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9. 用配方法解下列方程：
(1)$\frac{1}{4}x^2 -6x +3=0$；
(2)$3x^2 -2=6x$。
(1)$\frac{1}{4}x^2 -6x +3=0$；
(2)$3x^2 -2=6x$。
答案
9.解:(1)移项,得 $\frac{1}{4}x^2 -6x=-3$. 二次项系数化为1,得 $x^2 -24x=-12$. 配方,得 $x^2 -24x+12^2=-12+12^2,(x-12)^2=132$. 由此可得 $x_1=2\sqrt{33}+12,x_2=-2\sqrt{33}+12$.
(2)移项,得 $3x^2 -6x=2$. 二次项系数化为1,得 $x^2 -2x=\frac{2}{3}$. 配方,得 $x^2 -2x+1^2=\frac{2}{3}+1^2,(x-1)^2=\frac{5}{3}$. 由此可得 $x_1=1+\frac{\sqrt{15}}{3},x_2=1-\frac{\sqrt{15}}{3}$.
(2)移项,得 $3x^2 -6x=2$. 二次项系数化为1,得 $x^2 -2x=\frac{2}{3}$. 配方,得 $x^2 -2x+1^2=\frac{2}{3}+1^2,(x-1)^2=\frac{5}{3}$. 由此可得 $x_1=1+\frac{\sqrt{15}}{3},x_2=1-\frac{\sqrt{15}}{3}$.
解析
【分析】
用配方法解一元二次方程遵循固定步骤：①移项，将含未知数的项移到方程左边，常数项移到右边；②将二次项系数化为1；③配方，给方程左右两边同时加上一次项系数一半的平方，把左边变形为完全平方式；④开平方求解。本题两个小题均按照该步骤逐步计算即可，注意计算过程中符号处理和结果的化简。
【解析】
(1) 移项，得 $\frac{1}{4}x^2 -6x=-3$。
二次项系数化为1，两边同时乘4，得 $x^2 -24x=-12$。
配方，一次项系数-24的一半为-12，两边同时加$12^2$，得 $x^2 -24x+12^2=-12+12^2$，即 $(x-12)^2=132$。
开平方得 $x-12=\pm2\sqrt{33}$，
由此可得 $x_1=2\sqrt{33}+12,x_2=-2\sqrt{33}+12$。
(2) 移项，得 $3x^2 -6x=2$。
二次项系数化为1，两边同时除以3，得 $x^2 -2x=\frac{2}{3}$。
配方，一次项系数-2的一半为-1，两边同时加$1^2$，得 $x^2 -2x+1^2=\frac{2}{3}+1^2$，即 $(x-1)^2=\frac{5}{3}$。
开平方得 $x-1=\pm\frac{\sqrt{15}}{3}$，
由此可得 $x_1=1+\frac{\sqrt{15}}{3},x_2=1-\frac{\sqrt{15}}{3}$。
【答案】
(1)$x_1=12+2\sqrt{33},x_2=12-2\sqrt{33}$；
(2)$x_1=1+\frac{\sqrt{15}}{3},x_2=1-\frac{\sqrt{15}}{3}$
【知识点】
配方法解一元二次方程、完全平方公式、二次根式化简
【点评】
本题是配方法解一元二次方程的基础训练题，解题核心是熟练掌握配方法的固定操作步骤，需注意配方时必须给等式两边同时加一次项系数一半的平方，开平方时不要漏写正负号，最终结果要化为最简二次根式形式。
【难度系数】
0.75
用配方法解一元二次方程遵循固定步骤：①移项，将含未知数的项移到方程左边，常数项移到右边；②将二次项系数化为1；③配方，给方程左右两边同时加上一次项系数一半的平方，把左边变形为完全平方式；④开平方求解。本题两个小题均按照该步骤逐步计算即可，注意计算过程中符号处理和结果的化简。
