqrt{7})^2$适用性质②，第三个式子$\sqrt{(-7)^2}$适用性质①，依次代入求值就能得到结果。
【解析】
1. 计算$\sqrt{7^2}$：根据$\sqrt{a^2}=|a|$，此处$a=7$，因此$\sqrt{7^2}=|7|=7$；
2. 计算$(\sqrt{7})^2$：根据非负数的算术平方根的平方等于它本身，即$(\sqrt{a})^2=a\ (a≥0)$，7是非负数，因此$(\sqrt{7})^2=7$；
3. 计算$\sqrt{(-7)^2}$：根据$\sqrt{a^2}=|a|$，此处$a=-7$，因此$\sqrt{(-7)^2}=|-7|=7$。
【答案】
7；7；7
【知识点】
算术平方根的性质；绝对值的化简；乘方运算
【点评】
本题属于算术平方根的基础考查题，解题关键是区分$\sqrt{a^2}$和$(\sqrt{a})^2$的适用规则：$\sqrt{a^2}$的结果为$a$的绝对值，和$a$的正负无关；$(\sqrt{a})^2$要求被开方数$a$必须为非负数，结果等于$a$本身，掌握这两个规则即可快速得分。
【难度系数】
0.9
8 [2024广东]完全相同的4个正方形的面积之和是100，则正方形的边长是（
A.2
B.5
C.10
D.20
B
）A.2
B.5
C.10
D.20
答案
8. B
解析
【分析】
解题时首先根据4个完全相同正方形的总面积求出单个正方形的面积，再结合正方形面积公式（面积=边长的平方），已知面积求正数边长，本质就是求该面积的算术平方根，按照这个思路逐步推导即可得到结果。
【解析】
1. 计算单个正方形的面积：因为4个完全相同的正方形面积之和为100，所以1个正方形的面积为$100÷4=25$。
2. 设正方形的边长为$x$（边长为正数，即$x＞0$），根据正方形面积公式可得：$x^2=25$。
3. 根据算术平方根的定义，正数25的正的平方根为5，因此$x=5$，即正方形边长为5。
【答案】
B
【知识点】
算术平方根的计算；正方形面积公式
【点评】
本题属于基础类题目，核心考查算术平方根在几何问题中的简单应用，解题关键是先求出单个正方形的面积，再结合边长为正的条件取正的平方根即可。
【难度系数】
0.9
解题时首先根据4个完全相同正方形的总面积求出单个正方形的面积，再结合正方形面积公式（面积=边长的平方），已知面积求正数边长，本质就是求该面积的算术平方根，按照这个思路逐步推导即可得到结果。
【解析】
1. 计算单个正方形的面积：因为4个完全相同的正方形面积之和为100，所以1个正方形的面积为$100÷4=25$。
2. 设正方形的边长为$x$（边长为正数，即$x＞0$），根据正方形面积公式可得：$x^2=25$。
3. 根据算术平方根的定义，正数25的正的平方根为5，因此$x=5$，即正方形边长为5。
【答案】
B
【知识点】
算术平方根的计算；正方形面积公式
【点评】
本题属于基础类题目，核心考查算术平方根在几何问题中的简单应用，解题关键是先求出单个正方形的面积，再结合边长为正的条件取正的平方根即可。
【难度系数】
0.9
9 新情境 数学文化 直田七亩半，忘了长和短。记得立契时，长阔争一半。今问俊明公，此法如何算。意思如下：有一块面积为7亩半的长方形田，忘了长与宽各是多少。只记得在立契约的时候说过，宽是长的一半。现在请你帮他算出它的长是
$60$
步(一亩=240平方步)。答案
9. 60
解析
【分析】
解题时先梳理题目中的数量关系，第一步先将面积单位从亩换算为平方步，统一单位后，根据“宽是长的一半”设未知数，再结合长方形面积公式列出方程，最后通过求算术平方根得到长的数值，注意长度为正数，只需取正的平方根即可。
【解析】
1. 单位换算：7亩半即7.5亩，先计算长方形田的总面积：
$7.5 × 240 = 1800$（平方步）
2. 设未知数并列方程：设长方形田的长为$x$步，由宽是长的一半可知宽为$\frac{1}{2}x$步，根据长方形面积公式$\mathrm{面积}=\mathrm{长}×\mathrm{宽}$，可得：
$x · \frac{1}{2}x = 1800$
3. 解方程：
