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12 下列式子中,正确的是 （
A.$\sqrt{9}=4.5$
B.$\sqrt{3.6}=0.6$
C.$\sqrt{144}=12$
D.$\sqrt{25}=\pm5$
C
）A.$\sqrt{9}=4.5$
B.$\sqrt{3.6}=0.6$
C.$\sqrt{144}=12$
D.$\sqrt{25}=\pm5$
答案
12. C
解析
【分析】
解题首先要明确算术平方根的定义：符号$\sqrt{a}$（$a≥0$）表示的是$a$的算术平方根，结果为非负数。解题时可以通过“将选项中等号右侧的数平方，判断其结果是否等于根号内的被开方数”的方法，逐一排除错误选项，最终选出正确答案。
【解析】
根据算术平方根的定义：若正数$x$满足$x^2=a$（$a≥0$），则$x$叫做$a$的算术平方根，记为$\sqrt{a}$，算术平方根的结果一定是非负的。
对各选项逐一分析：
A. 因为$3^2=9$，所以$\sqrt{9}=3≠4.5$，该选项错误；
B. 因为$0.6^2=0.36≠3.6$，所以$\sqrt{3.6}≠0.6$，该选项错误；
C. 因为$12^2=144$，所以$\sqrt{144}=12$，该选项正确；
D. $\sqrt{25}$表示25的算术平方根，结果只能取非负值5，$\pm5$是25的平方根，不符合算术平方根的定义，该选项错误。
综上，本题选C。
【答案】
C
【知识点】
1. 算术平方根的定义
2. 平方根与算术平方根的区别
【点评】
本题主要考查算术平方根相关概念的辨析，解题关键是区分开算术平方根和平方根的表示方法与取值范围，也可通过平方运算逆推验证开平方结果的正确性，属于基础概念考查题。
【难度系数】
0.8
解题首先要明确算术平方根的定义：符号$\sqrt{a}$（$a≥0$）表示的是$a$的算术平方根，结果为非负数。解题时可以通过“将选项中等号右侧的数平方，判断其结果是否等于根号内的被开方数”的方法，逐一排除错误选项，最终选出正确答案。
【解析】
根据算术平方根的定义：若正数$x$满足$x^2=a$（$a≥0$），则$x$叫做$a$的算术平方根，记为$\sqrt{a}$，算术平方根的结果一定是非负的。
对各选项逐一分析：
A. 因为$3^2=9$，所以$\sqrt{9}=3≠4.5$，该选项错误；
B. 因为$0.6^2=0.36≠3.6$，所以$\sqrt{3.6}≠0.6$，该选项错误；
C. 因为$12^2=144$，所以$\sqrt{144}=12$，该选项正确；
D. $\sqrt{25}$表示25的算术平方根，结果只能取非负值5，$\pm5$是25的平方根，不符合算术平方根的定义，该选项错误。
综上，本题选C。
【答案】
C
【知识点】
1. 算术平方根的定义
2. 平方根与算术平方根的区别
【点评】
本题主要考查算术平方根相关概念的辨析，解题关键是区分开算术平方根和平方根的表示方法与取值范围，也可通过平方运算逆推验证开平方结果的正确性，属于基础概念考查题。
【难度系数】
0.8
13 下列计算正确的是 （
A.$\sqrt{2^2}=2$
B.$\sqrt{(-2)^2}=-2$
C.$\sqrt{2^2}=\pm2$
D.$\sqrt{(-2)^2}=\pm2$
A
）A.$\sqrt{2^2}=2$
B.$\sqrt{(-2)^2}=-2$
C.$\sqrt{2^2}=\pm2$
D.$\sqrt{(-2)^2}=\pm2$
答案
13. A
解析
【分析】
本题考查算术平方根的相关计算，解题思路如下：首先明确算术平方根的核心性质：算术平方根的结果一定是非负数，由此可先排除结果为负数或包含正负两种值的错误选项；再分别计算每个选项中被开方数的数值，求出对应的算术平方根即可判断正误。
【解析】
