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11 [2025德阳]已知抛物线$y=ax^2+bx+c$（$a,b,c$是常数，且$a＞0$）过点$(1,0),(m,0)$，且$2＜m＜3$，该抛物线与直线$y=kx+c$（$k,c$是常数，且$k≠0$）相交于$A(x_1,y_1)$，$B(x_2,y_2)$两点（点$A$在点$B$的左侧）。给出下列说法：① $bc＜0$；② $3a+b＞0$；③ 若$A'$是点$A$关于直线$x=-\dfrac{b}{2a}$的对称点，则$3＜AA'＜4$；④ 当$x_2=4$时，不等式$ax^2+(b−k)x＜0$的解集为$0＜x＜4$。其中，正确的个数是（
A.1
B.2
C.3
D.4
B
）A.1
B.2
C.3
D.4
答案
11. B
解析
【分析】
首先结合抛物线过的两个x轴交点，利用二次函数的性质、韦达定理判断系数符号，再联立抛物线与直线方程得到交点横坐标的规律，逐个分析4个说法是否正确：
1. 先由抛物线与x轴交点得到对称轴范围、b和c的符号，判断①；
2. 用韦达定理将b用a和m表示，代入3a+b判断符号，判断②；
3. 联立抛物线和直线方程得到两个交点横坐标为0和另一个值，注意A是左侧交点，横坐标可能是0也可能是另一个负值，结合对称轴计算AA'的范围，判断③；
4. 当x₂=4时，明确两个交点横坐标为0和4，结合二次函数不等式的解法求解集，判断④。
【解析】
解：已知抛物线$y=ax^2+bx+c$（$a＞0$）过$(1,0)$、$(m,0)$（$2＜m＜3$），由韦达定理得：
两根之和：$1+m=-\dfrac{b}{a}$，两根之积：$1× m=\dfrac{c}{a}$。
① 判断$bc＜0$：
$\because a＞0$，$m＞2＞0$，$\therefore c=am＞0$；
又$\because 1+m＞0$，$\therefore -b=a(1+m)＞0$，即$b＜0$；
$\therefore bc＜0$，①正确。
② 判断$3a+b＞0$：
由$1+m=-\dfrac{b}{a}$得$b=-a(1+m)$，代入得：
$3a+b=3a -a(1+m)=a(2-m)$，
$\because m＞2$，$\therefore 2-m＜0$，又$a＞0$，
$\therefore 3a+b=a(2-m)＜0$，②错误。
③ 判断$3＜AA'＜4$：
联立抛物线与直线$y=kx+c$：
$ax^2+bx+c=kx+c$，化简得$ax^2+(b-k)x=0$，即$x(ax+b-k)=0$，
解得两个交点横坐标为$x=0$和$x=\dfrac{k-b}{a}$。
$\because$点A在左侧，$\therefore A$的横坐标$x_1=\min(0,\dfrac{k-b}{a})$。
抛物线对称轴为$x=\dfrac{1+m}{2}\in(\dfrac{3}{2},2)$，
若$\dfrac{k-b}{a}＜0$，则$x_1=\dfrac{k-b}{a}＜0$，此时$AA'=2×(\dfrac{1+m}{2} - x_1)$，当$x_1$足够小时，$AA'＞4$，③错误。
④ 判断当$x_2=4$时，不等式$ax^2+(b−k)x＜0$的解集为$0＜x＜4$：
当$x_2=4$时，说明较大的交点横坐标为4，因此两个交点横坐标为$0$和$4$，
不等式$ax^2+(b-k)x＜0$可化为$a(x-0)(x-4)＜0$，
$\because a＞0$，二次函数开口向上，小于0的部分在两根之间，
$\therefore$解集为$0＜x＜4$，④正确。
综上，正确的说法有①④，共2个。
【答案】
B
【知识点】
二次函数的性质，二次函数与不等式，函数交点的求解
【点评】
