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2 下列关于二次函数$y=(x-2)^2 -3$的说法正确的是 （
A.图象是一条开口向下的抛物线
B.图象与$x$轴没有交点
C.当$x＜2$时，$y$随$x$的增大而增大
D.图象的顶点坐标是$(2,-3)$
D
）A.图象是一条开口向下的抛物线
B.图象与$x$轴没有交点
C.当$x＜2$时，$y$随$x$的增大而增大
D.图象的顶点坐标是$(2,-3)$
答案
2. D
3 已知点$A(x_1,y_1),B(x_2,y_2)$在抛物线$y=x^2-3$上,且$0＜x_1＜x_2$,则$y_1$
＜
$y_2$（填“＞”“＜”或“=”）.答案
3. ＜
4 [2025 山东]已知二次函数 $y=x(x-a)+(x-a)(x-b)+x(x-b)$，其中 $a,b$ 为两个不相等的实数.
（1）当 $a=0,b=3$ 时，求此函数图象的对称轴.
（2）当 $b=2a$ 时，若当 $0≤ x≤1$ 时，$y$ 随 $x$ 的增大而减小；当 $3≤ x≤4$ 时，$y$ 随 $x$ 的增大而增大.求 $a$ 的取值范围.
（1）当 $a=0,b=3$ 时，求此函数图象的对称轴.
（2）当 $b=2a$ 时，若当 $0≤ x≤1$ 时，$y$ 随 $x$ 的增大而减小；当 $3≤ x≤4$ 时，$y$ 随 $x$ 的增大而增大.求 $a$ 的取值范围.
答案
4. （1）当 $a=0,b=3$ 时，二次函数 $y=x(x-a)+(x-a)(x-b)+x(x-b)=x(x-0)+(x-0)(x-3)+x(x-3)=3x^2-6x$，
∴ 此函数图象的对称轴为直线 $x=-\frac{-6}{2×3}=1$
（2）当 $b=2a$ 时，二次函数 $y=x(x-a)+(x-a)(x-b)+x(x-b)=x(x-a)+(x-a)(x-2a)+x(x-2a)=3x^2-6ax+2a^2$，
∴ 此函数图象的对称轴为直线 $x=-\frac{-6a}{2×3}=a$. $\because 3＞0,\therefore$ 图象开口向上. $\because$ 当 $0≤ x≤1$ 时，$y$ 随 $x$ 的增大而减小，$\therefore a≥1$. $\because$ 当 $3≤ x≤4$ 时，$y$ 随 $x$ 的增大而增大，$\therefore a≤3$. $\therefore 1≤ a≤3$
∴ 此函数图象的对称轴为直线 $x=-\frac{-6}{2×3}=1$
（2）当 $b=2a$ 时，二次函数 $y=x(x-a)+(x-a)(x-b)+x(x-b)=x(x-a)+(x-a)(x-2a)+x(x-2a)=3x^2-6ax+2a^2$，
∴ 此函数图象的对称轴为直线 $x=-\frac{-6a}{2×3}=a$. $\because 3＞0,\therefore$ 图象开口向上. $\because$ 当 $0≤ x≤1$ 时，$y$ 随 $x$ 的增大而减小，$\therefore a≥1$. $\because$ 当 $3≤ x≤4$ 时，$y$ 随 $x$ 的增大而增大，$\therefore a≤3$. $\therefore 1≤ a≤3$
5 已知一条抛物线的形状、开口方向均与抛物线$y=-2x^2+9x$相同，且它的顶点坐标为$(-1,6)$，则这条抛物线对应的函数解析式为
$y=-2(x+1)^2+6$
。答案
5. $y=-2(x+1)^2+6$
6 [2025 福建]在平面直角坐标系中，二次函数$y=ax^2+bx-2$的图象过点$A(1,t),B(2,t)$.
（1）求$\dfrac{b}{a}$的值.
（2）已知二次函数$y=ax^2+bx-2$的最大值为$1-\dfrac{3}{4}a^2$.