【解析】
(1) 移项，得 $\frac{1}{4}x^2 -6x=-3$。
二次项系数化为1，两边同时乘4，得 $x^2 -24x=-12$。
配方，一次项系数-24的一半为-12，两边同时加$12^2$，得 $x^2 -24x+12^2=-12+12^2$，即 $(x-12)^2=132$。
开平方得 $x-12=\pm2\sqrt{33}$，
由此可得 $x_1=2\sqrt{33}+12,x_2=-2\sqrt{33}+12$。
(2) 移项，得 $3x^2 -6x=2$。
二次项系数化为1，两边同时除以3，得 $x^2 -2x=\frac{2}{3}$。
配方，一次项系数-2的一半为-1，两边同时加$1^2$，得 $x^2 -2x+1^2=\frac{2}{3}+1^2$，即 $(x-1)^2=\frac{5}{3}$。
开平方得 $x-1=\pm\frac{\sqrt{15}}{3}$，
由此可得 $x_1=1+\frac{\sqrt{15}}{3},x_2=1-\frac{\sqrt{15}}{3}$。
【答案】
(1)$x_1=12+2\sqrt{33},x_2=12-2\sqrt{33}$；
(2)$x_1=1+\frac{\sqrt{15}}{3},x_2=1-\frac{\sqrt{15}}{3}$
【知识点】
配方法解一元二次方程、完全平方公式、二次根式化简
【点评】
本题是配方法解一元二次方程的基础训练题，解题核心是熟练掌握配方法的固定操作步骤，需注意配方时必须给等式两边同时加一次项系数一半的平方，开平方时不要漏写正负号，最终结果要化为最简二次根式形式。
【难度系数】
0.75
10. 若用配方法将一元二次方程$\frac{1}{2}x^2 - 3x + \frac{5}{2} = 0$转化为$\frac{1}{2}(x + m)^2 + n = 0$的形式，则$m + n$的值是（
A.$-1$
B.$1$
C.$-5$
D.$5$
C
）A.$-1$
B.$1$
C.$-5$
D.$5$
答案
10.C
解析
【分析】
要解决本题，核心是掌握配方法变形一元二次方程的步骤：首先提取二次项系数，将含x的二次项、一次项统一放在括号内；其次对括号内的多项式凑完全平方；最后整理式子和目标形式对比，得到m、n的值后计算m+n即可。
【解析】
对原方程进行配方变形：
1. 提取二次项系数$\frac{1}{2}$，合并含x的项：
$\frac{1}{2}(x^2 - 6x) + \frac{5}{2} = 0$
2. 对括号内的$x^2-6x$配方：一次项系数为-6，其一半的平方为$(-3)^2=9$，因此$x^2-6x=(x-3)^2 -9$，代入上式得：
$\frac{1}{2}[(x-3)^2 -9] + \frac{5}{2} = 0$
3. 展开并整理常数项：
$\frac{1}{2}(x-3)^2 - \frac{9}{2} + \frac{5}{2} = 0$
$\frac{1}{2}(x-3)^2 -2 = 0$
将上式与$\frac{1}{2}(x+m)^2 +n=0$对比，可得$m=-3$，$n=-2$，因此$m+n=-3+(-2)=-5$。
【答案】
C
【知识点】
配方法的应用；完全平方公式
【点评】
本题属于基础题型，重点考查配方法的操作步骤，解题时需注意提取二次项后配方的常数项变化，以及对应m的符号不要混淆，掌握配方规则即可轻松得分。
【难度系数】
0.6
要解决本题，核心是掌握配方法变形一元二次方程的步骤：首先提取二次项系数，将含x的二次项、一次项统一放在括号内；其次对括号内的多项式凑完全平方；最后整理式子和目标形式对比，得到m、n的值后计算m+n即可。
【解析】
对原方程进行配方变形：
1. 提取二次项系数$\frac{1}{2}$，合并含x的项：
