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2 下列关于二次函数$y=(x-2)^2 -3$的说法正确的是 （
A.图象是一条开口向下的抛物线
B.图象与$x$轴没有交点
C.当$x＜2$时，$y$随$x$的增大而增大
D.图象的顶点坐标是$(2,-3)$
D
）A.图象是一条开口向下的抛物线
B.图象与$x$轴没有交点
C.当$x＜2$时，$y$随$x$的增大而增大
D.图象的顶点坐标是$(2,-3)$
答案
2. D
解析
【分析】
本题考查二次函数顶点式的相关性质，解题时先明确二次函数顶点式$y=a(x-h)^2+k$（$a≠0$）的各参数意义：$a$决定开口方向，顶点坐标为$(h,k)$，对称轴为直线$x=h$，再结合函数性质逐一判断选项即可。
【解析】
已知二次函数为$y=(x-2)^2 -3$，其中$a=1$，$h=2$，$k=-3$。
选项A：$a=1＞0$，抛物线开口向上，故A错误；
选项B：令$y=0$，可得$(x-2)^2 -3=0$，整理得$(x-2)^2=3$，解得$x=2±\sqrt{3}$，即图象与x轴有两个交点，故B错误；
选项C：抛物线对称轴为直线$x=2$，且开口向上，因此当$x＜2$时，$y$随$x$的增大而减小，故C错误；
选项D：根据顶点式性质，该函数图象的顶点坐标为$(h,k)=(2,-3)$，故D正确。
【答案】
D
【知识点】
二次函数顶点式；二次函数图象性质；抛物线与x轴交点
【点评】
本题属于基础类题目，核心考查对二次函数顶点式性质的掌握，熟练记忆顶点式中参数对应的开口方向、顶点坐标、增减性等性质，即可快速判断选项。
【难度系数】
0.8
本题考查二次函数顶点式的相关性质，解题时先明确二次函数顶点式$y=a(x-h)^2+k$（$a≠0$）的各参数意义：$a$决定开口方向，顶点坐标为$(h,k)$，对称轴为直线$x=h$，再结合函数性质逐一判断选项即可。
【解析】
已知二次函数为$y=(x-2)^2 -3$，其中$a=1$，$h=2$，$k=-3$。
选项A：$a=1＞0$，抛物线开口向上，故A错误；
选项B：令$y=0$，可得$(x-2)^2 -3=0$，整理得$(x-2)^2=3$，解得$x=2±\sqrt{3}$，即图象与x轴有两个交点，故B错误；
选项C：抛物线对称轴为直线$x=2$，且开口向上，因此当$x＜2$时，$y$随$x$的增大而减小，故C错误；
选项D：根据顶点式性质，该函数图象的顶点坐标为$(h,k)=(2,-3)$，故D正确。
【答案】
D
【知识点】
二次函数顶点式；二次函数图象性质；抛物线与x轴交点
【点评】
本题属于基础类题目，核心考查对二次函数顶点式性质的掌握，熟练记忆顶点式中参数对应的开口方向、顶点坐标、增减性等性质，即可快速判断选项。
【难度系数】
0.8
3 已知点$A(x_1,y_1),B(x_2,y_2)$在抛物线$y=x^2-3$上,且$0＜x_1＜x_2$,则$y_1$
＜
$y_2$（填“＞”“＜”或“=”）.答案
3. ＜
解析
【分析】
要比较抛物线上两点的纵坐标大小，需先明确抛物线的增减性：首先根据抛物线解析式确定开口方向、对称轴，再判断两点横坐标所在区间对应的函数增减规律，最后结合$x_1$、$x_2$的大小关系得出$y_1$、$y_2$的大小。
【解析】
对于抛物线$y=x^2-3$，二次项系数$a=1＞0$，因此抛物线开口向上，对称轴为直线$x=0$（即$y$轴）。
根据二次函数的增减性：开口向上的抛物线，在对称轴右侧（$x＞0$时），$y$随$x$的增大而增大。
已知$0＜x_1＜x_2$，即点A、B都在对称轴右侧，且$x_1＜x_2$，因此可得$y_1＜y_2$。
【答案】
＜
【知识点】
二次函数的增减性；抛物线的性质；二次函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题考查二次函数增减性的应用，解题的关键是先确定抛物线的开口方向与对称轴，再根据横坐标的取值范围判断对应函数值的大小，属于基础性质考查题。
【难度系数】
0.9
要比较抛物线上两点的纵坐标大小，需先明确抛物线的增减性：首先根据抛物线解析式确定开口方向、对称轴，再判断两点横坐标所在区间对应的函数增减规律，最后结合$x_1$、$x_2$的大小关系得出$y_1$、$y_2$的大小。
【解析】
对于抛物线$y=x^2-3$，二次项系数$a=1＞0$，因此抛物线开口向上，对称轴为直线$x=0$（即$y$轴）。
根据二次函数的增减性：开口向上的抛物线，在对称轴右侧（$x＞0$时），$y$随$x$的增大而增大。
已知$0＜x_1＜x_2$，即点A、B都在对称轴右侧，且$x_1＜x_2$，因此可得$y_1＜y_2$。
【答案】
＜
【知识点】
二次函数的增减性；抛物线的性质；二次函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题考查二次函数增减性的应用，解题的关键是先确定抛物线的开口方向与对称轴，再根据横坐标的取值范围判断对应函数值的大小，属于基础性质考查题。
【难度系数】
0.9
4 [2025 山东]已知二次函数 $y=x(x-a)+(x-a)(x-b)+x(x-b)$，其中 $a,b$ 为两个不相等的实数.
（1）当 $a=0,b=3$ 时，求此函数图象的对称轴.
（2）当 $b=2a$ 时，若当 $0≤ x≤1$ 时，$y$ 随 $x$ 的增大而减小；当 $3≤ x≤4$ 时，$y$ 随 $x$ 的增大而增大.求 $a$ 的取值范围.