本题综合考查二次函数的图象与性质，需要结合韦达定理、函数交点的求解、不等式的解法逐一分析，注意考虑交点横坐标的两种情况，避免漏解。
【难度系数】
0.6
首先结合抛物线过的两个x轴交点，利用二次函数的性质、韦达定理判断系数符号，再联立抛物线与直线方程得到交点横坐标的规律，逐个分析4个说法是否正确：
1. 先由抛物线与x轴交点得到对称轴范围、b和c的符号，判断①；
2. 用韦达定理将b用a和m表示，代入3a+b判断符号，判断②；
3. 联立抛物线和直线方程得到两个交点横坐标为0和另一个值，注意A是左侧交点，横坐标可能是0也可能是另一个负值，结合对称轴计算AA'的范围，判断③；
4. 当x₂=4时，明确两个交点横坐标为0和4，结合二次函数不等式的解法求解集，判断④。
【解析】
解：已知抛物线$y=ax^2+bx+c$（$a＞0$）过$(1,0)$、$(m,0)$（$2＜m＜3$），由韦达定理得：
两根之和：$1+m=-\dfrac{b}{a}$，两根之积：$1× m=\dfrac{c}{a}$。
① 判断$bc＜0$：
$\because a＞0$，$m＞2＞0$，$\therefore c=am＞0$；
又$\because 1+m＞0$，$\therefore -b=a(1+m)＞0$，即$b＜0$；
$\therefore bc＜0$，①正确。
② 判断$3a+b＞0$：
由$1+m=-\dfrac{b}{a}$得$b=-a(1+m)$，代入得：
$3a+b=3a -a(1+m)=a(2-m)$，
$\because m＞2$，$\therefore 2-m＜0$，又$a＞0$，
$\therefore 3a+b=a(2-m)＜0$，②错误。
③ 判断$3＜AA'＜4$：
联立抛物线与直线$y=kx+c$：
$ax^2+bx+c=kx+c$，化简得$ax^2+(b-k)x=0$，即$x(ax+b-k)=0$，
解得两个交点横坐标为$x=0$和$x=\dfrac{k-b}{a}$。
$\because$点A在左侧，$\therefore A$的横坐标$x_1=\min(0,\dfrac{k-b}{a})$。
抛物线对称轴为$x=\dfrac{1+m}{2}\in(\dfrac{3}{2},2)$，
若$\dfrac{k-b}{a}＜0$，则$x_1=\dfrac{k-b}{a}＜0$，此时$AA'=2×(\dfrac{1+m}{2} - x_1)$，当$x_1$足够小时，$AA'＞4$，③错误。
④ 判断当$x_2=4$时，不等式$ax^2+(b−k)x＜0$的解集为$0＜x＜4$：
当$x_2=4$时，说明较大的交点横坐标为4，因此两个交点横坐标为$0$和$4$，
不等式$ax^2+(b-k)x＜0$可化为$a(x-0)(x-4)＜0$，
$\because a＞0$，二次函数开口向上，小于0的部分在两根之间，
$\therefore$解集为$0＜x＜4$，④正确。
综上，正确的说法有①④，共2个。
【答案】
B
【知识点】
二次函数的性质，二次函数与不等式，函数交点的求解
【点评】
本题综合考查二次函数的图象与性质，需要结合韦达定理、函数交点的求解、不等式的解法逐一分析，注意考虑交点横坐标的两种情况，避免漏解。
【难度系数】
0.6
12 若二次函数$y=x^2 -2x -3$的图象上有且只有三个点到x轴的距离等于m，则m的值为
4
。答案
12. 4
解析
【分析】
要解决这个问题，我们可以按以下思路思考：首先，点到x轴的距离等于该点纵坐标的绝对值，因此到x轴距离为m的点的纵坐标为m或-m，问题就转化为直线y=m、y=-m与二次函数图象的交点总个数为3的情况。接下来我们先将二次函数化为顶点式，确定抛物线的开口方向、顶点坐标，再分情况讨论不同m取值下的交点个数，找到符合条件的m值。
【解析】
首先将二次函数$y=x^2-2x-3$配方，得：
$y=(x-1)^2-4$
由此可知该抛物线开口向上，顶点坐标为$(1,-4)$，顶点到x轴的距离为4。