$\frac{1}{2}(x^2 - 6x) + \frac{5}{2} = 0$
2. 对括号内的$x^2-6x$配方：一次项系数为-6，其一半的平方为$(-3)^2=9$，因此$x^2-6x=(x-3)^2 -9$，代入上式得：
$\frac{1}{2}[(x-3)^2 -9] + \frac{5}{2} = 0$
3. 展开并整理常数项：
$\frac{1}{2}(x-3)^2 - \frac{9}{2} + \frac{5}{2} = 0$
$\frac{1}{2}(x-3)^2 -2 = 0$
将上式与$\frac{1}{2}(x+m)^2 +n=0$对比，可得$m=-3$，$n=-2$，因此$m+n=-3+(-2)=-5$。
【答案】
C
【知识点】
配方法的应用；完全平方公式
【点评】
本题属于基础题型，重点考查配方法的操作步骤，解题时需注意提取二次项后配方的常数项变化，以及对应m的符号不要混淆，掌握配方规则即可轻松得分。
【难度系数】
0.6
11. 小马用配方法解关于$ x $的一元二次方程$ 4x^2 - bx + c = 0 $时，先移项得到$ 4x^2 - bx = -c $，然后系数化为1时，方程右边忘记除以4，得到$ (x - 2)^2 = 7 $，则正确的变形为（
A.$ (x + 2)^2 = \frac{19}{4} $
B.$ (x - 2)^2 = \frac{3}{4} $
C.$ (x - 2)^2 = \frac{19}{4} $
D.$ (x - 2)^2 = 16 $
C
）A.$ (x + 2)^2 = \frac{19}{4} $
B.$ (x - 2)^2 = \frac{3}{4} $
C.$ (x - 2)^2 = \frac{19}{4} $
D.$ (x - 2)^2 = 16 $
答案
11.C
解析
【分析】
我们需要先根据小马错误的变形过程反推出原方程的系数b、c，再按照正确的配方法步骤计算得到正确变形。首先展开小马得到的错误配方结果，结合他“系数化为1时右边忘记除以4”的错误操作，对应得到原方程的系数，再严格按照配方法的步骤：移项、系数化为1、配方（两边加一次项系数一半的平方），就能得到正确结果。
【解析】
第一步：展开小马得到的错误变形方程
将$(x - 2)^2 = 7$展开，得$x^2 - 4x + 4 = 7$，整理为$x^2 - 4x = 3$。
第二步：结合错误操作反推原方程系数
小马操作时，移项得$4x^2 - bx = -c$，系数化为1时仅左边除以4，右边未除以4，因此他得到的方程为$x^2 - \frac{b}{4}x = -c$。
和展开后的$x^2 -4x =3$对应，可得：
$\frac{b}{4}=4$，解得$b=16$；
$-c=3$，解得$c=-3$。
第三步：用正确配方法变形原方程
原方程为$4x^2 -16x -3=0$，移项得$4x^2 -16x =3$。
系数化为1（两边同时除以4）：$x^2 -4x = \frac{3}{4}$。
配方：两边加一次项系数$-4$一半的平方，即$(-2)^2=4$，得：
$x^2 -4x +4 = \frac{3}{4} +4$
左边整理为完全平方式，右边计算得$\frac{19}{4}$，即$(x-2)^2 = \frac{19}{4}$。
【答案】
C
【知识点】
1.配方法解一元二次方程
2.等式的性质
【点评】
本题结合错误操作考查配方法的应用，解题关键是根据错误的变形反推原方程的参数，要牢记配方法每一步都要符合等式的性质，等式两边的变形要保持一致。
【难度系数】
0.6
我们需要先根据小马错误的变形过程反推出原方程的系数b、c，再按照正确的配方法步骤计算得到正确变形。首先展开小马得到的错误配方结果，结合他“系数化为1时右边忘记除以4”的错误操作，对应得到原方程的系数，再严格按照配方法的步骤：移项、系数化为1、配方（两边加一次项系数一半的平方），就能得到正确结果。