（1）当 $a=0,b=3$ 时，求此函数图象的对称轴.
（2）当 $b=2a$ 时，若当 $0≤ x≤1$ 时，$y$ 随 $x$ 的增大而减小；当 $3≤ x≤4$ 时，$y$ 随 $x$ 的增大而增大.求 $a$ 的取值范围.
答案
4. （1）当 $a=0,b=3$ 时，二次函数 $y=x(x-a)+(x-a)(x-b)+x(x-b)=x(x-0)+(x-0)(x-3)+x(x-3)=3x^2-6x$，
∴ 此函数图象的对称轴为直线 $x=-\frac{-6}{2×3}=1$
（2）当 $b=2a$ 时，二次函数 $y=x(x-a)+(x-a)(x-b)+x(x-b)=x(x-a)+(x-a)(x-2a)+x(x-2a)=3x^2-6ax+2a^2$，
∴ 此函数图象的对称轴为直线 $x=-\frac{-6a}{2×3}=a$. $\because 3＞0,\therefore$ 图象开口向上. $\because$ 当 $0≤ x≤1$ 时，$y$ 随 $x$ 的增大而减小，$\therefore a≥1$. $\because$ 当 $3≤ x≤4$ 时，$y$ 随 $x$ 的增大而增大，$\therefore a≤3$. $\therefore 1≤ a≤3$
∴ 此函数图象的对称轴为直线 $x=-\frac{-6}{2×3}=1$
（2）当 $b=2a$ 时，二次函数 $y=x(x-a)+(x-a)(x-b)+x(x-b)=x(x-a)+(x-a)(x-2a)+x(x-2a)=3x^2-6ax+2a^2$，
∴ 此函数图象的对称轴为直线 $x=-\frac{-6a}{2×3}=a$. $\because 3＞0,\therefore$ 图象开口向上. $\because$ 当 $0≤ x≤1$ 时，$y$ 随 $x$ 的增大而减小，$\therefore a≥1$. $\because$ 当 $3≤ x≤4$ 时，$y$ 随 $x$ 的增大而增大，$\therefore a≤3$. $\therefore 1≤ a≤3$
解析
【分析】
（1）第一问求函数对称轴，需先将$a=0$、$b=3$代入原解析式，展开合并同类项得到二次函数的一般式，再代入对称轴公式$x=-\frac{B}{2A}$（其中$y=Ax^2+Bx+C,A≠0$）计算即可。
（2）第二问先把$b=2a$代入原函数，化简为一般式后求出对称轴。由于二次项系数为正，抛物线开口向上，此时对称轴左侧y随x增大而减小，右侧y随x增大而增大。结合题中增减区间的要求：$0≤x≤1$时y递减，说明该区间在对称轴左侧，即对称轴≥1；$3≤x≤4$时y递增，说明该区间在对称轴右侧，即对称轴≤3，联立两个不等式即可求出a的取值范围。
【解析】
（1）当$a=0,b=3$时，代入函数解析式得：
$\begin{aligned}y&=x(x-0)+(x-0)(x-3)+x(x-3)\\&=x^2 + x^2-3x + x^2-3x\\&=3x^2-6x\end{aligned}$
根据二次函数对称轴公式，对称轴为直线$x=-\frac{-6}{2×3}=1$。
（2）当$b=2a$时，代入函数解析式得：
$\begin{aligned}y&=x(x-a)+(x-a)(x-2a)+x(x-2a)\\&=x^2-ax + x^2-3ax+2a^2 + x^2-2ax\\&=3x^2-6ax+2a^2\end{aligned}$
∴函数图象的对称轴为直线$x=-\frac{-6a}{2×3}=a$。
∵二次项系数$3＞0$，
∴抛物线开口向上，在对称轴左侧y随x增大而减小，右侧y随x增大而增大。
∵当$0≤x≤1$时，y随x的增大而减小，
∴$a≥1$；
∵当$3≤x≤4$时，y随x的增大而增大，
∴$a≤3$。
综上，$a$的取值范围是$1≤a≤3$。
【答案】
（1）直线$x=1$；（2）$1≤a≤3$
【知识点】
二次函数的化简、二次函数对称轴计算、二次函数的增减性
【点评】
本题是二次函数性质的常规应用题，解题关键是先将函数转化为一般式，结合开口方向明确对称轴与函数增减性的对应关系，再根据给定的增减区间列不等式求解，需重点掌握二次函数对称轴公式及增减性规律。
【难度系数】
0.7
（1）第一问求函数对称轴，需先将$a=0$、$b=3$代入原解析式，展开合并同类项得到二次函数的一般式，再代入对称轴公式$x=-\frac{B}{2A}$（其中$y=Ax^2+Bx+C,A≠0$）计算即可。
（2）第二问先把$b=2a$代入原函数，化简为一般式后求出对称轴。由于二次项系数为正，抛物线开口向上，此时对称轴左侧y随x增大而减小，右侧y随x增大而增大。结合题中增减区间的要求：$0≤x≤1$时y递减，说明该区间在对称轴左侧，即对称轴≥1；$3≤x≤4$时y递增，说明该区间在对称轴右侧，即对称轴≤3，联立两个不等式即可求出a的取值范围。
【解析】
（1）当$a=0,b=3$时，代入函数解析式得：
$\begin{aligned}y&=x(x-0)+(x-0)(x-3)+x(x-3)\\&=x^2 + x^2-3x + x^2-3x\\&=3x^2-6x\end{aligned}$
根据二次函数对称轴公式，对称轴为直线$x=-\frac{-6}{2×3}=1$。
（2）当$b=2a$时，代入函数解析式得：
$\begin{aligned}y&=x(x-a)+(x-a)(x-2a)+x(x-2a)\\&=x^2-ax + x^2-3ax+2a^2 + x^2-2ax\\&=3x^2-6ax+2a^2\end{aligned}$
∴函数图象的对称轴为直线$x=-\frac{-6a}{2×3}=a$。
∵二次项系数$3＞0$，
∴抛物线开口向上，在对称轴左侧y随x增大而减小，右侧y随x增大而增大。
∵当$0≤x≤1$时，y随x的增大而减小，
∴$a≥1$；
∵当$3≤x≤4$时，y随x的增大而增大，
∴$a≤3$。
综上，$a$的取值范围是$1≤a≤3$。
【答案】
（1）直线$x=1$；（2）$1≤a≤3$
【知识点】
二次函数的化简、二次函数对称轴计算、二次函数的增减性