到x轴距离等于m的点的纵坐标为$m$或$-m$，我们分情况讨论：
1. 当$m＞4$时：直线$y=m$与抛物线有2个交点，直线$y=-m$在抛物线最低点下方，与抛物线无交点，总共有2个交点，不符合题意；
2. 当$m=4$时：直线$y=4$与抛物线有2个交点，直线$y=-4$与抛物线仅交于顶点1个点，总共有$2+1=3$个交点，符合题意；
3. 当$0＜m＜4$时：直线$y=m$、$y=-m$各与抛物线有2个交点，总共有4个交点，不符合题意；
4. 当$m=0$时：直线$y=0$与抛物线仅交于2个交点，不符合题意。
综上，m的值为4。
【答案】
4
【知识点】
二次函数的图象与性质；点到坐标轴的距离；函数交点问题
【点评】
本题将点到坐标轴的距离问题转化为直线与抛物线的交点问题，解题的关键是结合抛物线的顶点坐标分析不同m取值下的交点个数，渗透了数形结合的数学思想，分类讨论时要注意覆盖所有可能的取值情况。
【难度系数】
0.6
要解决这个问题，我们可以按以下思路思考：首先，点到x轴的距离等于该点纵坐标的绝对值，因此到x轴距离为m的点的纵坐标为m或-m，问题就转化为直线y=m、y=-m与二次函数图象的交点总个数为3的情况。接下来我们先将二次函数化为顶点式，确定抛物线的开口方向、顶点坐标，再分情况讨论不同m取值下的交点个数，找到符合条件的m值。
【解析】
首先将二次函数$y=x^2-2x-3$配方，得：
$y=(x-1)^2-4$
由此可知该抛物线开口向上，顶点坐标为$(1,-4)$，顶点到x轴的距离为4。
到x轴距离等于m的点的纵坐标为$m$或$-m$，我们分情况讨论：
1. 当$m＞4$时：直线$y=m$与抛物线有2个交点，直线$y=-m$在抛物线最低点下方，与抛物线无交点，总共有2个交点，不符合题意；
2. 当$m=4$时：直线$y=4$与抛物线有2个交点，直线$y=-4$与抛物线仅交于顶点1个点，总共有$2+1=3$个交点，符合题意；
3. 当$0＜m＜4$时：直线$y=m$、$y=-m$各与抛物线有2个交点，总共有4个交点，不符合题意；
4. 当$m=0$时：直线$y=0$与抛物线仅交于2个交点，不符合题意。
综上，m的值为4。
【答案】
4
【知识点】
二次函数的图象与性质；点到坐标轴的距离；函数交点问题
【点评】
本题将点到坐标轴的距离问题转化为直线与抛物线的交点问题，解题的关键是结合抛物线的顶点坐标分析不同m取值下的交点个数，渗透了数形结合的数学思想，分类讨论时要注意覆盖所有可能的取值情况。
【难度系数】
0.6
13 [2024广西]如图，壮壮同学投掷实心球，出手(点P处)的高度OP是$\frac{7}{4}$ m，出手后实心球沿一段抛物线运行，到达最高点时，水平距离是5 m，高度是4 m. 若实心球落地点为M，则$OM=$
$\frac{35}{3}$
m.答案
13. $\frac{35}{3}$
解析
【分析】
本题属于二次函数的实际应用问题，解题思路如下：首先以O为原点，OM所在直线为x轴建立平面直角坐标系，由于已知抛物线的最高点（顶点）坐标，因此选择设抛物线的顶点式来求解析式；再将出手点P的坐标代入解析式求出未知系数a，得到完整的抛物线解析式；最后落地点M的纵坐标为0，将y=0代入解析式求出x的正数值，即为OM的长度。
【解析】
解：以点O为原点，OM所在直线为x轴，竖直方向为y轴建立平面直角坐标系。
由题意可知抛物线的顶点坐标为$(5,4)$，因此设抛物线的解析式为$y=a(x-5)^2+4$（$a≠0$）。
已知出手点P的坐标为$(0,\frac{7}{4})$，将其代入解析式得：
$\frac{7}{4}=a(0-5)^2+4$
$\frac{7}{4}=25a+4$
$25a=\frac{7}{4}-4=-\frac{9}{4}$
解得$a=-\frac{9}{100}$