整理得$\frac{1}{2}x^2=1800$，两边同乘2得$x^2=3600$
因为长度为正数，所以$x=\sqrt{3600}=60$
【答案】
60
【知识点】
算术平方根计算，长方形面积公式，列方程解应用题
【点评】
本题结合传统数学文化情境命题，既考查单位换算能力，也考查算术平方根的实际应用，解题时需注意长度表示正数，结果取算术平方根即可。
【难度系数】
0.8
解题时先梳理题目中的数量关系，第一步先将面积单位从亩换算为平方步，统一单位后，根据“宽是长的一半”设未知数，再结合长方形面积公式列出方程，最后通过求算术平方根得到长的数值，注意长度为正数，只需取正的平方根即可。
【解析】
1. 单位换算：7亩半即7.5亩，先计算长方形田的总面积：
$7.5 × 240 = 1800$（平方步）
2. 设未知数并列方程：设长方形田的长为$x$步，由宽是长的一半可知宽为$\frac{1}{2}x$步，根据长方形面积公式$\mathrm{面积}=\mathrm{长}×\mathrm{宽}$，可得：
$x · \frac{1}{2}x = 1800$
3. 解方程：
整理得$\frac{1}{2}x^2=1800$，两边同乘2得$x^2=3600$
因为长度为正数，所以$x=\sqrt{3600}=60$
【答案】
60
【知识点】
算术平方根计算，长方形面积公式，列方程解应用题
【点评】
本题结合传统数学文化情境命题，既考查单位换算能力，也考查算术平方根的实际应用，解题时需注意长度表示正数，结果取算术平方根即可。
【难度系数】
0.8
10 教材P32 随堂练习T2变式 如图，在小正方形的边长均为1的网格中，求两格点A，B之间的距离。
答案
10. 如图，连接AB. 由勾股定理，得$AB^2=2^2+3^2=13$. 因为$AB＞0$,所以$AB=\sqrt{13}$
解析
【分析】
要求网格中A、B两点的距离，首先可连接AB，将AB看作直角三角形的斜边；接下来数出A、B两点在水平方向、竖直方向相差的小正方形边长数，得到直角三角形两条直角边的长度；再利用勾股定理计算斜边AB的平方；最后根据线段长度为正数，取算术平方根即可得到AB的长度。
【解析】
首先连接AB，观察网格可得：A、B两点水平方向相差3个单位长度，竖直方向相差2个单位长度，即对应直角三角形的两条直角边长度分别为3和2。
根据勾股定理，直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方，因此：
$AB^2=2^2+3^2=4+9=13$
由于线段长度为正数，即$AB＞0$，因此$AB=\sqrt{13}$。
【答案】
10. 如图，连接AB. 由勾股定理，得$AB^2=2^2+3^2=13$. 因为$AB＞0$,所以$AB=\sqrt{13}$
【知识点】
勾股定理，算术平方根
【点评】
本题是网格中线段长度计算的基础题型，解题的关键是将待求线段转化为直角三角形的斜边，准确得到两条直角边的长度，再结合勾股定理和算术平方根的意义求解，掌握对应基础知识点即可轻松解答。
【难度系数】
0.8
要求网格中A、B两点的距离，首先可连接AB，将AB看作直角三角形的斜边；接下来数出A、B两点在水平方向、竖直方向相差的小正方形边长数，得到直角三角形两条直角边的长度；再利用勾股定理计算斜边AB的平方；最后根据线段长度为正数，取算术平方根即可得到AB的长度。
【解析】
首先连接AB，观察网格可得：A、B两点水平方向相差3个单位长度，竖直方向相差2个单位长度，即对应直角三角形的两条直角边长度分别为3和2。
根据勾股定理，直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方，因此：
$AB^2=2^2+3^2=4+9=13$
由于线段长度为正数，即$AB＞0$，因此$AB=\sqrt{13}$。
【答案】
10. 如图，连接AB. 由勾股定理，得$AB^2=2^2+3^2=13$. 因为$AB＞0$,所以$AB=\sqrt{13}$
【知识点】
勾股定理，算术平方根
【点评】
本题是网格中线段长度计算的基础题型，解题的关键是将待求线段转化为直角三角形的斜边，准确得到两条直角边的长度，再结合勾股定理和算术平方根的意义求解，掌握对应基础知识点即可轻松解答。