【点评】
本题是二次函数性质的常规应用题，解题关键是先将函数转化为一般式，结合开口方向明确对称轴与函数增减性的对应关系，再根据给定的增减区间列不等式求解，需重点掌握二次函数对称轴公式及增减性规律。
【难度系数】
0.7
5 已知一条抛物线的形状、开口方向均与抛物线$y=-2x^2+9x$相同，且它的顶点坐标为$(-1,6)$，则这条抛物线对应的函数解析式为
$y=-2(x+1)^2+6$
。答案
5. $y=-2(x+1)^2+6$
解析
【分析】
拿到本题首先回忆二次函数的性质：二次项系数$a$决定抛物线的开口方向和形状大小，两条抛物线形状、开口方向完全相同时，二次项系数$a$相等，因此可先确定所求抛物线的$a$值为$-2$。已知抛物线的顶点坐标，选择顶点式求解解析式最简便，二次函数顶点式为$y=a(x-h)^2+k(a≠0)$，其中$(h,k)$为顶点坐标，将$a$、$h$、$k$的值代入即可得到结果。
【解析】
解：
∵ 所求抛物线的形状、开口方向与$y=-2x^2+9x$相同
∴ 所求抛物线的二次项系数$a=-2$
又
∵ 抛物线的顶点坐标为$(-1,6)$
∴ 设抛物线解析式为顶点式$y=a(x-h)^2+k(a≠0)$，其中$h=-1$，$k=6$
将$a=-2$、$h=-1$、$k=6$代入顶点式得：
$y=-2[x-(-1)]^2+6=-2(x+1)^2+6$
【答案】
$y=-2(x+1)^2+6$
【知识点】
1. 二次函数图象与系数的关系
2. 二次函数的顶点式
【点评】
本题是二次函数解析式求解的基础题型，解题关键是掌握二次项系数的几何意义，以及顶点式的适用场景，熟练掌握相关性质即可快速解题。
【难度系数】
0.8
拿到本题首先回忆二次函数的性质：二次项系数$a$决定抛物线的开口方向和形状大小，两条抛物线形状、开口方向完全相同时，二次项系数$a$相等，因此可先确定所求抛物线的$a$值为$-2$。已知抛物线的顶点坐标，选择顶点式求解解析式最简便，二次函数顶点式为$y=a(x-h)^2+k(a≠0)$，其中$(h,k)$为顶点坐标，将$a$、$h$、$k$的值代入即可得到结果。
【解析】
解：
∵ 所求抛物线的形状、开口方向与$y=-2x^2+9x$相同
∴ 所求抛物线的二次项系数$a=-2$
又
∵ 抛物线的顶点坐标为$(-1,6)$
∴ 设抛物线解析式为顶点式$y=a(x-h)^2+k(a≠0)$，其中$h=-1$，$k=6$
将$a=-2$、$h=-1$、$k=6$代入顶点式得：
$y=-2[x-(-1)]^2+6=-2(x+1)^2+6$
【答案】
$y=-2(x+1)^2+6$
【知识点】
1. 二次函数图象与系数的关系
2. 二次函数的顶点式
【点评】
本题是二次函数解析式求解的基础题型，解题关键是掌握二次项系数的几何意义，以及顶点式的适用场景，熟练掌握相关性质即可快速解题。
【难度系数】
0.8
6 [2025 福建]在平面直角坐标系中，二次函数$y=ax^2+bx-2$的图象过点$A(1,t),B(2,t)$.
（1）求$\dfrac{b}{a}$的值.
（2）已知二次函数$y=ax^2+bx-2$的最大值为$1-\dfrac{3}{4}a^2$.
① 求该二次函数的解析式；
② 若$M(x_1,m),N(x_2,m)$为该二次函数图象上的不同两点，且$m≠0$，求证：$\dfrac{(x_1-1)^2}{m}=\dfrac{x_2-2}{x_1-2}$.
（1）求$\dfrac{b}{a}$的值.
（2）已知二次函数$y=ax^2+bx-2$的最大值为$1-\dfrac{3}{4}a^2$.
① 求该二次函数的解析式；
② 若$M(x_1,m),N(x_2,m)$为该二次函数图象上的不同两点，且$m≠0$，求证：$\dfrac{(x_1-1)^2}{m}=\dfrac{x_2-2}{x_1-2}$.
答案
6. （1）$\because$ 二次函数 $y=ax^2+bx-2$ 的图象的对称轴为直线 $x=-\frac{b}{2a}$，点 $A(1,t),B(2,t)$ 在该函数的图象上，$\therefore 2-(-\frac{b}{2a})=-\frac{b}{2a}-1$. $\therefore -\frac{b}{2a}=\frac{3}{2}$. $\therefore \frac{b}{a}=-3$
（2）① 由(1)，易得 $b=-3a$，$\therefore$ 该函数的解析式为 $y=ax^2-3ax-2$. $\therefore$ 函数图象的顶点坐标为 $(\frac{3}{2},-\frac{9}{4}a-2)$. $\because$ 函数的最大值为 $1-\frac{3}{4}a^2$，$\therefore a＜0$，且 $-\frac{9}{4}a-2=1-\frac{3}{4}a^2$，解得 $a=-1$ 或 $a=4$(舍去). $\therefore$ 该二次函数的解析式为 $y=-x^2+3x-2$
② $\because$ 点 $M(x_1,m)$ 在函数 $y=-x^2+3x-2$ 的图象上，$\therefore m=-x_1^2+3x_1-2$. 由①知，点 $M(x_1,m),N(x_2,m)$ 关于直线 $x=\frac{3}{2}$ 对称，不妨设 $x_1＜x_2$，则 $x_2-\frac{3}{2}=\frac{3}{2}-x_1$，即 $x_1+x_2=3$，
$\therefore \frac{(x_1-1)^2}{m}-\frac{x_2-2}{x_1-2}=\frac{(x_1-1)^2(x_1-2)-m(x_2-2)}{m(x_1-2)}=\frac{(x_1-1)(x_1-2)(x_1-1)-m(x_2-2)}{m(x_1-2)}=\frac{(x_1^2-3x_1+2)(x_1-1)-m(x_2-2)}{m(x_1-2)}=\frac{-m(x_1-1)-m(x_2-2)}{m(x_1-2)}=\frac{-m(x_1+x_2-3)}{m(x_1-2)}=0$.