因此抛物线的解析式为$y=-\frac{9}{100}(x-5)^2+4$。
实心球落地时纵坐标$y=0$，代入解析式得：
$0=-\frac{9}{100}(x-5)^2+4$
$\frac{9}{100}(x-5)^2=4$
$(x-5)^2=\frac{400}{9}$
开平方得$x-5=\pm\frac{20}{3}$
解得$x_1=5+\frac{20}{3}=\frac{35}{3}$，$x_2=5-\frac{20}{3}=-\frac{5}{3}$（不符合实际，舍去）
因此点M的横坐标为$\frac{35}{3}$，即$OM=\frac{35}{3}\ \mathrm{m}$。
【答案】
$\frac{35}{3}$
【知识点】
二次函数顶点式、二次函数实际应用、二次函数与一元二次方程
【点评】
本题是二次函数结合实际场景的典型考题，核心是通过建立坐标系将实际问题转化为二次函数问题，利用已知点求解函数解析式，再结合函数性质得到对应解，解题时要注意舍去不符合实际意义的根。
【难度系数】
0.7
本题属于二次函数的实际应用问题，解题思路如下：首先以O为原点，OM所在直线为x轴建立平面直角坐标系，由于已知抛物线的最高点（顶点）坐标，因此选择设抛物线的顶点式来求解析式；再将出手点P的坐标代入解析式求出未知系数a，得到完整的抛物线解析式；最后落地点M的纵坐标为0，将y=0代入解析式求出x的正数值，即为OM的长度。
【解析】
解：以点O为原点，OM所在直线为x轴，竖直方向为y轴建立平面直角坐标系。
由题意可知抛物线的顶点坐标为$(5,4)$，因此设抛物线的解析式为$y=a(x-5)^2+4$（$a≠0$）。
已知出手点P的坐标为$(0,\frac{7}{4})$，将其代入解析式得：
$\frac{7}{4}=a(0-5)^2+4$
$\frac{7}{4}=25a+4$
$25a=\frac{7}{4}-4=-\frac{9}{4}$
解得$a=-\frac{9}{100}$
因此抛物线的解析式为$y=-\frac{9}{100}(x-5)^2+4$。
实心球落地时纵坐标$y=0$，代入解析式得：
$0=-\frac{9}{100}(x-5)^2+4$
$\frac{9}{100}(x-5)^2=4$
$(x-5)^2=\frac{400}{9}$
开平方得$x-5=\pm\frac{20}{3}$
解得$x_1=5+\frac{20}{3}=\frac{35}{3}$，$x_2=5-\frac{20}{3}=-\frac{5}{3}$（不符合实际，舍去）
因此点M的横坐标为$\frac{35}{3}$，即$OM=\frac{35}{3}\ \mathrm{m}$。
【答案】
$\frac{35}{3}$
【知识点】
二次函数顶点式、二次函数实际应用、二次函数与一元二次方程
【点评】
本题是二次函数结合实际场景的典型考题，核心是通过建立坐标系将实际问题转化为二次函数问题，利用已知点求解函数解析式，再结合函数性质得到对应解，解题时要注意舍去不符合实际意义的根。
【难度系数】
0.7
14 [2024 德州]已知抛物线 $y = x^2 - 4mx + 2m + 1$，$m$ 为实数.
（1）如果该抛物线经过点$(4,3)$，求此抛物线的顶点坐标；
（2）若当 $2m - 3 ≤ x ≤ 2m + 1$ 时，$y$ 的最大值为 4，求 $m$ 的值；
（3）已知点 $O(0,0)$，$A(1,0)$，如果该抛物线与线段 $OA$（不含端点）恰有一个交点，求 $m$ 的取值范围.
（1）如果该抛物线经过点$(4,3)$，求此抛物线的顶点坐标；
（2）若当 $2m - 3 ≤ x ≤ 2m + 1$ 时，$y$ 的最大值为 4，求 $m$ 的值；
（3）已知点 $O(0,0)$，$A(1,0)$，如果该抛物线与线段 $OA$（不含端点）恰有一个交点，求 $m$ 的取值范围.