【难度系数】
0.8
11 教材P32例2变式 某地的气象资料表明，该地雷雨持续的时间$t(\mathrm{h})$可以用公式$t^2=\dfrac{d^2}{900}$估计，其中$d(\mathrm{km})$是雷雨区域的直径。
（1）如果雷雨区域的直径为8 km，那么这场雷雨大约能持续多长时间？
（2）如果一场雷雨持续了2 h，那么雷雨区域的直径大约是多少？
（1）如果雷雨区域的直径为8 km，那么这场雷雨大约能持续多长时间？
（2）如果一场雷雨持续了2 h，那么雷雨区域的直径大约是多少？
答案
11. (1) 由题意,得 $t＞0$. 根据 $t^2=\dfrac{d^2}{900}$, 将 $d=8$ 代入,得 $t^2=\dfrac{64}{900}$. 所以 $t=\dfrac{4}{15}$. 所以这场雷雨大约能持续 $\dfrac{4}{15}\ \mathrm{h}$ (2) 由题意,得 $d＞0$. 根据 $t^2=\dfrac{d^2}{900}$, 将 $t=2$ 代入,得 $d^2=2^2×900$. 所以 $d=60$. 所以雷雨区域的直径大约是 60 km
解析
【分析】
本题给出了雷雨持续时间t与雷雨区域直径d的数量关系，两个小问均为已知一个量求另一个量的代数式求值问题。解题时首先要明确实际问题中t、d均为正数，因此对平方项开方时仅需取正的算术平方根即可。第一问直接将d=8代入公式求解t，第二问将t=2代入公式变形求解d，按照算术平方根的计算规则运算即可。
【解析】
（1）由实际意义可知$t＞0$，将$d=8$代入公式$t^2=\dfrac{d^2}{900}$，得：
$t^2=\dfrac{8^2}{900}=\dfrac{64}{900}$
对等式两边取算术平方根，得$t=\sqrt{\dfrac{64}{900}}=\dfrac{8}{30}=\dfrac{4}{15}$
（2）由实际意义可知$d＞0$，将$t=2$代入公式$t^2=\dfrac{d^2}{900}$，变形得$d^2=t^2×900$，代入得：
$d^2=2^2×900=4×900=3600$
对等式两边取算术平方根，得$d=\sqrt{3600}=60$
【答案】
（1）这场雷雨大约能持续$\dfrac{4}{15}\ \mathrm{h}$；（2）雷雨区域的直径大约是$60\ \mathrm{km}$
【知识点】
算术平方根、代数式求值、开方的实际应用
【点评】
本题属于算术平方根的基础应用类题目，解题的关键是结合实际意义确定未知量的取值范围，开方时仅取算术平方根，主要考查公式代换能力和基础运算能力。
【难度系数】
0.8
本题给出了雷雨持续时间t与雷雨区域直径d的数量关系，两个小问均为已知一个量求另一个量的代数式求值问题。解题时首先要明确实际问题中t、d均为正数，因此对平方项开方时仅需取正的算术平方根即可。第一问直接将d=8代入公式求解t，第二问将t=2代入公式变形求解d，按照算术平方根的计算规则运算即可。
【解析】
（1）由实际意义可知$t＞0$，将$d=8$代入公式$t^2=\dfrac{d^2}{900}$，得：
$t^2=\dfrac{8^2}{900}=\dfrac{64}{900}$
对等式两边取算术平方根，得$t=\sqrt{\dfrac{64}{900}}=\dfrac{8}{30}=\dfrac{4}{15}$
（2）由实际意义可知$d＞0$，将$t=2$代入公式$t^2=\dfrac{d^2}{900}$，变形得$d^2=t^2×900$，代入得：
$d^2=2^2×900=4×900=3600$
对等式两边取算术平方根，得$d=\sqrt{3600}=60$
【答案】
（1）这场雷雨大约能持续$\dfrac{4}{15}\ \mathrm{h}$；（2）雷雨区域的直径大约是$60\ \mathrm{km}$
【知识点】
算术平方根、代数式求值、开方的实际应用
【点评】
本题属于算术平方根的基础应用类题目，解题的关键是结合实际意义确定未知量的取值范围，开方时仅取算术平方根，主要考查公式代换能力和基础运算能力。
【难度系数】
0.8