$\therefore \frac{(x_1-1)^2}{m}=\frac{x_2-2}{x_1-2}$
（2）① 由(1)，易得 $b=-3a$，$\therefore$ 该函数的解析式为 $y=ax^2-3ax-2$. $\therefore$ 函数图象的顶点坐标为 $(\frac{3}{2},-\frac{9}{4}a-2)$. $\because$ 函数的最大值为 $1-\frac{3}{4}a^2$，$\therefore a＜0$，且 $-\frac{9}{4}a-2=1-\frac{3}{4}a^2$，解得 $a=-1$ 或 $a=4$(舍去). $\therefore$ 该二次函数的解析式为 $y=-x^2+3x-2$
② $\because$ 点 $M(x_1,m)$ 在函数 $y=-x^2+3x-2$ 的图象上，$\therefore m=-x_1^2+3x_1-2$. 由①知，点 $M(x_1,m),N(x_2,m)$ 关于直线 $x=\frac{3}{2}$ 对称，不妨设 $x_1＜x_2$，则 $x_2-\frac{3}{2}=\frac{3}{2}-x_1$，即 $x_1+x_2=3$，
$\therefore \frac{(x_1-1)^2}{m}-\frac{x_2-2}{x_1-2}=\frac{(x_1-1)^2(x_1-2)-m(x_2-2)}{m(x_1-2)}=\frac{(x_1-1)(x_1-2)(x_1-1)-m(x_2-2)}{m(x_1-2)}=\frac{(x_1^2-3x_1+2)(x_1-1)-m(x_2-2)}{m(x_1-2)}=\frac{-m(x_1-1)-m(x_2-2)}{m(x_1-2)}=\frac{-m(x_1+x_2-3)}{m(x_1-2)}=0$.
$\therefore \frac{(x_1-1)^2}{m}=\frac{x_2-2}{x_1-2}$
解析
【分析】
（1）观察到点A(1,t)和B(2,t)纵坐标相等，说明这两点是二次函数图象上的对称点，因此对称轴为两点横坐标的中点，即$x=\frac{1+2}{2}=\frac{3}{2}$。结合二次函数对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}$，可建立a与b的等量关系，进而求出$\frac{b}{a}$的值。
（2）① 由（1）的结论可将b用含a的式子表示，代入二次函数解析式后，可求出函数顶点的纵坐标。因为函数存在最大值，说明开口向下即$a＜0$，且顶点纵坐标等于最大值，列方程求解a后舍去不符合条件的根，即可得到函数解析式。
② M、N两点纵坐标相同，说明两点关于二次函数的对称轴对称，因此可得两横坐标的和为对称轴的2倍，即$x_1+x_2=3$。再将m用含$x_1$的函数式表示，$x_2$用$3-x_1$代换，通过作差法证明等式两边的差为0，即可完成证明，注意$m≠0$可保证分母有意义。
【解析】
（1）$\because$ 二次函数 $y=ax^2+bx-2$ 的图象过点$A(1,t),B(2,t)$，两点纵坐标相同，
$\therefore$ 函数图象的对称轴为直线$x=\frac{1+2}{2}=\frac{3}{2}$，
又$\because$ 二次函数对称轴公式为$x=-\frac{b}{2a}$，
$\therefore -\frac{b}{2a}=\frac{3}{2}$，
$\therefore \frac{b}{a}=-3$。
（2）① 由(1)得$b=-3a$，代入二次函数解析式得$y=ax^2-3ax-2$，
将解析式化为顶点式：$y=a(x-\frac{3}{2})^2-\frac{9}{4}a-2$，
$\therefore$ 顶点坐标为$(\frac{3}{2},-\frac{9}{4}a-2)$，
$\because$ 函数有最大值$1-\frac{3}{4}a^2$，
$\therefore a＜0$，且顶点纵坐标等于最大值，即$-\frac{9}{4}a-2=1-\frac{3}{4}a^2$，
整理得$a^2-3a-4=0$，
解得$a=-1$或$a=4$（$a=4＞0$不符合开口向下的条件，舍去），
$\therefore$ 该二次函数的解析式为$y=-x^2+3x-2$。
② $\because M(x_1,m),N(x_2,m)$为该二次函数图象上的不同两点，纵坐标相同，
$\therefore$ 两点关于对称轴$x=\frac{3}{2}$对称，
$\therefore \frac{x_1+x_2}{2}=\frac{3}{2}$，即$x_1+x_2=3$，
又$\because$ 点$M(x_1,m)$在函数图象上，
$\therefore m=-x_1^2+3x_1-2$，
要证$\dfrac{(x_1-1)^2}{m}=\dfrac{x_2-2}{x_1-2}$，计算两式的差：
$\frac{(x_1-1)^2}{m}-\frac{x_2-2}{x_1-2}=\frac{(x_1-1)^2(x_1-2)-m(x_2-2)}{m(x_1-2)}$
将$m=-x_1^2+3x_1-2=-(x_1^2-3x_1+2)$，$x_2=3-x_1$代入分子：
$\begin{aligned}\mathrm{分子}&=(x_1^2-3x_1+2)(x_1-1)-m(x_2-2)\\&=-m(x_1-1)-m(3-x_1-2)\\&=-m(x_1-1+1-x_1)\\&=-m(x_1+x_2-3)\\&=0\end{aligned}$