【解析】
第一步：展开小马得到的错误变形方程
将$(x - 2)^2 = 7$展开，得$x^2 - 4x + 4 = 7$，整理为$x^2 - 4x = 3$。
第二步：结合错误操作反推原方程系数
小马操作时，移项得$4x^2 - bx = -c$，系数化为1时仅左边除以4，右边未除以4，因此他得到的方程为$x^2 - \frac{b}{4}x = -c$。
和展开后的$x^2 -4x =3$对应，可得：
$\frac{b}{4}=4$，解得$b=16$；
$-c=3$，解得$c=-3$。
第三步：用正确配方法变形原方程
原方程为$4x^2 -16x -3=0$，移项得$4x^2 -16x =3$。
系数化为1（两边同时除以4）：$x^2 -4x = \frac{3}{4}$。
配方：两边加一次项系数$-4$一半的平方，即$(-2)^2=4$，得：
$x^2 -4x +4 = \frac{3}{4} +4$
左边整理为完全平方式，右边计算得$\frac{19}{4}$，即$(x-2)^2 = \frac{19}{4}$。
【答案】
C
【知识点】
1.配方法解一元二次方程
2.等式的性质
【点评】
本题结合错误操作考查配方法的应用，解题关键是根据错误的变形反推原方程的参数，要牢记配方法每一步都要符合等式的性质，等式两边的变形要保持一致。
【难度系数】
0.6
12. 已知方程 $x^{2}-8x+m=0$ 可以通过配方写成 $(x-n)^{2}=6$ 的形式,则方程 $x^{2}+8x+m=$6 的解为
$x_1=-4+2\sqrt{3},x_2=-4-2\sqrt{3}$
.答案
12.$x_1=-4+2\sqrt{3},x_2=-4-2\sqrt{3}$
解析
【分析】
解题的核心是先求出参数m的值，再代入第二个方程求解。首先对已知方程$x^2-8x+m=0$进行配方，将配方后的结果与题目给出的$(x-n)^2=6$对比，利用对应项相等求出m的取值，再将m代入方程$x^2+8x+m=6$，最后用配方法解这个一元二次方程即可得到答案。
【解析】
1. 求参数m的值：
对$x^2-8x+m=0$移项，得$x^2-8x=-m$，
配方，在等式两边同时加上一次项系数一半的平方，即$(\frac{-8}{2})^2=16$，
得$x^2-8x+16=16-m$，即$(x-4)^2=16-m$。
已知该方程可写成$(x-n)^2=6$的形式，因此对应可得$16-m=6$，解得$m=10$。
2. 解方程$x^2+8x+m=6$：
将$m=10$代入方程，得$x^2+8x+10=6$，
移项整理得$x^2+8x=-4$，
配方，在等式两边同时加上$(\frac{8}{2})^2=16$，
得$x^2+8x+16=-4+16$，即$(x+4)^2=12$，
开平方得$x+4=\pm2\sqrt{3}$，
解得$x_1=-4+2\sqrt{3}$，$x_2=-4-2\sqrt{3}$。
【答案】
$x_1=-4+2\sqrt{3},x_2=-4-2\sqrt{3}$
【知识点】
配方法解一元二次方程；代数式配方
【点评】
本题重点考查配方法的应用，解题关键是先通过已知方程求出参数m，再对目标方程配方求解，熟练掌握“加一次项系数一半的平方”这一配方步骤是解题的核心。
【难度系数】
0.7
解题的核心是先求出参数m的值，再代入第二个方程求解。首先对已知方程$x^2-8x+m=0$进行配方，将配方后的结果与题目给出的$(x-n)^2=6$对比，利用对应项相等求出m的取值，再将m代入方程$x^2+8x+m=6$，最后用配方法解这个一元二次方程即可得到答案。
【解析】
1. 求参数m的值：
对$x^2-8x+m=0$移项，得$x^2-8x=-m$，