① 求该二次函数的解析式；
② 若$M(x_1,m),N(x_2,m)$为该二次函数图象上的不同两点，且$m≠0$，求证：$\dfrac{(x_1-1)^2}{m}=\dfrac{x_2-2}{x_1-2}$.
（1）求$\dfrac{b}{a}$的值.
（2）已知二次函数$y=ax^2+bx-2$的最大值为$1-\dfrac{3}{4}a^2$.
① 求该二次函数的解析式；
② 若$M(x_1,m),N(x_2,m)$为该二次函数图象上的不同两点，且$m≠0$，求证：$\dfrac{(x_1-1)^2}{m}=\dfrac{x_2-2}{x_1-2}$.
答案
6. （1）$\because$ 二次函数 $y=ax^2+bx-2$ 的图象的对称轴为直线 $x=-\frac{b}{2a}$，点 $A(1,t),B(2,t)$ 在该函数的图象上，$\therefore 2-(-\frac{b}{2a})=-\frac{b}{2a}-1$. $\therefore -\frac{b}{2a}=\frac{3}{2}$. $\therefore \frac{b}{a}=-3$
（2）① 由(1)，易得 $b=-3a$，$\therefore$ 该函数的解析式为 $y=ax^2-3ax-2$. $\therefore$ 函数图象的顶点坐标为 $(\frac{3}{2},-\frac{9}{4}a-2)$. $\because$ 函数的最大值为 $1-\frac{3}{4}a^2$，$\therefore a＜0$，且 $-\frac{9}{4}a-2=1-\frac{3}{4}a^2$，解得 $a=-1$ 或 $a=4$(舍去). $\therefore$ 该二次函数的解析式为 $y=-x^2+3x-2$
② $\because$ 点 $M(x_1,m)$ 在函数 $y=-x^2+3x-2$ 的图象上，$\therefore m=-x_1^2+3x_1-2$. 由①知，点 $M(x_1,m),N(x_2,m)$ 关于直线 $x=\frac{3}{2}$ 对称，不妨设 $x_1＜x_2$，则 $x_2-\frac{3}{2}=\frac{3}{2}-x_1$，即 $x_1+x_2=3$，
$\therefore \frac{(x_1-1)^2}{m}-\frac{x_2-2}{x_1-2}=\frac{(x_1-1)^2(x_1-2)-m(x_2-2)}{m(x_1-2)}=\frac{(x_1-1)(x_1-2)(x_1-1)-m(x_2-2)}{m(x_1-2)}=\frac{(x_1^2-3x_1+2)(x_1-1)-m(x_2-2)}{m(x_1-2)}=\frac{-m(x_1-1)-m(x_2-2)}{m(x_1-2)}=\frac{-m(x_1+x_2-3)}{m(x_1-2)}=0$.
$\therefore \frac{(x_1-1)^2}{m}=\frac{x_2-2}{x_1-2}$
（2）① 由(1)，易得 $b=-3a$，$\therefore$ 该函数的解析式为 $y=ax^2-3ax-2$. $\therefore$ 函数图象的顶点坐标为 $(\frac{3}{2},-\frac{9}{4}a-2)$. $\because$ 函数的最大值为 $1-\frac{3}{4}a^2$，$\therefore a＜0$，且 $-\frac{9}{4}a-2=1-\frac{3}{4}a^2$，解得 $a=-1$ 或 $a=4$(舍去). $\therefore$ 该二次函数的解析式为 $y=-x^2+3x-2$
② $\because$ 点 $M(x_1,m)$ 在函数 $y=-x^2+3x-2$ 的图象上，$\therefore m=-x_1^2+3x_1-2$. 由①知，点 $M(x_1,m),N(x_2,m)$ 关于直线 $x=\frac{3}{2}$ 对称，不妨设 $x_1＜x_2$，则 $x_2-\frac{3}{2}=\frac{3}{2}-x_1$，即 $x_1+x_2=3$，
$\therefore \frac{(x_1-1)^2}{m}-\frac{x_2-2}{x_1-2}=\frac{(x_1-1)^2(x_1-2)-m(x_2-2)}{m(x_1-2)}=\frac{(x_1-1)(x_1-2)(x_1-1)-m(x_2-2)}{m(x_1-2)}=\frac{(x_1^2-3x_1+2)(x_1-1)-m(x_2-2)}{m(x_1-2)}=\frac{-m(x_1-1)-m(x_2-2)}{m(x_1-2)}=\frac{-m(x_1+x_2-3)}{m(x_1-2)}=0$.