因此$\frac{(x_1-1)^2}{m}-\frac{x_2-2}{x_1-2}=0$，$\dfrac{(x_1-1)^2}{m}=\dfrac{x_2-2}{x_1-2}$得证。
【答案】
（1）$\boldsymbol{\dfrac{b}{a}=-3}$；
（2）① 二次函数解析式为$\boldsymbol{y=-x^2+3x-2}$；
② $\dfrac{(x_1-1)^2}{m}=\dfrac{x_2-2}{x_1-2}$成立，证明如上。
【知识点】
二次函数的对称性；二次函数的最值；二次函数解析式求解
【点评】
本题紧扣二次函数的核心性质设计问题，前两问侧重基础应用，难度较低，第三问的证明需要结合对称点的坐标特征进行代数变形，考查了逻辑推理能力和代数运算能力，梯度设置合理，能有效检验对二次函数知识的掌握程度。
【难度系数】
0.6
（1）观察到点A(1,t)和B(2,t)纵坐标相等，说明这两点是二次函数图象上的对称点，因此对称轴为两点横坐标的中点，即$x=\frac{1+2}{2}=\frac{3}{2}$。结合二次函数对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}$，可建立a与b的等量关系，进而求出$\frac{b}{a}$的值。
（2）① 由（1）的结论可将b用含a的式子表示，代入二次函数解析式后，可求出函数顶点的纵坐标。因为函数存在最大值，说明开口向下即$a＜0$，且顶点纵坐标等于最大值，列方程求解a后舍去不符合条件的根，即可得到函数解析式。
② M、N两点纵坐标相同，说明两点关于二次函数的对称轴对称，因此可得两横坐标的和为对称轴的2倍，即$x_1+x_2=3$。再将m用含$x_1$的函数式表示，$x_2$用$3-x_1$代换，通过作差法证明等式两边的差为0，即可完成证明，注意$m≠0$可保证分母有意义。
【解析】
（1）$\because$ 二次函数 $y=ax^2+bx-2$ 的图象过点$A(1,t),B(2,t)$，两点纵坐标相同，
$\therefore$ 函数图象的对称轴为直线$x=\frac{1+2}{2}=\frac{3}{2}$，
又$\because$ 二次函数对称轴公式为$x=-\frac{b}{2a}$，
$\therefore -\frac{b}{2a}=\frac{3}{2}$，
$\therefore \frac{b}{a}=-3$。
（2）① 由(1)得$b=-3a$，代入二次函数解析式得$y=ax^2-3ax-2$，
将解析式化为顶点式：$y=a(x-\frac{3}{2})^2-\frac{9}{4}a-2$，
$\therefore$ 顶点坐标为$(\frac{3}{2},-\frac{9}{4}a-2)$，
$\because$ 函数有最大值$1-\frac{3}{4}a^2$，
$\therefore a＜0$，且顶点纵坐标等于最大值，即$-\frac{9}{4}a-2=1-\frac{3}{4}a^2$，
整理得$a^2-3a-4=0$，
解得$a=-1$或$a=4$（$a=4＞0$不符合开口向下的条件，舍去），
$\therefore$ 该二次函数的解析式为$y=-x^2+3x-2$。
② $\because M(x_1,m),N(x_2,m)$为该二次函数图象上的不同两点，纵坐标相同，
$\therefore$ 两点关于对称轴$x=\frac{3}{2}$对称，
$\therefore \frac{x_1+x_2}{2}=\frac{3}{2}$，即$x_1+x_2=3$，
又$\because$ 点$M(x_1,m)$在函数图象上，
$\therefore m=-x_1^2+3x_1-2$，
要证$\dfrac{(x_1-1)^2}{m}=\dfrac{x_2-2}{x_1-2}$，计算两式的差：
$\frac{(x_1-1)^2}{m}-\frac{x_2-2}{x_1-2}=\frac{(x_1-1)^2(x_1-2)-m(x_2-2)}{m(x_1-2)}$
将$m=-x_1^2+3x_1-2=-(x_1^2-3x_1+2)$，$x_2=3-x_1$代入分子：
$\begin{aligned}\mathrm{分子}&=(x_1^2-3x_1+2)(x_1-1)-m(x_2-2)\\&=-m(x_1-1)-m(3-x_1-2)\\&=-m(x_1-1+1-x_1)\\&=-m(x_1+x_2-3)\\&=0\end{aligned}$
因此$\frac{(x_1-1)^2}{m}-\frac{x_2-2}{x_1-2}=0$，$\dfrac{(x_1-1)^2}{m}=\dfrac{x_2-2}{x_1-2}$得证。
【答案】
（1）$\boldsymbol{\dfrac{b}{a}=-3}$；
（2）① 二次函数解析式为$\boldsymbol{y=-x^2+3x-2}$；
② $\dfrac{(x_1-1)^2}{m}=\dfrac{x_2-2}{x_1-2}$成立，证明如上。
【知识点】
二次函数的对称性；二次函数的最值；二次函数解析式求解
【点评】
本题紧扣二次函数的核心性质设计问题，前两问侧重基础应用，难度较低，第三问的证明需要结合对称点的坐标特征进行代数变形，考查了逻辑推理能力和代数运算能力，梯度设置合理，能有效检验对二次函数知识的掌握程度。
【难度系数】
0.6
7 若关于$x$的二次函数$y=\frac{1}{4}mx^2+(m+1)x+m+1$的图象与$x$轴有两个公共点，则满足条件的$m$的值可以是下列四个数中的（
A.$-1$
B.$0$
C.$1$
D.$-2$