配方，在等式两边同时加上一次项系数一半的平方，即$(\frac{-8}{2})^2=16$，
得$x^2-8x+16=16-m$，即$(x-4)^2=16-m$。
已知该方程可写成$(x-n)^2=6$的形式，因此对应可得$16-m=6$，解得$m=10$。
2. 解方程$x^2+8x+m=6$：
将$m=10$代入方程，得$x^2+8x+10=6$，
移项整理得$x^2+8x=-4$，
配方，在等式两边同时加上$(\frac{8}{2})^2=16$，
得$x^2+8x+16=-4+16$，即$(x+4)^2=12$，
开平方得$x+4=\pm2\sqrt{3}$，
解得$x_1=-4+2\sqrt{3}$，$x_2=-4-2\sqrt{3}$。
【答案】
$x_1=-4+2\sqrt{3},x_2=-4-2\sqrt{3}$
【知识点】
配方法解一元二次方程；代数式配方
【点评】
本题重点考查配方法的应用，解题关键是先通过已知方程求出参数m，再对目标方程配方求解，熟练掌握“加一次项系数一半的平方”这一配方步骤是解题的核心。
【难度系数】
0.7
13. 用配方法解下列方程：
(1)$x^2 + 3 = 2\sqrt{3}x$；
(2)$3(x-1)(x+2)=x-7$；
(3)$(1+x)^2 + 2(1+x) -4=0$。
(1)$x^2 + 3 = 2\sqrt{3}x$；
(2)$3(x-1)(x+2)=x-7$；
(3)$(1+x)^2 + 2(1+x) -4=0$。
答案
13.解:(1)移项,得 $x^2 -2\sqrt{3}x=-3$. 配方,得 $x^2 -2\sqrt{3}x+(\sqrt{3})^2=-3+(\sqrt{3})^2,(x-\sqrt{3})^2=0$. 由此可得 $x_1=x_2=\sqrt{3}$.
(2)去括号,合并同类项,得 $3x^2 +2x=-1$. 二次项系数化为1,得 $x^2 +\frac{2}{3}x=-\frac{1}{3}$. 配方,得 $x^2 +\frac{2}{3}x+(\frac{1}{3})^2=-\frac{1}{3}+(\frac{1}{3})^2,(x+\frac{1}{3})^2=-\frac{2}{9}$. 即原方程无实数根.
(3)方法1:去括号,合并同类项,移项,得 $x^2 +4x=1$. 配方,得 $x^2 +4x+2^2=1+2^2,(x+2)^2=5$. 由此可得 $x+2=\pm\sqrt{5}$. 即 $x_1=-2+\sqrt{5},x_2=-2-\sqrt{5}$. 方法2:将$1+x$看作一个整体,移项,配方,得$(1+x)^2 +2(1+x)+1=4+1,(1+x+1)^2=5$. 由此可得 $x+2=\pm\sqrt{5}$. 即 $x_1=-2+\sqrt{5},x_2=-2-\sqrt{5}$.
(2)去括号,合并同类项,得 $3x^2 +2x=-1$. 二次项系数化为1,得 $x^2 +\frac{2}{3}x=-\frac{1}{3}$. 配方,得 $x^2 +\frac{2}{3}x+(\frac{1}{3})^2=-\frac{1}{3}+(\frac{1}{3})^2,(x+\frac{1}{3})^2=-\frac{2}{9}$. 即原方程无实数根.
(3)方法1:去括号,合并同类项,移项,得 $x^2 +4x=1$. 配方,得 $x^2 +4x+2^2=1+2^2,(x+2)^2=5$. 由此可得 $x+2=\pm\sqrt{5}$. 即 $x_1=-2+\sqrt{5},x_2=-2-\sqrt{5}$. 方法2:将$1+x$看作一个整体,移项,配方,得$(1+x)^2 +2(1+x)+1=4+1,(1+x+1)^2=5$. 由此可得 $x+2=\pm\sqrt{5}$. 即 $x_1=-2+\sqrt{5},x_2=-2-\sqrt{5}$.