$\therefore \frac{(x_1-1)^2}{m}=\frac{x_2-2}{x_1-2}$
7 若关于$x$的二次函数$y=\frac{1}{4}mx^2+(m+1)x+m+1$的图象与$x$轴有两个公共点，则满足条件的$m$的值可以是下列四个数中的（
A.$-1$
B.$0$
C.$1$
D.$-2$
C
）A.$-1$
B.$0$
C.$1$
D.$-2$
答案
7. C
8 如果二次函数 $ y = ax^2 + bx + 3 $ 的图象经过点 $ A(-1,0), B(3,0) $，那么一元二次方程 $ ax^2 + bx = 0 $ 的根为
$x_1=0,x_2=2$
。答案
8. $x_1=0,x_2=2$
9 某水果店销售一批水果，平均每天可售出40千克，每千克盈利4元。经调查发现，每千克每降价0.5元，该水果店平均每天可多售出10千克，则该水果店销售这批水果平均每天的最高利润为
180
元。答案
9. 180
10 [2024潍坊]某商场为了减少夏季降温和冬季供暖的能源消耗，计划在商场的屋顶和外墙建造隔热层，其建造成本$P$(万元)与隔热层厚度$x$(cm)满足函数解析式$P=10x$.预计该商场每年的能源消耗费用$T$(万元)与隔热层厚度$x$(cm)满足函数解析式$T=21-\frac{(x+2)(x+4)}{8}$,其中$0≤ x≤9$.设该商场的隔热层建造费用与未来8年能源消耗费用之和为$y$万元.
(1)若$y=148$,求该商场建造的隔热层厚度；
(2)已知该商场未来8年的相关规划费用为$t$万元,且$t=y+x^2$,当$172≤ t≤192$时,求$x$的取值范围.
(1)若$y=148$,求该商场建造的隔热层厚度；
(2)已知该商场未来8年的相关规划费用为$t$万元,且$t=y+x^2$,当$172≤ t≤192$时,求$x$的取值范围.
答案
10. （1）由题意，得 $y = P + 8T = 10x + 8 × [21 - \frac{(x+2)(x+4)}{8}] = -x^2 + 4x + 160$. 当 $y=148$ 时，$-x^2 + 4x + 160=148$，解得 $x_1=6,x_2=-2$. $\because 0≤ x≤9,\therefore x_2=-2$ 不符合题意，舍去. $\therefore$ 该商场建造的隔热层厚度为 6 cm
（2）由(1)，得 $y=-x^2+4x+160$. $\because t = y + x^2,\therefore t = -x^2 + 4x + 160 + x^2=4x+160(172≤ t≤192)$. $\because 4＞0,\therefore t$ 随 $x$ 的增大而增大. 当 $t=172$ 时，$4x+160=172$，解得 $x=3$；当 $t=192$ 时，$4x+160=192$，解得 $x=8$. $\therefore x$ 的取值范围是 $3≤ x≤8$
（2）由(1)，得 $y=-x^2+4x+160$. $\because t = y + x^2,\therefore t = -x^2 + 4x + 160 + x^2=4x+160(172≤ t≤192)$. $\because 4＞0,\therefore t$ 随 $x$ 的增大而增大. 当 $t=172$ 时，$4x+160=172$，解得 $x=3$；当 $t=192$ 时，$4x+160=192$，解得 $x=8$. $\therefore x$ 的取值范围是 $3≤ x≤8$