C
）A.$-1$
B.$0$
C.$1$
D.$-2$
答案
7. C
解析
【分析】
要解决本题，需抓住两个核心限制条件：一是该函数为二次函数，因此二次项系数不能为0；二是函数图象与x轴有两个公共点，说明对应的一元二次方程有两个不相等的实数根，即判别式Δ＞0。我们先根据这两个条件求出m的取值范围，再对照选项选出符合要求的数值即可。
【解析】
∵ 函数$y=\frac{1}{4}mx^2+(m+1)x+m+1$是二次函数
∴ 二次项系数$\frac{1}{4}m ≠ 0$，即$m ≠ 0$，排除B选项
二次函数图象与x轴有两个公共点，即对应的一元二次方程$\frac{1}{4}mx^2+(m+1)x+m+1=0$有两个不相等的实数根，因此判别式$\Delta = b^2 - 4ac ＞ 0$
其中$a=\frac{1}{4}m$，$b=m+1$，$c=m+1$，代入得：
$\Delta = (m+1)^2 - 4× \frac{1}{4}m × (m+1)$
$= m^2 + 2m + 1 - m(m+1)$
$= m^2 + 2m + 1 - m^2 - m$
$= m + 1$
令$\Delta ＞ 0$，即$m + 1 ＞ 0$，解得$m ＞ -1$
结合$m ≠ 0$，可得m的取值范围为$m ＞ -1$且$m ≠ 0$
对照选项：
A.$-1$不满足$m ＞ -1$，不符合；
C.$1$满足$m ＞ -1$且$m ≠ 0$，符合；
D.$-2$不满足$m ＞ -1$，不符合。
因此选C。
【答案】
C
【知识点】
1. 二次函数的定义
2. 判别式的应用
3. 二次函数与x轴交点判定
【点评】
本题是二次函数的基础常考题，解题时容易遗漏二次项系数不为0的条件，仅通过判别式求解导致错选，需先明确函数类型，再结合交点条件列不等式求解，做题时要注意审题，抓住题目中的隐含限制条件。
【难度系数】
0.7
要解决本题，需抓住两个核心限制条件：一是该函数为二次函数，因此二次项系数不能为0；二是函数图象与x轴有两个公共点，说明对应的一元二次方程有两个不相等的实数根，即判别式Δ＞0。我们先根据这两个条件求出m的取值范围，再对照选项选出符合要求的数值即可。
【解析】
∵ 函数$y=\frac{1}{4}mx^2+(m+1)x+m+1$是二次函数
∴ 二次项系数$\frac{1}{4}m ≠ 0$，即$m ≠ 0$，排除B选项
二次函数图象与x轴有两个公共点，即对应的一元二次方程$\frac{1}{4}mx^2+(m+1)x+m+1=0$有两个不相等的实数根，因此判别式$\Delta = b^2 - 4ac ＞ 0$
其中$a=\frac{1}{4}m$，$b=m+1$，$c=m+1$，代入得：
$\Delta = (m+1)^2 - 4× \frac{1}{4}m × (m+1)$
$= m^2 + 2m + 1 - m(m+1)$
$= m^2 + 2m + 1 - m^2 - m$
$= m + 1$
令$\Delta ＞ 0$，即$m + 1 ＞ 0$，解得$m ＞ -1$
结合$m ≠ 0$，可得m的取值范围为$m ＞ -1$且$m ≠ 0$
对照选项：
A.$-1$不满足$m ＞ -1$，不符合；
C.$1$满足$m ＞ -1$且$m ≠ 0$，符合；
D.$-2$不满足$m ＞ -1$，不符合。
因此选C。
【答案】
C
【知识点】
1. 二次函数的定义
2. 判别式的应用
3. 二次函数与x轴交点判定
【点评】
本题是二次函数的基础常考题，解题时容易遗漏二次项系数不为0的条件，仅通过判别式求解导致错选，需先明确函数类型，再结合交点条件列不等式求解，做题时要注意审题，抓住题目中的隐含限制条件。
【难度系数】
0.7
8 如果二次函数 $ y = ax^2 + bx + 3 $ 的图象经过点 $ A(-1,0), B(3,0) $，那么一元二次方程 $ ax^2 + bx = 0 $ 的根为
$x_1=0,x_2=2$
。答案
8. $x_1=0,x_2=2$
解析
【分析】
解题思路如下：第一步，二次函数图象上的点的坐标满足函数解析式，因此将点A、B的坐标代入二次函数$y=ax^2+bx+3$中，可得到关于a、b的二元一次方程组；第二步，解方程组求出a、b的具体值；第三步，将a、b代入一元二次方程$ax^2+bx=0$，用因式分解法求解方程的根即可。
【解析】
将点$A(-1,0)$代入$y=ax^2+bx+3$，得：
$a·(-1)^2 + b·(-1) + 3 = 0$，整理得 $a - b = -3$ ①
将点$B(3,0)$代入$y=ax^2+bx+3$，得：
$a·3^2 + b·3 + 3 = 0$，整理得 $3a + b = -1$ ②
联立①②，用加减消元法：①+②得 $4a = -4$，解得 $a=-1$
将$a=-1$代入①，得 $-1 - b = -3$，解得 $b=2$
将$a=-1$、$b=2$代入方程$ax^2+bx=0$，得：
$-x^2 + 2x = 0$
提取公因式$x$得：$x(-x + 2) = 0$
则$x=0$或$-x+2=0$，解得$x_1=0$，$x_2=2$
【答案】
$x_1=0,x_2=2$
【知识点】
二次函数图象上点的坐标特征；解二元一次方程组；因式分解法解一元二次方程
【点评】
本题是二次函数与一元二次方程结合的基础题型，核心是通过已知点坐标求出二次函数的未知系数，再代入方程求解，计算量小，解题逻辑清晰。
【难度系数】
0.8