答案
14. （1）$\because$ 抛物线 $y=x^2-4mx+2m+1$ 经过点 $(4,3),\therefore 16-16m+2m+1=3$，解得 $m=1$. $\therefore y=x^2-4x+3=(x-2)^2-1$. $\therefore$ 此抛物线的顶点坐标为 $(2,-1)$
（2）$\because y=x^2-4mx+2m+1=(x-2m)^2-4m^2+2m+1,\therefore$ 抛物线开口向上，对称轴为直线 $x=2m$. $\because$ 当 $2m-3≤ x≤2m+1$ 时，$y$ 的最大值为 4，$\therefore$ 当 $x=2m-3$ 时，$y=4$. $\therefore (2m-3-2m)^2-4m^2+2m+1=4$，整理，得 $2m^2-m-3=0$. $\therefore m=\frac{3}{2}$ 或 $m=-1$
（3）$\because$ 抛物线 $y=x^2-4mx+2m+1$ 与线段 $OA$(不含端点)恰有一个交点，$\therefore \begin{cases}2m+1＞0,\\1-4m+2m+1＜0\end{cases}$ 或 $\begin{cases}2m+1＜0,\\1-4m+2m+1＞0.\end{cases}$ $\therefore m＞1$ 或 $m＜-\frac{1}{2}$
（2）$\because y=x^2-4mx+2m+1=(x-2m)^2-4m^2+2m+1,\therefore$ 抛物线开口向上，对称轴为直线 $x=2m$. $\because$ 当 $2m-3≤ x≤2m+1$ 时，$y$ 的最大值为 4，$\therefore$ 当 $x=2m-3$ 时，$y=4$. $\therefore (2m-3-2m)^2-4m^2+2m+1=4$，整理，得 $2m^2-m-3=0$. $\therefore m=\frac{3}{2}$ 或 $m=-1$
（3）$\because$ 抛物线 $y=x^2-4mx+2m+1$ 与线段 $OA$(不含端点)恰有一个交点，$\therefore \begin{cases}2m+1＞0,\\1-4m+2m+1＜0\end{cases}$ 或 $\begin{cases}2m+1＜0,\\1-4m+2m+1＞0.\end{cases}$ $\therefore m＞1$ 或 $m＜-\frac{1}{2}$
解析
【分析】
（1）已知抛物线过定点，将点坐标代入解析式即可求出参数m的值，再将抛物线配方为顶点式，就能直接得到顶点坐标；
（2）先将抛物线配方为顶点式，确定开口方向和对称轴，结合给定的x的取值范围，判断出y取最大值时对应的x值，代入解析式列方程求解即可得到m的值；
（3）线段OA（不含端点）对应的自变量范围是$0＜x＜1$，函数值为0，因此问题转化为二次函数在$(0,1)$内恰好有一个零点，结合二次函数开口向上的性质，可知x=0和x=1处的函数值异号，列不等式组求解即可得到m的取值范围。
【解析】
（1）$\because$ 抛物线 $y=x^2-4mx+2m+1$ 经过点 $(4,3)$，将$x=4,y=3$代入解析式得：
$16-16m+2m+1=3$，
解得 $m=1$，
$\therefore$ 抛物线解析式为$y=x^2-4x+3$，配方得$y=(x-2)^2-1$，
$\therefore$ 此抛物线的顶点坐标为 $(2,-1)$。
（2）将抛物线解析式配方得：
$y=x^2-4mx+2m+1=(x-2m)^2-4m^2+2m+1$，
$\therefore$ 抛物线开口向上，对称轴为直线 $x=2m$，
给定x的取值范围为$2m-3≤ x≤2m+1$，计算两端点到对称轴的距离：$|(2m-3)-2m|=3$，$|(2m+1)-2m|=1$，
$\because$ 开口向上时，离对称轴越远函数值越大，
$\therefore$ 当 $x=2m-3$ 时，$y$ 取得最大值4，
将$x=2m-3,y=4$代入解析式得：
$(2m-3-2m)^2-4m^2+2m+1=4$，
整理得$2m^2-m-3=0$，
解得$m=\frac{3}{2}$ 或 $m=-1$。
（3）线段OA（不含端点）对应$0＜x＜1,y=0$，即抛物线在$0＜x＜1$内恰好有1个零点，