根据算术平方根的定义：若正数$x$满足$x^2=a$，则$x$叫做$a$的算术平方根，记为$\sqrt{a}$，可知算术平方根的运算结果恒为非负数。
对各选项逐一分析：
选项A：$\sqrt{2^2}=\sqrt{4}=2$，计算正确；
选项B：$\sqrt{(-2)^2}=\sqrt{4}=2≠-2$，计算错误；
选项C：$\sqrt{2^2}$表示4的算术平方根，结果只能为2，不能是$\pm2$，计算错误；
选项D：$\sqrt{(-2)^2}$表示4的算术平方根，结果只能为2，不能是$\pm2$，计算错误。
综上，正确选项为A。
【答案】
A
【知识点】
1. 算术平方根的概念
2. 二次根式化简
【点评】
本题属于基础运算题，解题的关键是明确算术平方根和平方根的区别，牢记算术平方根的结果具有非负性，避免混淆两类运算的结果。
【难度系数】
0.85
本题考查算术平方根的相关计算，解题思路如下：首先明确算术平方根的核心性质：算术平方根的结果一定是非负数，由此可先排除结果为负数或包含正负两种值的错误选项；再分别计算每个选项中被开方数的数值，求出对应的算术平方根即可判断正误。
【解析】
根据算术平方根的定义：若正数$x$满足$x^2=a$，则$x$叫做$a$的算术平方根，记为$\sqrt{a}$，可知算术平方根的运算结果恒为非负数。
对各选项逐一分析：
选项A：$\sqrt{2^2}=\sqrt{4}=2$，计算正确；
选项B：$\sqrt{(-2)^2}=\sqrt{4}=2≠-2$，计算错误；
选项C：$\sqrt{2^2}$表示4的算术平方根，结果只能为2，不能是$\pm2$，计算错误；
选项D：$\sqrt{(-2)^2}$表示4的算术平方根，结果只能为2，不能是$\pm2$，计算错误。
综上，正确选项为A。
【答案】
A
【知识点】
1. 算术平方根的概念
2. 二次根式化简
【点评】
本题属于基础运算题，解题的关键是明确算术平方根和平方根的区别，牢记算术平方根的结果具有非负性，避免混淆两类运算的结果。
【难度系数】
0.85
14 若一个正数的算术平方根是$m$，则比这个正数大1的数的算术平方根是（
A.$m^2+1$
B.$\pm\sqrt{m+1}$
C.$\sqrt{m^2+1}$
D.$\pm\sqrt{m^2+1}$
C
）A.$m^2+1$
B.$\pm\sqrt{m+1}$
C.$\sqrt{m^2+1}$
D.$\pm\sqrt{m^2+1}$
答案
14. C
解析
【分析】
解题时可分三步思考：第一步，根据算术平方根的定义，由“正数的算术平方根是m”反推得到这个正数的表达式；第二步，求出比这个正数大1的数的表达式；第三步，结合算术平方根的非负性，写出该数的算术平方根，再匹配选项即可。需注意算术平方根和平方根的区别，算术平方根只有非负结果，不要误选带正负号的选项。
【解析】
解：① 设这个正数为$x$，根据算术平方根的定义，正数$x$的算术平方根是$m$，可得$x=m^2$；
② 比这个正数大1的数为：$x+1=m^2+1$；
③ 根据算术平方根的定义，算术平方根是非负数，因此$m^2+1$的算术平方根为$\sqrt{m^2+1}$。
综上，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
1. 算术平方根的定义
2. 算术平方根的非负性
【点评】
本题属于基础概念应用题，解题核心是准确理解算术平方根的含义，避免混淆算术平方根和平方根的概念，误选带正负符号的选项。
【难度系数】
0.8
解题时可分三步思考：第一步，根据算术平方根的定义，由“正数的算术平方根是m”反推得到这个正数的表达式；第二步，求出比这个正数大1的数的表达式；第三步，结合算术平方根的非负性，写出该数的算术平方根，再匹配选项即可。需注意算术平方根和平方根的区别，算术平方根只有非负结果，不要误选带正负号的选项。