解题思路如下：第一步，二次函数图象上的点的坐标满足函数解析式，因此将点A、B的坐标代入二次函数$y=ax^2+bx+3$中，可得到关于a、b的二元一次方程组；第二步，解方程组求出a、b的具体值；第三步，将a、b代入一元二次方程$ax^2+bx=0$，用因式分解法求解方程的根即可。
【解析】
将点$A(-1,0)$代入$y=ax^2+bx+3$，得：
$a·(-1)^2 + b·(-1) + 3 = 0$，整理得 $a - b = -3$ ①
将点$B(3,0)$代入$y=ax^2+bx+3$，得：
$a·3^2 + b·3 + 3 = 0$，整理得 $3a + b = -1$ ②
联立①②，用加减消元法：①+②得 $4a = -4$，解得 $a=-1$
将$a=-1$代入①，得 $-1 - b = -3$，解得 $b=2$
将$a=-1$、$b=2$代入方程$ax^2+bx=0$，得：
$-x^2 + 2x = 0$
提取公因式$x$得：$x(-x + 2) = 0$
则$x=0$或$-x+2=0$，解得$x_1=0$，$x_2=2$
【答案】
$x_1=0,x_2=2$
【知识点】
二次函数图象上点的坐标特征；解二元一次方程组；因式分解法解一元二次方程
【点评】
本题是二次函数与一元二次方程结合的基础题型，核心是通过已知点坐标求出二次函数的未知系数，再代入方程求解，计算量小，解题逻辑清晰。
【难度系数】
0.8
9 某水果店销售一批水果，平均每天可售出40千克，每千克盈利4元。经调查发现，每千克每降价0.5元，该水果店平均每天可多售出10千克，则该水果店销售这批水果平均每天的最高利润为
180
元。答案
9. 180
解析
【分析】
本题属于销售利润类的最值问题，解题核心是抓住“总利润=单件利润×销售总量”这一基本等量关系，结合二次函数的性质求最大值。思考步骤如下：1. 合理设未知数，可设每千克降价x元，将单件利润、销售总量分别用含x的代数式表示；2. 依据等量关系列出总利润关于x的函数解析式，整理为二次函数的一般形式；3. 结合自变量的实际取值范围，利用二次函数开口向下时顶点处取最大值的性质，计算得到最高利润。
【解析】
设每千克水果降价x元，水果店平均每天的总利润为y元。
由题意得，降价后每千克水果的利润为：$(4 - x)$元
每降价0.5元多售出10千克，则降价x元后，每天的销售量为：$40 + \frac{x}{0.5} × 10 = 40 + 20x$（千克）
因此总利润的函数解析式为：
$y = (4 - x)(40 + 20x)$
展开整理得：$y = -20x^2 + 40x + 160$
对函数配方得：$y = -20(x - 1)^2 + 180$
$\because a = -20 ＜ 0$，抛物线开口向下，且$x$的实际取值范围为$0 ≤ x ＜ 4$
$\therefore$当$x = 1$时，$y$取得最大值，最大值为180元。
【答案】
180
【知识点】
1. 销售利润计算 2. 二次函数的最值 3. 二次函数的实际应用
【点评】
本题是二次函数在销售问题中的典型应用，解题的关键是准确梳理单价、销量、利润三者之间的关系，正确列出函数解析式，求解时要注意结合实际意义判断自变量的取值是否合理。
【难度系数】
0.7
本题属于销售利润类的最值问题，解题核心是抓住“总利润=单件利润×销售总量”这一基本等量关系，结合二次函数的性质求最大值。思考步骤如下：1. 合理设未知数，可设每千克降价x元，将单件利润、销售总量分别用含x的代数式表示；2. 依据等量关系列出总利润关于x的函数解析式，整理为二次函数的一般形式；3. 结合自变量的实际取值范围，利用二次函数开口向下时顶点处取最大值的性质，计算得到最高利润。
【解析】
设每千克水果降价x元，水果店平均每天的总利润为y元。
由题意得，降价后每千克水果的利润为：$(4 - x)$元
每降价0.5元多售出10千克，则降价x元后，每天的销售量为：$40 + \frac{x}{0.5} × 10 = 40 + 20x$（千克）
因此总利润的函数解析式为：
$y = (4 - x)(40 + 20x)$
展开整理得：$y = -20x^2 + 40x + 160$
对函数配方得：$y = -20(x - 1)^2 + 180$
$\because a = -20 ＜ 0$，抛物线开口向下，且$x$的实际取值范围为$0 ≤ x ＜ 4$
$\therefore$当$x = 1$时，$y$取得最大值，最大值为180元。
【答案】
180
【知识点】
1. 销售利润计算 2. 二次函数的最值 3. 二次函数的实际应用
【点评】
本题是二次函数在销售问题中的典型应用，解题的关键是准确梳理单价、销量、利润三者之间的关系，正确列出函数解析式，求解时要注意结合实际意义判断自变量的取值是否合理。
【难度系数】
0.7
10 [2024潍坊]某商场为了减少夏季降温和冬季供暖的能源消耗，计划在商场的屋顶和外墙建造隔热层，其建造成本$P$(万元)与隔热层厚度$x$(cm)满足函数解析式$P=10x$.预计该商场每年的能源消耗费用$T$(万元)与隔热层厚度$x$(cm)满足函数解析式$T=21-\frac{(x+2)(x+4)}{8}$,其中$0≤ x≤9$.设该商场的隔热层建造费用与未来8年能源消耗费用之和为$y$万元.
(1)若$y=148$,求该商场建造的隔热层厚度；
(2)已知该商场未来8年的相关规划费用为$t$万元,且$t=y+x^2$,当$172≤ t≤192$时,求$x$的取值范围.
(1)若$y=148$,求该商场建造的隔热层厚度；
(2)已知该商场未来8年的相关规划费用为$t$万元,且$t=y+x^2$,当$172≤ t≤192$时,求$x$的取值范围.