$\because$ 抛物线开口向上，
$\therefore$ $x=0$和$x=1$处的函数值异号，即：
$\begin{cases}2m+1＞0,\\1-4m+2m+1＜0\end{cases}$ 或 $\begin{cases}2m+1＜0,\\1-4m+2m+1＞0.\end{cases}$
解第一个不等式组得$m＞1$，解第二个不等式组得$m＜-\frac{1}{2}$，
综上，$m＞1$ 或 $m＜-\frac{1}{2}$。
【答案】
（1）$\boldsymbol{(2,-1)}$
（2）$\boldsymbol{m=\frac{3}{2}}$或$\boldsymbol{m=-1}$
（3）$\boldsymbol{m＞1}$或$\boldsymbol{m＜-\frac{1}{2}}$
【知识点】
二次函数的图象与性质；二次函数的最值；二次函数与一元二次方程
【点评】
本题综合考查二次函数的相关应用，第一问为基础考点，考查解析式和顶点坐标的求解；第二问需要结合开口方向、对称轴与区间的位置关系判断最值的取值点，对逻辑分析能力有一定要求；第三问将交点问题转化为函数零点的符号问题，体现了数形结合思想的应用，整体区分度较好。
【难度系数】
0.65
（1）已知抛物线过定点，将点坐标代入解析式即可求出参数m的值，再将抛物线配方为顶点式，就能直接得到顶点坐标；
（2）先将抛物线配方为顶点式，确定开口方向和对称轴，结合给定的x的取值范围，判断出y取最大值时对应的x值，代入解析式列方程求解即可得到m的值；
（3）线段OA（不含端点）对应的自变量范围是$0＜x＜1$，函数值为0，因此问题转化为二次函数在$(0,1)$内恰好有一个零点，结合二次函数开口向上的性质，可知x=0和x=1处的函数值异号，列不等式组求解即可得到m的取值范围。
【解析】
（1）$\because$ 抛物线 $y=x^2-4mx+2m+1$ 经过点 $(4,3)$，将$x=4,y=3$代入解析式得：
$16-16m+2m+1=3$，
解得 $m=1$，
$\therefore$ 抛物线解析式为$y=x^2-4x+3$，配方得$y=(x-2)^2-1$，
$\therefore$ 此抛物线的顶点坐标为 $(2,-1)$。
（2）将抛物线解析式配方得：
$y=x^2-4mx+2m+1=(x-2m)^2-4m^2+2m+1$，
$\therefore$ 抛物线开口向上，对称轴为直线 $x=2m$，
给定x的取值范围为$2m-3≤ x≤2m+1$，计算两端点到对称轴的距离：$|(2m-3)-2m|=3$，$|(2m+1)-2m|=1$，
$\because$ 开口向上时，离对称轴越远函数值越大，
$\therefore$ 当 $x=2m-3$ 时，$y$ 取得最大值4，
将$x=2m-3,y=4$代入解析式得：
$(2m-3-2m)^2-4m^2+2m+1=4$，
整理得$2m^2-m-3=0$，
解得$m=\frac{3}{2}$ 或 $m=-1$。
（3）线段OA（不含端点）对应$0＜x＜1,y=0$，即抛物线在$0＜x＜1$内恰好有1个零点，
$\because$ 抛物线开口向上，
$\therefore$ $x=0$和$x=1$处的函数值异号，即：
$\begin{cases}2m+1＞0,\\1-4m+2m+1＜0\end{cases}$ 或 $\begin{cases}2m+1＜0,\\1-4m+2m+1＞0.\end{cases}$
解第一个不等式组得$m＞1$，解第二个不等式组得$m＜-\frac{1}{2}$，
综上，$m＞1$ 或 $m＜-\frac{1}{2}$。
【答案】
（1）$\boldsymbol{(2,-1)}$
（2）$\boldsymbol{m=\frac{3}{2}}$或$\boldsymbol{m=-1}$
（3）$\boldsymbol{m＞1}$或$\boldsymbol{m＜-\frac{1}{2}}$
【知识点】
二次函数的图象与性质；二次函数的最值；二次函数与一元二次方程
【点评】
本题综合考查二次函数的相关应用，第一问为基础考点，考查解析式和顶点坐标的求解；第二问需要结合开口方向、对称轴与区间的位置关系判断最值的取值点，对逻辑分析能力有一定要求；第三问将交点问题转化为函数零点的符号问题，体现了数形结合思想的应用，整体区分度较好。
【难度系数】
0.65