【解析】
解：① 设这个正数为$x$，根据算术平方根的定义，正数$x$的算术平方根是$m$，可得$x=m^2$；
② 比这个正数大1的数为：$x+1=m^2+1$；
③ 根据算术平方根的定义，算术平方根是非负数，因此$m^2+1$的算术平方根为$\sqrt{m^2+1}$。
综上，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
1. 算术平方根的定义
2. 算术平方根的非负性
【点评】
本题属于基础概念应用题，解题核心是准确理解算术平方根的含义，避免混淆算术平方根和平方根的概念，误选带正负符号的选项。
【难度系数】
0.8
15（易错题）$\sqrt{16}$的算术平方根是
$2$
。答案
15. 2
易错分析：忽略“$\sqrt{\ \ }$”的存在，认为是求16的算术平方根而出错。
易错分析：忽略“$\sqrt{\ \ }$”的存在，认为是求16的算术平方根而出错。
解析
【分析】
解题时首先要明确题目所求的是$\sqrt{16}$的算术平方根，而非16的算术平方根，需分两步思考：第一步先根据算术平方根的定义求出$\sqrt{16}$的值；第二步再对求出的结果计算它的算术平方根即可。要注意避免未化简$\sqrt{16}$直接求16的算术平方根的错误。
【解析】
首先计算$\sqrt{16}$的值：
因为$4^2=16$，根据算术平方根的定义，16的算术平方根是4，所以$\sqrt{16}=4$。
接下来求4的算术平方根：
因为$2^2=4$，且算术平方根为非负的平方根，所以4的算术平方根是2。
因此$\sqrt{16}$的算术平方根是2。
【答案】
2
【知识点】
算术平方根的定义；二次根式化简
【点评】
本题属于易错题，易错点在于审题不仔细，忽略先化简$\sqrt{16}$，直接求解16的算术平方根得到错误答案4。解题时需理清运算层次，先化简二次根式，再求最终的算术平方根，养成认真审题的习惯。
【难度系数】
0.6
解题时首先要明确题目所求的是$\sqrt{16}$的算术平方根，而非16的算术平方根，需分两步思考：第一步先根据算术平方根的定义求出$\sqrt{16}$的值；第二步再对求出的结果计算它的算术平方根即可。要注意避免未化简$\sqrt{16}$直接求16的算术平方根的错误。
【解析】
首先计算$\sqrt{16}$的值：
因为$4^2=16$，根据算术平方根的定义，16的算术平方根是4，所以$\sqrt{16}=4$。
接下来求4的算术平方根：
因为$2^2=4$，且算术平方根为非负的平方根，所以4的算术平方根是2。
因此$\sqrt{16}$的算术平方根是2。
【答案】
2
【知识点】
算术平方根的定义；二次根式化简
【点评】
本题属于易错题，易错点在于审题不仔细，忽略先化简$\sqrt{16}$，直接求解16的算术平方根得到错误答案4。解题时需理清运算层次，先化简二次根式，再求最终的算术平方根，养成认真审题的习惯。
【难度系数】
0.6
16 [2024 上海]已知$\sqrt{2x-1}=1$，则$x=$
$1$
答案
16. 1
解析
【分析】
本题可根据算术平方根的性质求解，解题思路如下：首先明确算术平方根的核心性质：若$\sqrt{a}=b$（其中$a≥0$，$b≥0$），则$a=b^2$，因此我们可以通过对等式两边同时平方去掉根号，将无理方程转化为熟悉的一元一次方程，再按解一元一次方程的步骤求出$x$的值，最后代入原方程检验结果是否正确即可。
【解析】
已知$\sqrt{2x-1}=1$，根据算术平方根的性质，等式两边同时平方得：
$2x - 1 = 1^2$
即$2x - 1 = 1$
移项得：$2x = 1 + 1$
合并同类项得：$2x = 2$
系数化为1得：$x = 1$
检验：将$x=1$代入原方程左边，$\sqrt{2×1 - 1}=\sqrt{1}=1$，与右边相等，所以$x=1$是原方程的解。