解析
【分析】
配方法解一元二次方程的核心思路是将方程变形为左边是完全平方式、右边是常数的形式，再通过直接开平方求解，通用步骤为：①将方程整理为二次项系数为1的形式，②移项使常数项在方程右侧，③方程左右两边同时加上一次项系数一半的平方，将左侧凑成完全平方式，④根据右侧常数的符号判断根的情况，若右侧非负则开平方求解。针对3个小题：(1)先移项把含x的项放左侧，常数项放右侧，直接配方即可；(2)先去括号、合并同类项整理为一元二次方程一般形式，再将二次项系数化为1后配方；(3)既可以先展开整理为一般形式再配方，也可以将(1+x)看作整体，直接对整体配方简化计算。
【解析】
(1) 移项，得 $x^2 -2\sqrt{3}x=-3$。
配方，得 $x^2 -2\sqrt{3}x+(\sqrt{3})^2=-3+(\sqrt{3})^2$，即 $(x-\sqrt{3})^2=0$。
由此可得 $x_1=x_2=\sqrt{3}$。
(2) 去括号，合并同类项，得 $3x^2 +2x=-1$。
二次项系数化为1，得 $x^2 +\frac{2}{3}x=-\frac{1}{3}$。
配方，得 $x^2 +\frac{2}{3}x+(\frac{1}{3})^2=-\frac{1}{3}+(\frac{1}{3})^2$，即 $(x+\frac{1}{3})^2=-\frac{2}{9}$。
实数范围内平方数非负，因此原方程无实数根。
(3) 方法1：去括号，合并同类项，移项，得 $x^2 +4x=1$。
配方，得 $x^2 +4x+2^2=1+2^2$，即 $(x+2)^2=5$。
开平方得 $x+2=\pm\sqrt{5}$，即 $x_1=-2+\sqrt{5},x_2=-2-\sqrt{5}$。
方法2：将$1+x$看作一个整体，移项，配方，得$(1+x)^2 +2(1+x)+1=4+1$，即$(x+2)^2=5$。
开平方得 $x+2=\pm\sqrt{5}$，即 $x_1=-2+\sqrt{5},x_2=-2-\sqrt{5}$。
【答案】
(1) $x_1=x_2=\sqrt{3}$；
(2) 无实数根；
(3) $x_1=-2+\sqrt{5},x_2=-2-\sqrt{5}$。
【知识点】
配方法解方程，完全平方公式，整体思想
【点评】
本题考查配方法解一元二次方程的应用，需熟练掌握配方法的标准步骤，尤其注意二次项系数不为1时要先将系数化为1再配方；第三题运用整体思想可以简化运算，同时要牢记只有配方后右侧常数非负时，方程才有实数根。
【难度系数】
0.75
配方法解一元二次方程的核心思路是将方程变形为左边是完全平方式、右边是常数的形式，再通过直接开平方求解，通用步骤为：①将方程整理为二次项系数为1的形式，②移项使常数项在方程右侧，③方程左右两边同时加上一次项系数一半的平方，将左侧凑成完全平方式，④根据右侧常数的符号判断根的情况，若右侧非负则开平方求解。针对3个小题：(1)先移项把含x的项放左侧，常数项放右侧，直接配方即可；(2)先去括号、合并同类项整理为一元二次方程一般形式，再将二次项系数化为1后配方；(3)既可以先展开整理为一般形式再配方，也可以将(1+x)看作整体，直接对整体配方简化计算。
【解析】
(1) 移项，得 $x^2 -2\sqrt{3}x=-3$。
配方，得 $x^2 -2\sqrt{3}x+(\sqrt{3})^2=-3+(\sqrt{3})^2$，即 $(x-\sqrt{3})^2=0$。
由此可得 $x_1=x_2=\sqrt{3}$。
(2) 去括号，合并同类项，得 $3x^2 +2x=-1$。
二次项系数化为1，得 $x^2 +\frac{2}{3}x=-\frac{1}{3}$。