答案
10. （1）由题意，得 $y = P + 8T = 10x + 8 × [21 - \frac{(x+2)(x+4)}{8}] = -x^2 + 4x + 160$. 当 $y=148$ 时，$-x^2 + 4x + 160=148$，解得 $x_1=6,x_2=-2$. $\because 0≤ x≤9,\therefore x_2=-2$ 不符合题意，舍去. $\therefore$ 该商场建造的隔热层厚度为 6 cm
（2）由(1)，得 $y=-x^2+4x+160$. $\because t = y + x^2,\therefore t = -x^2 + 4x + 160 + x^2=4x+160(172≤ t≤192)$. $\because 4＞0,\therefore t$ 随 $x$ 的增大而增大. 当 $t=172$ 时，$4x+160=172$，解得 $x=3$；当 $t=192$ 时，$4x+160=192$，解得 $x=8$. $\therefore x$ 的取值范围是 $3≤ x≤8$
（2）由(1)，得 $y=-x^2+4x+160$. $\because t = y + x^2,\therefore t = -x^2 + 4x + 160 + x^2=4x+160(172≤ t≤192)$. $\because 4＞0,\therefore t$ 随 $x$ 的增大而增大. 当 $t=172$ 时，$4x+160=172$，解得 $x=3$；当 $t=192$ 时，$4x+160=192$，解得 $x=8$. $\therefore x$ 的取值范围是 $3≤ x≤8$
解析
【分析】
对于（1），首先明确总费用$y$由两部分构成：隔热层建造费用$P$和8年的能源消耗总费用$8T$，先将$P$、$T$的表达式代入$y$的关系式，化简得到$y$关于$x$的函数式；再把$y=148$代入得到一元二次方程，解方程后结合$x$的取值范围$0≤x≤9$舍去不符合实际的解即可。
对于（2），先将（1）中得到的$y$的表达式代入$t=y+x^2$，化简后可得$t$是关于$x$的一次函数，根据一次函数的单调性，结合$t$的取值范围$172≤t≤192$，分别代入端点值求解对应的$x$，即可得到$x$的取值范围。
【解析】
（1）由题意得，总费用$y = P + 8T$，将$P=10x$，$T=21-\frac{(x+2)(x+4)}{8}$代入：
$\begin{aligned}y &= 10x + 8 × [21 - \frac{(x+2)(x+4)}{8}] \\&=10x + 168 - (x^2+6x+8) \\&=-x^2 +4x +160\end{aligned}$
当$y=148$时，列方程：
$-x^2 +4x +160 = 148$
整理得$x^2 -4x -12 =0$，因式分解得$(x-6)(x+2)=0$，解得$x_1=6$，$x_2=-2$。
$\because 0≤x≤9$，$\therefore x=-2$不符合题意，舍去。
（2）由（1）知$y=-x^2+4x+160$，代入$t=y+x^2$得：
$\begin{aligned}t &= -x^2+4x+160 +x^2 \\&=4x +160\end{aligned}$
$\because 4＞0$，$\therefore t$随$x$的增大而增大。
当$t=172$时，$4x+160=172$，解得$x=3$；
当$t=192$时，$4x+160=192$，解得$x=8$；
结合$0≤x≤9$，可得$x$的取值范围是$3≤x≤8$。
【答案】
（1）$\boldsymbol{6\ \mathrm{cm}}$；（2）$\boldsymbol{3≤x≤8}$
【知识点】
二次函数实际应用，一元二次方程求解，一次函数与不等式
【点评】
本题以节能改造的实际场景为载体，考查函数、方程、不等式的综合应用，解题核心是梳理清楚各费用的数量关系，正确列出函数表达式，同时要注意结合实际意义限定自变量的取值范围，避免出现不符合实际的增解。
【难度系数】
0.7
对于（1），首先明确总费用$y$由两部分构成：隔热层建造费用$P$和8年的能源消耗总费用$8T$，先将$P$、$T$的表达式代入$y$的关系式，化简得到$y$关于$x$的函数式；再把$y=148$代入得到一元二次方程，解方程后结合$x$的取值范围$0≤x≤9$舍去不符合实际的解即可。
对于（2），先将（1）中得到的$y$的表达式代入$t=y+x^2$，化简后可得$t$是关于$x$的一次函数，根据一次函数的单调性，结合$t$的取值范围$172≤t≤192$，分别代入端点值求解对应的$x$，即可得到$x$的取值范围。
【解析】
（1）由题意得，总费用$y = P + 8T$，将$P=10x$，$T=21-\frac{(x+2)(x+4)}{8}$代入：
$\begin{aligned}y &= 10x + 8 × [21 - \frac{(x+2)(x+4)}{8}] \\&=10x + 168 - (x^2+6x+8) \\&=-x^2 +4x +160\end{aligned}$
当$y=148$时，列方程：
$-x^2 +4x +160 = 148$
整理得$x^2 -4x -12 =0$，因式分解得$(x-6)(x+2)=0$，解得$x_1=6$，$x_2=-2$。
$\because 0≤x≤9$，$\therefore x=-2$不符合题意，舍去。
（2）由（1）知$y=-x^2+4x+160$，代入$t=y+x^2$得：
$\begin{aligned}t &= -x^2+4x+160 +x^2 \\&=4x +160\end{aligned}$
$\because 4＞0$，$\therefore t$随$x$的增大而增大。
当$t=172$时，$4x+160=172$，解得$x=3$；
当$t=192$时，$4x+160=192$，解得$x=8$；
结合$0≤x≤9$，可得$x$的取值范围是$3≤x≤8$。
【答案】
（1）$\boldsymbol{6\ \mathrm{cm}}$；（2）$\boldsymbol{3≤x≤8}$
【知识点】
二次函数实际应用，一元二次方程求解，一次函数与不等式
【点评】
本题以节能改造的实际场景为载体，考查函数、方程、不等式的综合应用，解题核心是梳理清楚各费用的数量关系，正确列出函数表达式，同时要注意结合实际意义限定自变量的取值范围，避免出现不符合实际的增解。
【难度系数】
0.7