【答案】
1
【知识点】
1. 算术平方根的性质
2. 解一元一次方程
【点评】
本题属于基础计算题，核心考查对算术平方根性质的理解与运用，解题的关键是通过平方运算去掉根号，将无理方程转化为整式方程求解，养成解完代入检验的习惯可以有效避免错误。
【难度系数】
0.9
本题可根据算术平方根的性质求解，解题思路如下：首先明确算术平方根的核心性质：若$\sqrt{a}=b$（其中$a≥0$，$b≥0$），则$a=b^2$，因此我们可以通过对等式两边同时平方去掉根号，将无理方程转化为熟悉的一元一次方程，再按解一元一次方程的步骤求出$x$的值，最后代入原方程检验结果是否正确即可。
【解析】
已知$\sqrt{2x-1}=1$，根据算术平方根的性质，等式两边同时平方得：
$2x - 1 = 1^2$
即$2x - 1 = 1$
移项得：$2x = 1 + 1$
合并同类项得：$2x = 2$
系数化为1得：$x = 1$
检验：将$x=1$代入原方程左边，$\sqrt{2×1 - 1}=\sqrt{1}=1$，与右边相等，所以$x=1$是原方程的解。
【答案】
1
【知识点】
1. 算术平方根的性质
2. 解一元一次方程
【点评】
本题属于基础计算题，核心考查对算术平方根性质的理解与运用，解题的关键是通过平方运算去掉根号，将无理方程转化为整式方程求解，养成解完代入检验的习惯可以有效避免错误。
【难度系数】
0.9
17 若$ab=-1$，则当$a=\sqrt{25}$时，$b$的值为
$-\dfrac{1}{5}$
答案
17. $-\dfrac{1}{5}$
解析
【分析】
解题时先从已知条件入手，第一步根据算术平方根的定义求出a的取值，算术平方根的结果是非负数，因此$\sqrt{25}$的结果是唯一的正数5；接下来已知$ab=-1$，要求b的值，可将等式变形为$b=\frac{-1}{a}$，再把求出的a的值代入变形后的式子，就能计算得到b的数值，计算时注意负号不要遗漏。
【解析】
首先计算a的值：
∵ $a = \sqrt{25}$，根据算术平方根的定义，正数的算术平方根是正数，
∴ $a = 5$。
又已知$ab=-1$，将等式变形求b：
$b = \frac{-1}{a}$，
把$a=5$代入上式得：
$b = -\frac{1}{5}$。
【答案】
$-\dfrac{1}{5}$
【知识点】
算术平方根的计算；代数式求值
【点评】
本题属于基础运算类题目，核心考查对算术平方根定义的理解，以及简单的代数式变形与计算，解题时需注意区分算术平方根和平方根的区别，避免误将$\sqrt{25}$计算为$\pm5$，同时计算时要注意符号的正确性。
【难度系数】
0.9
解题时先从已知条件入手，第一步根据算术平方根的定义求出a的取值，算术平方根的结果是非负数，因此$\sqrt{25}$的结果是唯一的正数5；接下来已知$ab=-1$，要求b的值，可将等式变形为$b=\frac{-1}{a}$，再把求出的a的值代入变形后的式子，就能计算得到b的数值，计算时注意负号不要遗漏。
【解析】
首先计算a的值：
∵ $a = \sqrt{25}$，根据算术平方根的定义，正数的算术平方根是正数，
∴ $a = 5$。
又已知$ab=-1$，将等式变形求b：
$b = \frac{-1}{a}$，
把$a=5$代入上式得：
$b = -\frac{1}{5}$。
【答案】
$-\dfrac{1}{5}$
【知识点】
算术平方根的计算；代数式求值
【点评】
本题属于基础运算类题目，核心考查对算术平方根定义的理解，以及简单的代数式变形与计算，解题时需注意区分算术平方根和平方根的区别，避免误将$\sqrt{25}$计算为$\pm5$，同时计算时要注意符号的正确性。
【难度系数】
0.9
18 有一个数值转换器(如图),当输入的x为256时,输出的y是