配方，得 $x^2 +\frac{2}{3}x+(\frac{1}{3})^2=-\frac{1}{3}+(\frac{1}{3})^2$，即 $(x+\frac{1}{3})^2=-\frac{2}{9}$。
实数范围内平方数非负，因此原方程无实数根。
(3) 方法1：去括号，合并同类项，移项，得 $x^2 +4x=1$。
配方，得 $x^2 +4x+2^2=1+2^2$，即 $(x+2)^2=5$。
开平方得 $x+2=\pm\sqrt{5}$，即 $x_1=-2+\sqrt{5},x_2=-2-\sqrt{5}$。
方法2：将$1+x$看作一个整体，移项，配方，得$(1+x)^2 +2(1+x)+1=4+1$，即$(x+2)^2=5$。
开平方得 $x+2=\pm\sqrt{5}$，即 $x_1=-2+\sqrt{5},x_2=-2-\sqrt{5}$。
【答案】
(1) $x_1=x_2=\sqrt{3}$；
(2) 无实数根；
(3) $x_1=-2+\sqrt{5},x_2=-2-\sqrt{5}$。
【知识点】
配方法解方程，完全平方公式，整体思想
【点评】
本题考查配方法解一元二次方程的应用，需熟练掌握配方法的标准步骤，尤其注意二次项系数不为1时要先将系数化为1再配方；第三题运用整体思想可以简化运算，同时要牢记只有配方后右侧常数非负时，方程才有实数根。
【难度系数】
0.75
14.阅读下列材料：
“$a^2 ≥ 0$”这个结论在数学中非常有用，有时我们需要将代数式配成完全平方式，然后利用“$a^2 ≥ 0$”来解决问题.例如：
$x^2 + 4x +5 = x^2 +4x +4 +1 = (x+2)^2 +1$.
$\because (x+2)^2 ≥0$,
$\therefore (x+2)^2 +1 ≥1$,即$x^2 +4x +5 ≥1$.
试运用上述材料解决下列问题：
(1)填空：$x^2 -4x +5 = (x$ $\_\_\_\_\_\_)^2 + \_\_\_\_\_\_$；
(2)请用作差法比较代数式$x^2 -1$与$2x -3$的大小；
(3)求$x^2 -4x + y^2 +2y +7$的最小值.
“$a^2 ≥ 0$”这个结论在数学中非常有用，有时我们需要将代数式配成完全平方式，然后利用“$a^2 ≥ 0$”来解决问题.例如：
$x^2 + 4x +5 = x^2 +4x +4 +1 = (x+2)^2 +1$.
$\because (x+2)^2 ≥0$,
$\therefore (x+2)^2 +1 ≥1$,即$x^2 +4x +5 ≥1$.
试运用上述材料解决下列问题：
(1)填空：$x^2 -4x +5 = (x$ $\_\_\_\_\_\_)^2 + \_\_\_\_\_\_$；
(2)请用作差法比较代数式$x^2 -1$与$2x -3$的大小；
(3)求$x^2 -4x + y^2 +2y +7$的最小值.
答案
14.解:(1)-2 1
(2)$\because x^2 -1-(2x-3)=x^2 -2x+2=x^2 -2x+1+1=(x-1)^2 +1≥1＞0,\therefore x^2 -1＞2x-3$.
(3)$\because x^2 -4x+y^2 +2y+7=x^2 -4x+4+y^2 +2y+1+2=(x-2)^2+(y+1)^2 +2≥2,\therefore x^2 -4x+y^2 +2y+7$的最小值是2.
(2)$\because x^2 -1-(2x-3)=x^2 -2x+2=x^2 -2x+1+1=(x-1)^2 +1≥1＞0,\therefore x^2 -1＞2x-3$.
(3)$\because x^2 -4x+y^2 +2y+7=x^2 -4x+4+y^2 +2y+1+2=(x-2)^2+(y+1)^2 +2≥2,\therefore x^2 -4x+y^2 +2y+7$的最小值是2.
