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11 [2025德阳]已知抛物线$y=ax^2+bx+c$（$a,b,c$是常数，且$a＞0$）过点$(1,0),(m,0)$，且$2＜m＜3$，该抛物线与直线$y=kx+c$（$k,c$是常数，且$k≠0$）相交于$A(x_1,y_1)$，$B(x_2,y_2)$两点（点$A$在点$B$的左侧）。给出下列说法：① $bc＜0$；② $3a+b＞0$；③ 若$A'$是点$A$关于直线$x=-\dfrac{b}{2a}$的对称点，则$3＜AA'＜4$；④ 当$x_2=4$时，不等式$ax^2+(b−k)x＜0$的解集为$0＜x＜4$。其中，正确的个数是（
A.1
B.2
C.3
D.4
B
）A.1
B.2
C.3
D.4
答案
11. B
12 若二次函数$y=x^2 -2x -3$的图象上有且只有三个点到x轴的距离等于m，则m的值为
4
。答案
12. 4
13 [2024广西]如图，壮壮同学投掷实心球，出手(点P处)的高度OP是$\frac{7}{4}$ m，出手后实心球沿一段抛物线运行，到达最高点时，水平距离是5 m，高度是4 m. 若实心球落地点为M，则$OM=$
$\frac{35}{3}$
m.答案
13. $\frac{35}{3}$
14 [2024 德州]已知抛物线 $y = x^2 - 4mx + 2m + 1$，$m$ 为实数.
（1）如果该抛物线经过点$(4,3)$，求此抛物线的顶点坐标；
（2）若当 $2m - 3 ≤ x ≤ 2m + 1$ 时，$y$ 的最大值为 4，求 $m$ 的值；
（3）已知点 $O(0,0)$，$A(1,0)$，如果该抛物线与线段 $OA$（不含端点）恰有一个交点，求 $m$ 的取值范围.
（1）如果该抛物线经过点$(4,3)$，求此抛物线的顶点坐标；
（2）若当 $2m - 3 ≤ x ≤ 2m + 1$ 时，$y$ 的最大值为 4，求 $m$ 的值；
（3）已知点 $O(0,0)$，$A(1,0)$，如果该抛物线与线段 $OA$（不含端点）恰有一个交点，求 $m$ 的取值范围.
答案
14. （1）$\because$ 抛物线 $y=x^2-4mx+2m+1$ 经过点 $(4,3),\therefore 16-16m+2m+1=3$，解得 $m=1$. $\therefore y=x^2-4x+3=(x-2)^2-1$. $\therefore$ 此抛物线的顶点坐标为 $(2,-1)$
（2）$\because y=x^2-4mx+2m+1=(x-2m)^2-4m^2+2m+1,\therefore$ 抛物线开口向上，对称轴为直线 $x=2m$. $\because$ 当 $2m-3≤ x≤2m+1$ 时，$y$ 的最大值为 4，$\therefore$ 当 $x=2m-3$ 时，$y=4$. $\therefore (2m-3-2m)^2-4m^2+2m+1=4$，整理，得 $2m^2-m-3=0$. $\therefore m=\frac{3}{2}$ 或 $m=-1$
（3）$\because$ 抛物线 $y=x^2-4mx+2m+1$ 与线段 $OA$(不含端点)恰有一个交点，$\therefore \begin{cases}2m+1＞0,\\1-4m+2m+1＜0\end{cases}$ 或 $\begin{cases}2m+1＜0,\\1-4m+2m+1＞0.\end{cases}$ $\therefore m＞1$ 或 $m＜-\frac{1}{2}$
（2）$\because y=x^2-4mx+2m+1=(x-2m)^2-4m^2+2m+1,\therefore$ 抛物线开口向上，对称轴为直线 $x=2m$. $\because$ 当 $2m-3≤ x≤2m+1$ 时，$y$ 的最大值为 4，$\therefore$ 当 $x=2m-3$ 时，$y=4$. $\therefore (2m-3-2m)^2-4m^2+2m+1=4$，整理，得 $2m^2-m-3=0$. $\therefore m=\frac{3}{2}$ 或 $m=-1$
（3）$\because$ 抛物线 $y=x^2-4mx+2m+1$ 与线段 $OA$(不含端点)恰有一个交点，$\therefore \begin{cases}2m+1＞0,\\1-4m+2m+1＜0\end{cases}$ 或 $\begin{cases}2m+1＜0,\\1-4m+2m+1＞0.\end{cases}$ $\therefore m＞1$ 或 $m＜-\frac{1}{2}$