$\sqrt{2}$
。答案
18. $\sqrt{2}$
解析
【分析】
首先明确数值转换器的运算规则：输入x后，先计算x的算术平方根，判断所得结果是否为无理数，若是则直接输出该结果；若不是，就把该结果作为新的输入值重复上述运算，直到得到无理数为止。解题时将x=256代入，按规则逐步运算即可。
【解析】
当输入x=256时：
1. 第一次计算算术平方根：$\sqrt{256}=16$，16是有理数，不符合输出条件，将16作为新的输入值；
2. 第二次计算算术平方根：$\sqrt{16}=4$，4是有理数，不符合输出条件，将4作为新的输入值；
3. 第三次计算算术平方根：$\sqrt{4}=2$，2是有理数，不符合输出条件，将2作为新的输入值；
4. 第四次计算算术平方根：$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$是无理数，符合输出条件，因此输出y的值为$\sqrt{2}$。
【答案】
$\sqrt{2}$
【知识点】
算术平方根的计算，无理数的判定，流程图运算
【点评】
本题结合流程图考查基础数学概念的应用，只要严格按照运算流程逐步计算、准确判断数的类型，就能顺利得到结果，注意不要中途停止运算导致结果错误。
【难度系数】
0.8
首先明确数值转换器的运算规则：输入x后，先计算x的算术平方根，判断所得结果是否为无理数，若是则直接输出该结果；若不是，就把该结果作为新的输入值重复上述运算，直到得到无理数为止。解题时将x=256代入，按规则逐步运算即可。
【解析】
当输入x=256时：
1. 第一次计算算术平方根：$\sqrt{256}=16$，16是有理数，不符合输出条件，将16作为新的输入值；
2. 第二次计算算术平方根：$\sqrt{16}=4$，4是有理数，不符合输出条件，将4作为新的输入值；
3. 第三次计算算术平方根：$\sqrt{4}=2$，2是有理数，不符合输出条件，将2作为新的输入值；
4. 第四次计算算术平方根：$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$是无理数，符合输出条件，因此输出y的值为$\sqrt{2}$。
【答案】
$\sqrt{2}$
【知识点】
算术平方根的计算，无理数的判定，流程图运算
【点评】
本题结合流程图考查基础数学概念的应用，只要严格按照运算流程逐步计算、准确判断数的类型，就能顺利得到结果，注意不要中途停止运算导致结果错误。
【难度系数】
0.8
19 已知$|2a + b|$与$\sqrt{3b + 12}$互为相反数.求$2a - 3b$的算术平方根.
答案
19. 由题意,得 $2a + b = 0, 3b + 12 = 0$, 解得 $a = 2, b = -4$. 所以 $2a - 3b = 2×2 - 3×(-4) = 16$. 所以 $2a - 3b$ 的算术平方根为 4
解析
【分析】
首先，互为相反数的两个数之和为0，据此可列出等式$|2a + b| + \sqrt{3b + 12} = 0$。其次，绝对值和算术平方根都具有非负性，即$|2a + b|≥0$，$\sqrt{3b + 12}≥0$，两个非负数相加等于0，只有当两个非负数同时为0时等式才成立，因此可以得到两个关于a、b的方程，求解得到a、b的值后，代入$2a-3b$算出结果，最后求该结果的算术平方根即可。
【解析】
解：
∵$|2a + b|$与$\sqrt{3b + 12}$互为相反数
∴$|2a + b| + \sqrt{3b + 12} = 0$
又
∵$|2a + b|≥0$，$\sqrt{3b + 12}≥0$
∴$\begin{cases}2a + b = 0 \\3b + 12 = 0 \end{cases}$
解$3b + 12 = 0$，得$b = -4$