解析
【分析】
(1) 本题考查基础配方操作，对于二次项系数为1的二次式，配方时需加上一次项系数一半的平方凑完全平方式。本题中x²-4x的一次项系数是-4，取一半得-2，平方为4，因此将常数项5拆为4+1即可完成配方。
(2) 作差法比较大小的核心是判断两式差的正负：先计算两个代数式的差，再对差配方，利用a²≥0的性质判断差的正负，差为正则被减式更大，差为负则减式更大。
(3) 求多变量代数式的最小值，需分别对含x、y的二次式配方，将原式转化为多个完全平方式加常数的形式，结合平方的非负性，完全平方式的最小值为0，即可求出整个代数式的最小值。
【解析】
(1) 对$x^2 -4x +5$配方：
$x^2 -4x +5 = x^2 -4x +4 +1 = (x-2)^2 +1$，因此两个空依次填$-2$、$1$。
(2) 计算两式的差并配方判断正负：
$x^2 -1-(2x-3)=x^2 -2x+2=x^2 -2x+1+1=(x-1)^2 +1$
$\because (x-1)^2 ≥0$，$\therefore (x-1)^2 +1≥1＞0$
两式的差大于0，因此$x^2 -1＞2x-3$。
(3) 分别对含x、y的项配方：
$x^2 -4x + y^2 +2y +7=(x^2 -4x+4)+(y^2 +2y+1)+2=(x-2)^2+(y+1)^2 +2$
$\because (x-2)^2≥0$，$(y+1)^2≥0$
$\therefore (x-2)^2+(y+1)^2 +2≥0+0+2=2$，当$x=2、y=-1$时取等号。
【答案】
(1) $-2$，$1$
(2) $x^2 -1＞2x-3$
(3) $2$
【知识点】
配方法的应用；作差法比较大小；平方的非负性
【点评】
本题是配方法应用的典型题，覆盖配方操作、代数式大小比较、最值求解三类常见题型，解题核心是熟练掌握完全平方公式的结构，能准确拆分常数项完成凑配，结合平方非负的性质即可快速求解。
【难度系数】
0.75
(1) 本题考查基础配方操作，对于二次项系数为1的二次式，配方时需加上一次项系数一半的平方凑完全平方式。本题中x²-4x的一次项系数是-4，取一半得-2，平方为4，因此将常数项5拆为4+1即可完成配方。
(2) 作差法比较大小的核心是判断两式差的正负：先计算两个代数式的差，再对差配方，利用a²≥0的性质判断差的正负，差为正则被减式更大，差为负则减式更大。
(3) 求多变量代数式的最小值，需分别对含x、y的二次式配方，将原式转化为多个完全平方式加常数的形式，结合平方的非负性，完全平方式的最小值为0，即可求出整个代数式的最小值。
【解析】
(1) 对$x^2 -4x +5$配方：
$x^2 -4x +5 = x^2 -4x +4 +1 = (x-2)^2 +1$，因此两个空依次填$-2$、$1$。
(2) 计算两式的差并配方判断正负：
$x^2 -1-(2x-3)=x^2 -2x+2=x^2 -2x+1+1=(x-1)^2 +1$
$\because (x-1)^2 ≥0$，$\therefore (x-1)^2 +1≥1＞0$
两式的差大于0，因此$x^2 -1＞2x-3$。
(3) 分别对含x、y的项配方：
$x^2 -4x + y^2 +2y +7=(x^2 -4x+4)+(y^2 +2y+1)+2=(x-2)^2+(y+1)^2 +2$
$\because (x-2)^2≥0$，$(y+1)^2≥0$
$\therefore (x-2)^2+(y+1)^2 +2≥0+0+2=2$，当$x=2、y=-1$时取等号。
【答案】
(1) $-2$，$1$
(2) $x^2 -1＞2x-3$
(3) $2$
【知识点】
配方法的应用；作差法比较大小；平方的非负性
【点评】
本题是配方法应用的典型题，覆盖配方操作、代数式大小比较、最值求解三类常见题型，解题核心是熟练掌握完全平方公式的结构，能准确拆分常数项完成凑配，结合平方非负的性质即可快速求解。
【难度系数】
0.75