将$b = -4$代入$2a + b = 0$，得$2a - 4 = 0$，解得$a = 2$
∴$2a - 3b = 2×2 - 3×(-4) = 4 + 12 = 16$
∵16的算术平方根是4
∴$2a - 3b$的算术平方根为4
【答案】
4
【知识点】
非负数的性质，算术平方根的定义，相反数的性质
【点评】
本题是基础常考题型，核心是利用绝对值和算术平方根的非负性列方程求解未知数，解题的关键是掌握“若两个非负数的和为0，则这两个非负数均为0”的结论，再结合算术平方根的计算方法即可得出结果。
【难度系数】
0.8
首先，互为相反数的两个数之和为0，据此可列出等式$|2a + b| + \sqrt{3b + 12} = 0$。其次，绝对值和算术平方根都具有非负性，即$|2a + b|≥0$，$\sqrt{3b + 12}≥0$，两个非负数相加等于0，只有当两个非负数同时为0时等式才成立，因此可以得到两个关于a、b的方程，求解得到a、b的值后，代入$2a-3b$算出结果，最后求该结果的算术平方根即可。
【解析】
解：
∵$|2a + b|$与$\sqrt{3b + 12}$互为相反数
∴$|2a + b| + \sqrt{3b + 12} = 0$
又
∵$|2a + b|≥0$，$\sqrt{3b + 12}≥0$
∴$\begin{cases}2a + b = 0 \\3b + 12 = 0 \end{cases}$
解$3b + 12 = 0$，得$b = -4$
将$b = -4$代入$2a + b = 0$，得$2a - 4 = 0$，解得$a = 2$
∴$2a - 3b = 2×2 - 3×(-4) = 4 + 12 = 16$
∵16的算术平方根是4
∴$2a - 3b$的算术平方根为4
【答案】
4
【知识点】
非负数的性质，算术平方根的定义，相反数的性质
【点评】
本题是基础常考题型，核心是利用绝对值和算术平方根的非负性列方程求解未知数，解题的关键是掌握“若两个非负数的和为0，则这两个非负数均为0”的结论，再结合算术平方根的计算方法即可得出结果。
【难度系数】
0.8
20（1）化简下列各式：$\sqrt{0.09}=$
（2）将你发现的规律用一句话叙述出来；
（3）已知$\sqrt{3}\approx1.732$，$\sqrt{30}\approx5.477$，请利用你所发现的规律求$\sqrt{300}$和$\sqrt{0.3}$的值。
$0.3$
，$\sqrt{9}=$$3$
，$\sqrt{900}=$$30$
；（2）将你发现的规律用一句话叙述出来；
（3）已知$\sqrt{3}\approx1.732$，$\sqrt{30}\approx5.477$，请利用你所发现的规律求$\sqrt{300}$和$\sqrt{0.3}$的值。
答案
20. (1) 0.3 3 30 (2) 被开方数的小数点每向左或向右移动两位,算术平方根的小数点就相应地向左或向右移动一位(言之有理即可) (3) $\sqrt{300}\approx17.32$,$\sqrt{0.3}\approx0.547\ 7$
解析
【分析】
解题时先完成第一问的算术平方根计算：根据算术平方根的定义，找到平方后等于被开方数的非负数即可得到结果。接着对比三个式子中被开方数的小数点移动方向、位数，和对应算术平方根的小数点移动情况，总结出通用规律。最后应用总结的规律，将待求的√300、√0.3的被开方数和已知的√3、√30的被开方数对比，确定小数点移动情况，进而算出结果。
【解析】
（1）根据算术平方根的定义：
∵0.3²=0.09，
∴√0.09=0.3；
∵3²=9，
∴√9=3；
∵30²=900，
∴√900=30。
（2）观察三个式子的被开方数和算术平方根：
被开方数0.09到9，小数点向右移动2位，算术平方根0.3到3，小数点向右移动1位；
被开方数9到900，小数点向右移动2位，算术平方根3到30，小数点向右移动1位；
反之，被开方数小数点向左移动2位，算术平方根小数点向左移动1位。
因此规律为：被开方数的小数点每向左或向右移动两位，算术平方根的小数点就相应地向左或向右移动一位。
（3）应用上述规律计算：
√300的被开方数300，可看作是3的小数点向右移动2位得到，因此算术平方根就是√3的结果小数点向右移动1位，已知√3≈1.732，故√300≈17.32；
√0.3的被开方数0.3，可看作是30的小数点向左移动2位得到，因此算术平方根就是√30的结果小数点向左移动1位，已知√30≈5.477，故√0.3≈0.5477。
【答案】
(1) 0.3；3；30
(2) 被开方数的小数点每向左或向右移动两位，算术平方根的小数点就相应地向左或向右移动一位（言之有理即可）
(3) √300≈17.32，√0.3≈0.5477
【知识点】
算术平方根计算，算术平方根变化规律，规律探究应用
【点评】
本题从基础的算术平方根计算出发，引导学生通过观察、归纳总结规律，再应用规律解决未知的根式估值问题，侧重考察学生的观察归纳能力和知识迁移应用能力，是算术平方根章节的典型基础应用题。
【难度系数】
0.8
解题时先完成第一问的算术平方根计算：根据算术平方根的定义，找到平方后等于被开方数的非负数即可得到结果。接着对比三个式子中被开方数的小数点移动方向、位数，和对应算术平方根的小数点移动情况，总结出通用规律。最后应用总结的规律，将待求的√300、√0.3的被开方数和已知的√3、√30的被开方数对比，确定小数点移动情况，进而算出结果。
【解析】
（1）根据算术平方根的定义：
∵0.3²=0.09，
∴√0.09=0.3；
∵3²=9，
∴√9=3；
∵30²=900，
∴√900=30。
（2）观察三个式子的被开方数和算术平方根：
被开方数0.09到9，小数点向右移动2位，算术平方根0.3到3，小数点向右移动1位；
被开方数9到900，小数点向右移动2位，算术平方根3到30，小数点向右移动1位；
反之，被开方数小数点向左移动2位，算术平方根小数点向左移动1位。
因此规律为：被开方数的小数点每向左或向右移动两位，算术平方根的小数点就相应地向左或向右移动一位。
（3）应用上述规律计算：
√300的被开方数300，可看作是3的小数点向右移动2位得到，因此算术平方根就是√3的结果小数点向右移动1位，已知√3≈1.732，故√300≈17.32；
√0.3的被开方数0.3，可看作是30的小数点向左移动2位得到，因此算术平方根就是√30的结果小数点向左移动1位，已知√30≈5.477，故√0.3≈0.5477。
【答案】
(1) 0.3；3；30
(2) 被开方数的小数点每向左或向右移动两位，算术平方根的小数点就相应地向左或向右移动一位（言之有理即可）
(3) √300≈17.32，√0.3≈0.5477
【知识点】
算术平方根计算，算术平方根变化规律，规律探究应用
【点评】
本题从基础的算术平方根计算出发，引导学生通过观察、归纳总结规律，再应用规律解决未知的根式估值问题，侧重考察学生的观察归纳能力和知识迁移应用能力，是算术平方根章节的典型基础应用题。
【难度系数】
0.8
21 新考向 探究题 有一个计算装置，当输入数x后，输出的数是y，小红输入一些数后得到的结果如下表：
（1）如果小红输入的数是100，那么输出的数是多少？如果输出的数是$1\frac{1}{2}$，那么输入的数是多少？
（2）y与x之间的关系是
（3）小红输入某个数后，这个计算装置显示：错误，无法计算. 请你帮小红分析原因.
（1）如果小红输入的数是100，那么输出的数是多少？如果输出的数是$1\frac{1}{2}$，那么输入的数是多少？
（2）y与x之间的关系是
$y=\sqrt{x}+1(x≥0)$
（用等式表示）.（3）小红输入某个数后，这个计算装置显示：错误，无法计算. 请你帮小红分析原因.
答案
21. (1) 如果输入的数是 100,那么输出的数是 11; 如果输出的数是 $1\dfrac{1}{2}$, 那么输入的数是 $\dfrac{1}{4}$ (2) $y=\sqrt{x}+1(x≥0)$ (3) 输入的 $x$ 小于 0(言之有理即可)
解析
【分析】
首先观察表格中输入x和输出y的对应数值，可发现输入的x均为非负平方数，对比对应的y值可归纳出y等于x的算术平方根加1的规律，得到y与x的关系式后，即可代入数值求解对应问题；无法计算的原因可结合算术平方根有意义的条件分析。
【解析】
先观察表格数据找规律：
当x=0时，$y=\sqrt{0}+1=1$；当x=1时，$y=\sqrt{1}+1=2$；当x=4时，$y=\sqrt{4}+1=3$；当x=9时，$y=\sqrt{9}+1=4$，以此类推，可得到y与x的关系为$y=\sqrt{x}+1\ (x≥0)$。
（1）①当输入x=100时，代入关系式得：$y=\sqrt{100} +1=10+1=11$；
②当输出$y=1\dfrac{1}{2}$时，代入关系式得：$1\dfrac{1}{2}=\sqrt{x}+1$，移项计算得$\sqrt{x}=\dfrac{1}{2}$，两边平方得$x=(\dfrac{1}{2})^2=\dfrac{1}{4}$。
（2）由上述归纳可得y与x的关系为$y=\sqrt{x}+1(x≥0)$。
（3）由于算术平方根的被开方数必须是非负数，若输入的x小于0，$\sqrt{x}$没有意义，因此装置无法计算。
【答案】
(1) 输入100时输出的数是11；输出$1\dfrac{1}{2}$时输入的数是$\dfrac{1}{4}$
(2) $y=\sqrt{x}+1(x≥0)$
(3) 输入的$x$小于0（言之有理即可）
【知识点】
算术平方根，规律探究，函数关系式
【点评】
本题结合计算装置的表格数据考查算术平方根的相关知识，需要先通过观察归纳得到变量之间的关系，再结合算术平方根的计算和有意义的条件求解，注重对基础能力和观察归纳能力的考查。
【难度系数】
0.85
首先观察表格中输入x和输出y的对应数值，可发现输入的x均为非负平方数，对比对应的y值可归纳出y等于x的算术平方根加1的规律，得到y与x的关系式后，即可代入数值求解对应问题；无法计算的原因可结合算术平方根有意义的条件分析。
【解析】
先观察表格数据找规律：
当x=0时，$y=\sqrt{0}+1=1$；当x=1时，$y=\sqrt{1}+1=2$；当x=4时，$y=\sqrt{4}+1=3$；当x=9时，$y=\sqrt{9}+1=4$，以此类推，可得到y与x的关系为$y=\sqrt{x}+1\ (x≥0)$。
（1）①当输入x=100时，代入关系式得：$y=\sqrt{100} +1=10+1=11$；
②当输出$y=1\dfrac{1}{2}$时，代入关系式得：$1\dfrac{1}{2}=\sqrt{x}+1$，移项计算得$\sqrt{x}=\dfrac{1}{2}$，两边平方得$x=(\dfrac{1}{2})^2=\dfrac{1}{4}$。
（2）由上述归纳可得y与x的关系为$y=\sqrt{x}+1(x≥0)$。
（3）由于算术平方根的被开方数必须是非负数，若输入的x小于0，$\sqrt{x}$没有意义，因此装置无法计算。
【答案】
(1) 输入100时输出的数是11；输出$1\dfrac{1}{2}$时输入的数是$\dfrac{1}{4}$
(2) $y=\sqrt{x}+1(x≥0)$
(3) 输入的$x$小于0（言之有理即可）
【知识点】
算术平方根，规律探究，函数关系式
【点评】
本题结合计算装置的表格数据考查算术平方根的相关知识，需要先通过观察归纳得到变量之间的关系，再结合算术平方根的计算和有意义的条件求解，注重对基础能力和观察归纳能力的考查。
【难度系数】
0.85
